Fletcher-1-rus (1185917), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Формулы (3.19) и (3.20) были получены с помощью разложения в ряд Тейлора по пространству. Разложение в ряд й 3.2. Аппроксимация производных Тейлора по времени — формула (3.16) — может быть использовано для построения аппроксимации с разностью вперед ! — ~,=" дс 1г Лт которая вносит ошибку 0(Л(), если только предположить, что Лт « 1 и что производные высших порядков ограничены. 3.2.2. Аппроксимация общего вида Конечно-разностные выражения, приведенные в п. 3.2.1, были построены с помощью простых перестановок в единственном т(х] Т)+1 тд! х- 1 а) ад+1 Рис. 3.3. Различные варианты конечно-разностного представления дт(дх. разложении в ряд Тайлора Более последовательная методика построения разностных аппроксимаций сводится к тому, чтобы начать с некоторого общего выражения типа — в [д ~ =аТ(" 1+ЬТ~+сТ,"~~+0(Лх ), (3.22) где постоянные а, Ь и с подлежат определению, а член 0(Лх ) будет указывать на степень точности получаемой аппроксимации.

Используя формулу (3.15), можно написать аТ г", + ЬТ"; + сТ";+, -— — (а + Ь + с) Т," + ( — а + с) Лх ( — ~ + дзу з +(а+с) 2 [ дхз 1. +( +с) б [дк' 1. + .... (3.23) г б дх' з! Полагая а+ Ь+ с = О, ( — а+с)Лх = 1, получаем а = с— — 1!Лх и Ь = — 2с+ 1/Лх для любого с. Выбирая с так, чтобы 80 Гл. 3. Предварительные сведения о нрнемах вычислений обратился в нуль третий член правой части формулы (3.23), получаем наиболее точную аппроксимацию из всех возможных вариантов с подбором трех параметров. Таким образом, имеем с = — а = (1/2)Лх и Ь = О. Подстановка этих значений в (3.23) дает п 2 э л Следовательно, центрированная (или центральная) разностная аппроксимация для [дТ/дх]" имеет форму Гп Гп ех.1; 2 ах (3.24) Тот же самый прием с использованием представлений типа (3.22) может быть применен для построения односторонних разностных формул, если только вводить разложения в окрестности соответствующих узлов.

Этот же прием можно использовать и для вывода многомерных формул, а также разностиых формул для неравномерных сеток (см. п. 10.1.5). 3.2.3. Трехточечная асимметричная формула для (дТ)дх~", Общий прием построения алгебраических формул для аппроксимации производных (см. п. 3.2.2) используется для вывода трехточечного одностороннего представления производной (дТ1дх1",. В качестве исходного выражения вместо (3.22) берется следующее общее представление: — =аТ~ + ЬТэ~э+ сТэ+2+ 0(Лх ), (3.26) с ошибкой аппроксимации 0(бхе). Очевидно, что цеитрированная разностная аппроксимация вносит ошибку аппроксимации более высокого порядка, чем аппроксимации с разностями вперед (3.19) и назад (3.20). Формула (3.24) оценивает(дТ)дх)" .по наклону линии АС на рис.

3.3. Если по аналогии с (3.22) воспользоваться подобным же представлением для 1деТ1дхе)",, то получим следующую центрированную разностную формулу: й 3.2. Аппроксимация производных 8! где параметры а, Ь и с подлежат определению. Величины Т,"+, и Т";ез разлагаются в ряд Тейлора около 1' (см. п. 3.2.1). Подстановка этих разложений в (3.26) и перегруппировка членов позволяет получить ( — „~ = (а+ Ь+ с)Т1" +(ЬЛх+ с2Лх) ~ — ~ + +( 2 + 2 )(дх'1 + '' ° . (3.27) Путем сравнения левой и правой частей соотношения (3.27) нетрудно установить, что для получения наименьшей ошибки параметры а, Ь и с должны удовлетворять следующим условиям: а+Ь+ с=О, ЬЛх+с2Лх=1, — + Ь Дхе с 12 Дх)т 2 2 =О. Отсюда получаются значения параметров: 1.5 2 0.5 Дх ' Дх и, следовательно, ~ 1'-- ' '- '- Ч',~'+ что согласуется с результатом, показанным в табл.

3.3 (см. стр. 84). Данная формула вносит ошибку аппроксимации 0(Лхз), как и формула (3.24) с центрированной разностью. Если в представление (3.26) ввести большее число членов, например — л Ы, — ] - аТ,"+ ЬТге~+ сТгез+ ЙТ1ез+ еТ,"-~4, то добавочные условия для определения коэффициентов от а до е могут быть получены из соотношения (3.27), модифици- руемого при помощи требования, что коэффициенты при про- изводных высшего порядка обращаются в нуль. Однако схемы, основанные на дискретизации повышенного порядка, зачастую встречаются с более строгими ограничениями, связанными с устойчивостью (см. $ 4,3), чем это было для схем с дискретиза- цией низкого порядка. Следовательно, альтернативная страте- гия сводится к тому, чтобы некоторые из коэффициентов от а до е позволяли уменьшить ошибку, а другие — улучшить ус- тойчивость.

Подобный же подход принимается при построении схем для решения обыкновенных дифференциальных уравне- ний (см. [Наппп(пд, 1973) ). 8 К. Флетчер, т. ! 82 Гл. 8. Предварительные сведения о приемах вычислений й 3.3. Точность процесса дискретизации Дискретизация необходима для того, чтобы превратить исходные дифференциальные уравнения в эквивалентную им систему алгебраических уравнений, для решения которых можно воспользоваться вычислительной машиной. Если исключить тот случай, когда соответствующее точное решение имеет предельно простую аналитическую форму, то процесс дискретизации обязательно вносит некоторую ошибку. Так, например, центрированная разностная формула (3.24) является точной для полиномов вплоть до квадратичных, тогда как односторонние формулы (3.19) и (3.20) точны лишь для линейных полиномов.

О точности можно судить по тому факту, что все члены ошибки аппроксимации оказываются равными нулю для полиномов достаточно низкого порядка. В общем случае ошибка конечно-разностного представления производной может быть определена с помощью разложения в ряд Тейлора в окрестности того узла, где оценивается величина производной (см. п.

3.2.2), тогда как оценка главного члена остатка дает достаточно хорошую аппроксимацию ошибки, если только элемент сетки имеет достаточно малый размер. Однако окончательная оценка членов ряда Тейлора возможна только тогда, когда известно точное решение. Более прямой путь сравнения точности различных алгебраических формул сводится к рассмотрению простой аналитической функции типа т = ехр х и к сравнению значения производной, полученного аналитически, со значением, найденным по дискретизационной формуле. В табл.

3.1 демонстрируется подобное сравнение для значений т(Т)т(х, оцениваемых в точке к = ! при аналитической функции вида Т = ехр к; размер шага составляет Лх = 0.1. В общем случае трехточечные формулы, будь то симметричные или асимметричные, оказываются значительно более точными, чем двухточечные формулы с разностями вперед или назад, однако значительно менее точными, чем пятиточечная симметричная формула. Как очевидно из табл.

3.1, если величина Лх достаточно мала, то главный член ряда Тейлора (Р. Т.) дает хорошую оценку ошибки. Типичные алгебраические формулы для оценки г(тТ~т(хт при х = 1.0 для значений функции Т = ехрх приводятся в табл. 3.2. Значения функции оцениваются с интервалом Лх = 0.1. Как и ранее, трехточечная симметричная формула является точной, однако теперь трехточечная асимметричная формула оказывается неточной.

Как и при оценке качества формул для первой производной, главный член ряда Тейлора обеспечивает достаточно точную оценку ошибки. О с ча ОО 30 о ь О 3 О о о $ о о х х ,О СО СО 3О и о о ( а О. "о ь. 1 сР 3О ! о о о хх х Д СО О о' о о ! о х Я С» о СО х сч С3 о с о о х х 3 со ОО о' о Сс О о о х х о о СО СО СО О х Я сь ! 3 СО х 3О' о х 3 СО ! !! ь СО СО О 03 00 СО СО 00 00 ОО О, ССс СО СО СЧ о ь ь о о 'ь з 30 ь а О е О О О О а О 0 ь с В.

О. О 33 И ч 00 !0. !3- ! !0 Н., о ь о 03 О. 33 О. 33 ь ь с О ь с О ь ь а О е Ю о О 33 К О О О О 3 р о о ь 0' о ь а о 33 33 о 0 о 3 о 3 О' О 30 о р' оЯ Ь а о 33 О о а о О СО Р О,О О о а О О О 3- 3- о О О СО 3 о О. 33 3 а о 3 0' ь а О 3 о о ь 3 о о Е О О 3 0' О. о О ь 30 О й к О о О' о 3 о о О. 0 О 3 Р' в О о Ь 33 О' О о а о О У о И с1 сч ! 0 33 СЧ с !. 3О ! !3 03 !0. + !0.' 00 ! о !0., Ч И С~ чс !3. + + !3 ! !а, !ь, + РО СО 3 1~ О + сО ![ + 84 Гл.

3. Предварительные сведения о приемах вычислений Таблица 3.3. Главный член ошибки аппроксимации (алгебраическое представление): е(Т/Фх Глевиый член ошибки аппроиси- мации Вариант формулы Алгебраическая формула (Т„, — Т,,)/2 ах ЬхзТккк/б охТхк/2 — ЬхТкх/2 — ЬхкТкхк/3 ах Тхкххх(30 Трехточечная симметричная Разности вперед (Т,, — ту)/Дх (Т вЂ” Т1 д)ьх ( — !.ЗТ + 2Т, — 0.5Т.„з)/Ьх Разности назад Трехточечная несимметричная Пятиточечная симметричная (Т,,— 8Т., +ЗТ„,— Т( -з)/Гй дх Таблица 3.4. Главный член ошибки аппроксимации (алгебраическое представление): оаТ(бхт Главный член ошибки аппрокси- мации Алгебраическая формула Вариаит формулы (Т вЂ” 2Т + Ту,)/Ьхз (Т 2Т + Т з)/Ьхт ЬхзТкккк/12 Дхт ккк Трехточечная симметричная Трехточечная несимметричная Пятиточечная симметричная — Дх'Т хкхххк/00 ( — Т. + 16Т, — ЗОТ + + 18Т.е ~ — Т.тз)/12 Ьхз Алгебраические формулы для главных членов выражений, определяющих ошибку аппроксимации, приводятся в табл.

3.3 и 3.4. Эти формулы получены так, как в п. 3.2.1,— путем разложения в ряд Тейлора в окрестности 1-го узла. В табл. 3.3 приняты обозначения: Ткк,— = г(зТ~/г/хз и т. д. Для данного конкретного примера (Т=ехрх) имеем Тк,к=Т,ккк и т. д. Следовательно, величина ошибки в первую очередь зависит от степеней Лх. А отсюда вытекает, что по мере уменьшения Лх следует ожидать, что при использовании пятиточечной формулы ошибка аппроксимации будет уменьшаться гораздо быстрее, чем при использовании двухточечных формул с разностями вперед или назад.

$ 3.3. Точность процесса дискретизации Причина большой ошибки, связанной с трехточечной асимметричной формулой и показанной в табл. 3.2, становится очевидной из рассмотрения табл. 3,4, на которой видно, что главный член ошибки аппроксимации имеет в этом случае всего лишь первый порядок точности. Как видно из табл. 3.1 и 3.2, существует тесная корреляция между непосредственно рассчитанной ошибкой и ошибкой аппроксимации. На этом основании следует ожидать, что непосредственно рассчитанная ошибка будет уменьшаться вместе с Лх по такому же закону, как это показано в табл. 3.3 и 3.4. Этот вывод подтверждается и результатами, показанными на рис. 3.4 и 3.5.

Характеристики

Список файлов книги