Fletcher-1-rus (1185917), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Задачи 103 3.8. Модифицируйте программу В!ГГ путем введения взамен схемы ВВЦП следующей схемы: 0.5Т" — 2Т" + 1.5Т" ~ ! а (Т" ! — 2Т" + Т".+ ! ) О. Для первого шага по времени используйте формулу с разностью вперед по времени, т. е. дТ(д! ж (Т"~' — Т")(ог. (а) Постройте решения для Лх = О.! при з = 0.5, 0.3, О.! и сравните их с решениями, построенными с помощью схемы ВВЦП. (Ь) Проанализируйте изменение точности при уменьшении з и укажите, насколько оно совпало с вашими ожиданиями.
руодсказког следует рассмотреть выражение для ошибки аппроксимации, соответствующее задаче 3.2.) Глава 4 Теоретические основы На практике те алгебраические уравнения, которые получаются в результате описанного в 3 3.1 процесса дискретизации, формируются на сетке конечного размера.
Исходя из выражений для ошибки усечения, данных в ф 3.2 и 3.3, следует ожидать, что более точные решения могут быть получены на более мелких сетках. Этот аспект подвергается дальнейшему рассмотрению в $ 4.4. Однако если считать требуемую точность решения заданной, то с точки зрения экономичности может оказаться выгоднее решать задачу на грубой сетке с помощью конечно-разностной схемы высокого порядка, чем применять схему низкого порядка на мелкой сетке. Эти соображения приводят к понятию вычислительной эффективности, изучаемому в $4.5.
Важный вопрос, относящийся к вычислительным решениям, состоит в том, до какой степени мы можем гарантировать, что вычислительное решение дифференциального уравнения (или уравнений) в частных производных будет близко к точному решению того же уравнения, а также при каких условиях это вычислительное решение совпадает с точным. Очевидный ответ на вторую часть этого вопроса состоит в том, что следует требовать, чтобы приближенное (вычислительное) решение сходилось к точному, по мере того как размеры элементов сетки Л1 и Лх уменьшались до нуля (см.
$ 4.1). Однако сходимость очень трудно установить прямым путем, поэтому обычно используют обходной путь, такой, как на рис. 4.1. Этот обходной путь связан с требованием о том, чтобы система алгебраических уравнений, полученных в результате процесса дискретизации (см. 5 3.1), была согласованной (см. 3 4.2) с исходным дифференциальным уравнением (или уравнениями) в частных производных. Согласованность означает, что при помощи разложения в ряд Тейлора процесс дискретизации может быть обращен с целью восстановления исходного уравнения (уравнений).
Кроме того, алгоритм, который служит для решения алгебраических уравнений и, таким образом, позволяет получить приближенное решение Т, должен быть устойчивым (см. $4.1. Сходвмость 1Оо $ 4.3). В конце концов, чтобы судить о сходнмости, привлекается псевдоуравнеиие СОГЛАСОВАННОСТЬ-1-УСТОИЧИВОСТЬ=СХОДИМОСТЬ. (4.1) Условия, при которых утверждение (4,1) является точным, обеспечиваются теоремой Лакса об эквивалентности (см.
п. 4.1.1) д»скретнзацнн Согнаоованнос рнбвнженн решенно Т врн дл, д т-ь Рнс. 4.К Коннеотуальнав связь между согласованностью, устойчивостью н сходнмостью. Крайне трудно получить теоретическую рекомендацию по определению поведения решения на сетке конечного размера.
Строго говоря, большинство полезных теоретических результатов применимо только в пределе, когда сетка сжимается до нулевых размеров. Однако взаимосвязи, установленные между сходимостью (~ 4.1), согласованностью ($4.2) и устойчивостью ($ 4.3), также являются качественно полезными при определении свойств вычислительных решений на сетках конечного размера. $4.1, Сходимость Решение алгебраических уравнений (рис. 4.1), аппроксимирующих заданное дифференциальное уравнение в частных производных, называют сходящимся, если это приближенное решение приближается к точному решению дифференциального уравнения в частных производных для любого значения независимой переменной, по мере того как размеры ячеек сетки приближаются к нулю.
Таким образом, мы требуем, чтобы Т,". — Т(хь 1,) при Ах — ьО, Ж-ьО. Разность между точным решением дифференциального уравнения в частных производных и точным решением системы Гл. 4. Теоретические основы алгебраических уравнений называется ошибкой решения и обозначается символом е".; таким образом, р е; = Т (хп 1„) — Т~. Точное решение системы алгебраических уравнений является приближенным решением исходного дифференциального уравнения в частных производных. Решение системы алгебраических уравнений точное, если в процессе вычисления в него не внесено численных ошибок, например типа ошибок округления. Как правило, величина ошибки е,".
в (1', и)-м узле зависит от размеров ячеек сетки Лх и М, а также от значений тех высших производных в данном узле, которые не были учтены при формулировке конечно-разностных аппроксимаций производных в рассматриваемом дифференциальном уравнении. Доказательство того, что решение системы алгебраических уравнений сходится к решению дифференциального уравнения в частных производных, в общем случае очень затруднительно даже для простейших задач. Применительно к приближенному решению уравнения диффузии с использованием простого алгоритма ВВЦП в форме (3.41) доказательство сходимости при з ( 1/2 дается в работе [Хоуе, 1984]. Крайне трудно установить сходимость в тех случаях, когда дифференциальное уравнение в частных производных сложнее, чем уравнение диффузии, а метод дискретизации не столь непосредствен.
Лишь немногие задачи гидроаэродинамики обладают точными решениями, а если таковых нет, то для вывода о сходи- мости следует строить вычислительные решения на последовательно измельчаемых сетках (см. п. 4.1.2). (4. 2) 4.1.1. Теорема Лакса об эквивалентности Для некоторого ограниченного класса задач можно устанавливать сходимость, пользуясь теоремой Лакса об эквивалентности [141с141гпуег, Мог1оп, 1967]: Если имеется корректно поставленная линейная задача с начальными условиями и конечно-разностная аппроксимация к этой задаче, удовлетворяющая условию согласованности, то устойчивость является необходимым и достаточным условием сходимости.
Несмотря на то что эта теорема сформулирована для конечно-разностной аппроксимации, она остается применимой и к любой процедуре дискретизации, приводящей к появлению узловых неизвестных, например к методу конечных элементов. Теорема Лакса об эквивалентности очень важна, так как дает возможность сравнительно легко установить устойчивость алго- 1О7 й 4.1. Сходимость 4.1.2. Численная сходимосто Применительно к тем уравнениям, которым подчиняется течение жидкости и газа, обычно невозможно теоретически продемонстрировать сходимость. Однако для задач, обладающих точными решениями, таких, как задачи, связанные с уравнением диффузии, можно получить серию численных решений на последовательно измельчаемых сетках и рассчитать ошибку решения.
Сходнмость означает, что ошибка решения должна уменьшаться до нуля по мере того, как размеры элементов сет. ки приближаются к нулю. Решения, полученные для программы Р!РР (см. рис. 3.13), были построены на последовательно измельчаемых пространственных сетках при Ах = 0.2, О.1, 0.05 и 0.025. Соответствующие среднеквадратичные ошибки приведены в табл. 4.1 для 4=0.50 и 0.30. Как видно из таблицы, среднеквадратичная ошибка уменьшается примерно пропорционально Лхт.
Основываясь на этих результатах, можно сделать вполне оправданный вывод о том, что измельчение сетки должно приводить к дальнейшему уменьшению среднеквадратичной ошибки и в Таблица 4.1. Уменьшение среднеквадратичной ошибки решении при измельчении сетки Среднеквадратичная ошибка лх-о.ош ах=о.об ля=од л =ол а=канах' 0.030 0.012 0.492 0.187 0.121 0.048 0.50 0.30 1.658 0590 ритма и его согласованность с первоначальным дифференциальным уравнением в частных производных, тогда как обычно очень трудно установить сходимость получаемого приближенного решения к решению упомянутого дифференциального уравнения.
Большинство «реальных» задач гидроаэродииамики нелинейны и представляют собой краевые задачи или же смешанные задачи с граничными и начальными условиями, так что теорема Лакса об эквивалентности не всегда строго применима. Исходя из этого следует интерпретировать теорему Лакса об эквивалентности как обеспечивающую необходимые, но не всегда достаточные условия. «Уравнение» эквивалентности Лакса, представленное в форме (4.1), полезно для целей исключения несогласованных дискретизаций и неустойчивых алгоритмов. 108 Гл.
4. Теоретические основы Рис. 4.2. Численная скодимость длн метода ВВЦП. 5 4.2. Согласованность Говорят, что система алгебраических уравнений, полученная в результате процесса дискретизации, согласуется с первоначальным дифференциальным уравнением в частных производных, если в пределе, когда размеры ячеек сетки стремятся к нулю, система алгебраических уравнений эквивалентна дифференциальному уравнению в частных производных в каждой из узловых точек сетки. пределе при Лх (при фиксированном з), стремящемся к нулю„ решение алгебраических уравнений должно сходиться к точному решению.
Установление численной сходимости является довольно дорогостоящим процессом, так как при этом обычно необходимо использовать очень мелкие сетки. Учитывая, что в вышеупомянутом примере величина з сохраняется постоянной, при каждом уменьшении Лх вдвое шаг по времени уменьшается в че- тыре раза. Ошибка решения, прис9 (д*) водимая в табл.
4.1, рассчиты- -1 2 О вается при 2 = 5000 с. Отсюда. следует, что при з = 0.30 решение на самой мелкой сетке треа12 бует 266 шагов по времени,, з прежде чем будет рассчитана ошибка решения. Лля уравнения диффузии в м (3.1) с нулевыми граничными 1/8 значениями и начальным значением Т (х,О) = з(п пх, 0 ( х < 1,. среднеквадратичная ошибка решения )е~1, а изображается гра- -10 фически на рис. 4.2 как функция размера ячейки Лх. Повышенная степень сходнмости (сходимость четвертого порядка) выявляется очень четко при з = 1(6 в сравнении с другими значениями з ~ 1/2 (сходимость второго порядка), т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
