Fletcher-1-rus (1185917), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Однако метод Неймана может дать эвристическую информацию о том, как влияют граничные условия для производных на численную устойчивость, если этот метод применять по отдельности к тем алгоритмам, которые используются на границах [Тгарр, Катаная, 1976) . Метод Неймана состоит в том, что ошибки, распределенные вдоль линий сетки на одном временном слое, разлагаются в конечный ряд Фурье. После этого устойчивость или неустойчивость вычислительного алгоритма определяется в зависимости от того, будут ли отдельные компоненты Фурье для распределения ошибок затухать или возрастать при переходе на следующий временной слой.
Итак, вектор начальной ошибки выражается с помощью конечного комплексного ряда Фурье, .так что в точке х; ошибка определяется формулой $г~= 2, а„е' "', 1=2, 3, ..., У вЂ” 1, (4.32) $4.3. Устойчивость где 1=( — 1)п' и О„= тлях. Ряд Фурье (4.32) по виду совпадает с тем, что было в выражении (3.30), если не считать того,. что здесь распределение ошибок на интересующем нас интервале 0 ( х ( 1 предполагается периодическим. Если учесть линейность вычислительного алгоритма, достаточно изучить распространение ошибки, обусловленное единственным членом ехр(10 !) представления с помощью ряда Фурье согласно формуле (4.32).
Поэтому в дальнейшем обозначение 0 мы будем писать без индекса т. С учетом вида начального распределения ошибок решение. «ошибочногов уравнения (4.17), соответствующего схеме ВВЦП, ищется по методу разделения переменных в форме Д=(6) е причем в данной формуле зависимость данной компоненты Фурье от времени включается в комплексный коэффициент (6)", верхний индекс в символе которого подразумевает, что величина 6 возведена в степень п Подстановка выражения (4.33) в уравнение (4.17) позволяет получить уравнение (6)~) !е)з( з (6)«егви — и+ (! 2з) (6) ип + (6)и е)си+и После некоторых алгебраических манипуляций получим 6 = 1 — 4з и!пз (О/2).
(4.34)1 Величину 6 можно рассматривать как коэффициент усиления моды Фурье с индексом т для распределения ошибок, соответствующий продвижению на один шаг вперед по времени;. это подтверждается тем, что, как следует из (4.33), з) "Ж=6. (4.35) Можно отметить, что 6 является функцией з и О. Иначе говоря, 6(з, 9) зависит от размера элементов сетки, а также от того, какая именно мода Фурье рассматривается, поскольку з = аб(/Ьх' и 0 = тпбх.
Ошибки будут оставаться ограниченными, если абсолютная величина 6, называемая также избытком, никогда не будет превышать единицу ни для каких мод Фурье О. Таким образом, общее требование устойчивости сводится к условию ~6(~(! при любых О. (4.30) Как следует из (4.34), требование устойчивости для схемы ВВЦП гласит, что — 1(1 — 4зз!пв(0/2)(1 при любых О, (4.37) 122 Гл. 4 Теоретические основы что справедливо, если з ( 1)2. Этот результат совпадает с ре- зультатом, установленным с помощью матричного метода. 4.3.5. Метод Неймана: двухслойная схема общего вида Здесь мы покажем, как проводится анализ устойчивости по Нейману применительно к неявной двухслойной схеме общего вида (7.24). Ошибки округления, связанные с использованием этой схемы, распространяются в соответствии с тем же уравнением йв+! вв — абЛххЦ" — а(1 — р) Ехх$! = О, (4.38) где $! ! — 2$!+1 с„в, =~ и а — коэффициент тепловой диффузии, а () — параметр, контролирующий степень неявности.
Для анализа устойчивости методом Неймана введем ряд Фурье (4.32), определяющий ошибку 0 как разность между истинным численным решением и численным решением, искаженным за счет ошибок округления; эта величина $ определяется формулой (4.15). Поскольку уравнение (4.38) линейно, ш выражение для $!' вводится единственная компонента Фурье, тик что $!:= (!х)" е! ), (4.39) где !' =( — 1)!~в, а 1 — номер узла сетки. С помощью подстановки получим 7 еьл (С)в Юе!! — !) 2 (б)н Ев! 1 (Ов)в !6!!+и !в! 2(сова — 1) ) е ахв В результате уравнение (4.38) принимает вид (6)"+' е!Е! — (6)" е!е! „,,в+! вв! 2 (сов 0 — 1) а! Ьхв ,Деление всех членов на (6) е е! дает о — 1 ар6 12 сов 0 — !)1 а (1 — р) 12 (сов 0 — 1)1 о! Ьх пх в =О, .нли 1 — 4в (! — р) мп (012) 6— (4.40) 1+ 4вй в!пв (О/2) й 4.3.
Устойчивость 123 Устойчивость имеет место, если ~6~ ( 1 при любом значении 6. Для предельных значений получаем 6 = 1 при з(п (8/2) = О, 6 = (1 — 4з(1 — Р)Ц1+ 4зЩ при з!п (9/2) =!. Если 6(1, то 1 — 4з(1 — 6)(1+4зр или з) О. Если 6) — 1, то 1 — 4з(1 — 6)) — 1 — 4зр или з(0.5/(! — 26). Вышеуказанные ограничения согласуются с теми результатами, которые приводятся в п. 4.3.2 и 7.2.2. Если рассматриваются более сложные уравнения, то может оказаться необходимым определить устойчивость при помощи формулы, эквивалентной (4.40), в некотором диапазоне значений 6, р, з и т.
д. Зачастую это проводится численно. Если исследуются алгоритмы, имеющие дело с тремя слоями по времени, т. е. такие, как в п. 7.2.3, то для установления ограничений, обусловливающих устойчивость, следует решить квадратное уравнение для 6. Для большинства проблем гидро- аэродинамики необходимо рассматривать систему определяющих уравнений.
В этом случае вместо коэффициента усиления 6 анализ устойчивости по Неймаиу приводит к матрице усиления б. При этом соответствующее условие устойчивости имеет вид (Л )(1.0 при любых т, (4.41) где Х вЂ” собственные значения матрицы 6. В данном параграфе всегда предполагалось, что первоначальная физическая задача устойчива. Однако может случиться и так, что подлежащие расчету течения являются физически неустойчивыми; такова, например, задача о переходе ламииариого течения в турбулентное. Для течений такого рода решение, возрастающее со временем, должно быть приемлемым. Чтобы получить возможность учета таких решений, мы должны потребовать, чтобы величины собственных значений при использовании матричного метода (п. 4.3.1) или коэффициента усиления при использовании метода Неймана (и. 4.3.4) были меньше, чем 1+ 0(Ш).
Это условие заменяет неравенства (4.20) и (4.36). Дальнейшее обсуждение этого вопроса можно найти в книге !К!сЫшуег, Мог!оп, 1967). Более полное обсуждение вопросов устойчивости дискрети. зироваиных уравнений имеется в книгах [М!!с)зе11, Ог1!!!!)тз, 1980; !заасэоп, Ке!1ег, 1966; В!сЫтуег, Мог!оп, 1967), а также в книге Рихтмайера и Мортона. Согласно общему мнению, матричный метод определения устойчивости не столь надежен, Гл. 4.
Теоретнческне основы как метод Неймана. Причины такого утверждения обсуждаются в работах [Мог!оп, 1980; Н)пйпагзй е1 а1., 1984) в связи с исследованием одномерного уравнения переноса (9.56). Проблема устойчивости дискретизированных уравнений вблизи границ лежит за пределами охвата данной книги (см. 18од, 1985, с!з. 5) ). $4.4.
Точность решения Строго говоря, проведенное выше обсуждение проблем сходимости, согласованности и устойчивости касалось поведения приближенного решения в пределе Лх — 1-0, 51-+.О. Однако на практике приближенные решения строятся на сетке конечных размеров и соответствующая точность имеет немаловажное значение. При определении согласованности, проведенном в $ 4.2, было получено явное выражение для ошибки аппроксимации. Применительно к точному решению дифференциального уравнения в частных производных можно дать оценку точности представления отдельных членов с производными, как это сделано в $ 3.3. Совокупность таких членов, собранных вместе, дает представление о том, насколько хорошо алгебраическое уравнение согласуется с дифференциальным уравнением в частных производных. Как и следовало ожидать на основании изложенного в $3.3, оценка главного члена в выражении ошиб.
ки аппроксимации для полного уравнения позволяет получить достаточную оценку ошибки. Как указывалось в $4.2, порядок величины ошибки аппроксимации, как правило, совпадает с порядком величины ошибки решения, если размеры ячеек сетки достаточно малы и если начальные и граничные условия являются достаточно гладкими.
Как это нередко бывает, предполагаемое улучшение точности (через ошибку аппроксимации) с применением схем высокого порядка, по сравнению, скажем, со схемой второго порядка, не достигается вследствие недостаточной гладкости начальных условий, сформулированных для данной конкретной сетки. Измельчение сетки очень часто позволяет вместе с применением схемы высокого порядка получить и повышенную точность, однако абсолютный уровень этой точности оказывается таким, что он намного выше, а следовательно, и намного дороже, чем это необходимо. Так, для инженерных целей может требоваться точность в 1 %, если измерять ее в среднеквадратичной ошибке. Схема четвертого порядка может продемонстрировать :свое преимущество в точности над схемой второго порядка только при условии такого измельчения сетки, которое давало бы среднеквадратичную ошибку порядка 0.01%. Пример по- $4.4.
Точность решения 125 добного же влияния негладкости начальных данных на точность приводится в работе [Г!е1с)тег, 1983]. Для задач, описываемых гиперболическими дифференциальными уравнениями в частных производных, во внутренних частях расчетных областей могут создаваться разрывы, а это заметно ограничивает достижимую степень точности, если только возникающие разрывы не будут изолированы от остальной части области и если не ограничиться поиском локального решения. Один из путей определения точности конкретного алгоритма на сетке конечных размеров состоит в том, чтобы применить этот алгоритм к решению родственной, но более простой задачи, имеющей точное решение. В этом отношении весьма полезным является уравнение Бюргерса (см.
$10.1), так как оно моделирует конвективный и диффузионный члены уравнения импульсов и так как его точные решения могут быть получены для многих комбинаций начальных и граничных условий. Однако сама точность, помимо прочего, зависит от формулировки задачи, и тот алгоритм, который был достаточно точным для модельной задачи, необязательно будет столь же точным для первоначальной (и более сложной) интересующей нас задачи. Вторая методика оценки точности состоит в том, чтобы строить решения на последовательно измельчаемых сетках (исходя из предположения о наличии соответствующих вычислительных возможностей) и проверять, будет ли при таком последовательном измельчении решение изменяться в рамках заранее предопределенной степени точности. Тем самым предполагается, что в пределе, когда М, Лх и т, д.-~О, приближенное решение будет сходиться к точному и что приближенное решение на самой мелкой сетке может быть использовано взамен точного.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
