Fletcher-1-rus (1185917), страница 18
Текст из файла (страница 18)
1' ВЕЬХ ',Е10.3,//) ЧК1ТЕ(6,4)5 4 ГОКМАТ(' РТС5(ЕХРЬТС1Т) БСНЕНЕ,',5Х,' 5 =',15 ° З,О) 5ЕТ 1Н1Т1АЬ СОИР1Т10ИБ ВО 5 д = 1,3ИАР 5 ТИ(д1 = О. И = 0 Т = О. 5ЕТ ВОУМРАКТ СОНВ1Т10М5 ЕАСН Т1МЕ БТЕР БТАНТБ АТ БТАТЕНЕИТ 2 6 ТМ(1) = 1. ТМ(дМАХ) = 1. 11(Т .ЬТ. 0.01)ТИ(1) = 0.5 1Р(Т .ЬТ. 0.01)ТИ(дМАХ) = 0.5 ТР(1] = 100.*ТИ(1) ТВ(дНАХ) = 100.*ТИ(дИАХ1 97 СОНРОТЕ Г.В. ЗОЬОТ10И ЗОН О. ВО 13 д 1,ЛИХ Лд д-1 Х(д) ВЕЬХ«ЛО ТЕ РЛ 100. ВО 12 И 1,ИАХЕХ Н( Н ВАК (2.*ЛК - 1.! ВХИ ВЛН*Р1«Х(д) ВТН -АЬРЯ«ВЛИ*ВАИ*Р1«Р1*Т ВКЗ 13 ТЯЕ ВНЗ ЕВВОВ 7 К Флетчер, т. 1 54 С 55 С 56 С 57 56 59 60 61 62 С 63 64 65 66 67 68 С 69 С 70 С 71 С 72 73 74 С 75 С 76 С 77 78 79 80 81 82 83 Вв $5 $6 67 С 68 С В9 С 90 91 92 93 94 95 96 С 97 С 98 С 99 100 101 1ОВ 103 1О4 7 в 9 10 11 12 13 14 15 9 3.3.
Метод конечных разностей ВО 7 д 2,ЛИР ВВИ(д) = (1.-2.«3)«ТИ(д) + З*(ТИЫ-1! + ТИ(д+1)) СОИТ1ИОЕ ВО 6 д 2,3ИАР ТИ(д) ВОИ(д) ВО 9 д 2,днЛР ТВЬЛ 100.«ТИ(д) Т Т + ВЕЬТ 331ТЕ(6,10)Т,(ТВ(д),д 1,ЛИХ! говклт(1 т ',гз.о,' то- .1136.2) 1Г НАХ1ИОН Т1НЕ ОВ НАХ1НОН НОНВЕВ Ог Т1ИЕ-ЗТЕРЗ ЕХСЕЕВЕВ ЕХ1Т ГЕОК ЬООР 1Г(И .ОЕ.
КНЛХ)ООТО 11 ГГ(Т .ЬТ. ТНАХ)ООТО 6 ОВТА1И ЕХАСТ ЗОЬОТ10И АИВ СОИРЛВЕ ЫК1Т ТЯЕ ЛВООНЕИТ ЗХЕЕ ОГ ЕХР(ВТН) 1Г(ВТН .ЬТ. - 87.)ВТН -$7.0 ТЕ(д! ТЕ(Л - 400./ВАН/Р1*31ИЬВХН1*ЕХР(ВТН) зон зон + (тк(Л - ТВ(д))*«2 СОКТ1ИОЕ КВ1ТЕ(6,14)Т,(ТЕ(д),д«1,ЛИХ) ГОНИТ(/,' Т ',Г5.0,' ТЕ ',11Г6.2,//1 ЛЧЗ ЗОН/(1 ° + АЗН) ВКЗ ЗОЛТ(АЧЗ) НВ1ТЕ(6,15)ВНЗ говнлт(1 Внз ВХг ',Е11.4,//! ЗТОР ЕИВ Рис. 3.13. Распечатка программы )31ЕР.
вв Гл. 3. Предварительные сведения о приемах вычислений Программа П1ЕР применяет схему ВВЦП, определяемую соотношением (3.41), к нестационарной задаче о теплопроводности (диффузии), схематически изображенной на рис. 3.12. Распечатка программы П1ЕР показана на рис. 3.13, а различные параметры, используемые в этой программе, описаны в табл. 3.6. Таблица З.б. Параметры, примененные в программе (а!ГР Параметр Описание Программа П)РР присваивает значения различным управляющим параметрам (строка 16), задает Лх и А! и выводит на печать различные параметры. На каждом шаге по времени л+ 1 проводится расчет решения (см.
схему на рис. 3.11) до тех пор, пока не будут превышены значения (А)МАХ или ТМАХ (строки 72, 73). Затем рассчитывается точное решение (строки 74 — 91) по формуле махвх ТЕ(хп 1„) =100 — !~ ~ „] ейп((2т — 1)лхг]е "~ ит 1 (3.42) Это решение получено путем разделения переменных (см. и. 2.5.2). Одновременно с помощью формулы (3.43) ЮМАХ МАХЕХ (ЧМАХ А1РН 8 Т!МАХ Т(а ты ТЕ (аХ !УТ Т!М Х мМБ Число точек по длине стержня Число членов точного уравнения Максимальное число шагов по времени Коэффициент теплопроводности (диффузии) а аДх!Дса Максимальное время Размерный массив температуры Безразмерный массив температуры Точный (размерный) массив температуры Дх И Бремя Координата, О( х ( !.О Среднеквадратичная ошибка решения яма=-[( Ь (т,— ти))/тмах] 5 3.5.
Метод конечных разностей рассчитывается среднеквадратичная ошибка. При начальных условиях Т(х, О)= 0 и граничных условиях Т(0, 1)= Т(1, 1)= = 100 выдача ЭВМ, задаваемая программой Р1ГГ и соответствующая значению з =0.5, демонстрируется на рис. 3.14 и показана графически на рис. 3.15. ОИАХ= 11 ИАХЕХ 10 ИНАХ= 500 ТИАХ 2999.00 $= .500 АЬРВ .100Е-04 ОБЕТ .500$+03 ОЕЬХ . 100Е+00 РТСБ(ЕХРШС1ТЗ ССБЕНЕ.
Б = .500 т зоо. т- Аооо. Т 1500. т Вооо. Т 2500. т зооо. тв= зо.со 25.оо .оо ТО 100.00 50.00 12.50 ТО 100.00 56.25 15.00 ТО 300.00 62.55 31.25 ТО=100.00 65.63 37.50 ТО 100.00 6$.75 41.41 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .00 .ОО .00 .00 6.25 .00 .ОО .00 6.25 12.50 3.13 .00 3.13 12.50 17.19 6.25 3.13 6.25 17.19 21.В$10.16 6.25 10.16 21.$$ .ОО 25.00 50.00 12.50 50.00100.00 25.00 56.25100.00 З1.25 62.50100.00 37.50 65.63100.00 41.41 6$.7МОО.ОО Т 3000. ТЕ 100.00 6В.ЗЗ 41.53 22.49 11.6$ В.25 11.6$22.49 41.53 6$.33100.00 АНБ Озг * .ОМВЕ+ОО Рис. 3.!4.
Типичная выдача по программе !3!ГГ; а = 0.5. 100 50 0.5 а 1.0 0 Рис. 3.!5. Решение уравнения (441) при з = 0.5; устойчивое поведение. Значение з, используемое в программе Р1ЕГ, служит для задания шага по времени Л1; значение шага по пространству Лх = 0.1. При уменьшении 5 уменьшается И, что ведет к уменьшению среднеквадратичной ошибки решения. Последнее очевидно из результатов, показанных в табл.
3.7 для условий Т(0, О)= Т(1, О)= 50. Результат, получаемый при з = 0.167. соответствует специальному случаю и будет подвергнут дальнейшему обсуждению в п. 4.1.2. Если обратиться к строкам 50 и 51 программы Р1ГГ (см. рис. 3.13), то увидим, что значения Т(0, О) и Т(1, О) получаются путем осреднения между тем, что задается начальными 7* 100 Гл. 3. Предварительные сведения о приемах вычислений Таблица 3.7. Среднеквадратичная ошибка при ( (швн Среднеквадратичная ошибка Т (О, О)=Т П, 0) =50 СРеднеквадратичная ошибка Т (О. 0)=Т П.
0) 0 2.251 0.953 0.440 0.5 О.З О.! 67 0.492 0.187 0.00! 69 условиями, и тем, что соответствует граничным условиям. Эффект задания Т(0, О) = Т(1, О) = 0 (т. е. в соответствии с начальными условиями) также демонстрируется в табл. 3.7, Очевидно, что такое задание приводит к существенному увеличению ошибки решения. Если положить Т(0, О) = Т(1, О) = 100, то ошибка будет по своей величине аналогична той, которая получалась гри Т(0, О)= Т(1, 0)=0. $3.6. Заключение Как мы видели, дискретизация вносит некоторую ошибку, представление о которой можно получить, рассматривая ошибку аппроксимации по крайней мере для метода конечных разностей.
По-видимому, ошибка аппроксимации становится все более точным критерием оценки ошибки решения по мере измельчения сетки (см. п. 4.1.2). Выбор конкретных формул для представления производных может быть осуществлен путем последовательного исключения тех или иных членов в выражении для ошибки аппроксимации (см. п. 3.2.2). Однако такой подход нередко нуждается в модификации из-за необходимости выбирать некоторые коэффициенты так, чтобы полученный алгоритм был устойчивым (см.$ 4.3).
Как видно нз конкретных примеров, рассмотренных в 9 3.3 н 3.4, если точное решение содержит разрывы или очень большие градиенты, то маловероятно, чтобы формулы высокого порядка были существенно точнее формул низкого порядка. Кроме того, при представлении волнообразных движений решения с короткими волнами воспроизводятся менее точно, чем решения с длинными волнами. Простая конечно-разностная программа Р1РЕ, приводимая в тексте, позволяет проиллюстрировать многие характерные особенности метода конечных разностей. Как показано на конкретном примере, точность конечно-разностного решения уравнения диффузии весьма.
чувствительна к тому, каким образом учитываются разрывы, связанные с формулировкой граничных г01 $3.7. Задачи и начальных условий. Вычислительные решения уравнения диффузии, построенные при различных схемах с различными граничными условиями, обсуждаются в гл. 7. и 3.7. Задачи .Аппроксимация производных (4 3.2) 3.1.
Воспользуйтесь методом аппроксимации общего вида (п. 3.2.2) для ч?пределения коэффициентов от а до д, входящих в формулу дзТ вЂ” яааТ +ЬТ. +сТ +дТ. Какова ошибка аппроксимации, соответствующая данной формуле? 3.2. Трехслойная явная дискретизация членов уравнения дТ(дг— — аа.Т(дхз = 0 приводит к соотношению 0 5ТЯ- 2Тп + 1 5ТЯе ! 1 ' ! (1+д) (Тг 1 — 271 + Т,,')" д(Т ~ — 271+ Т,)" $ а о. ахз Лхз (а) Разложите каждый член этого соотношения в ряд Тейлора с целью определения ошибки аппроксимации всего уравнения при произвольных значениях И. (Ь) Воспользуйтесь методом аппроксимации общего вида, чтобы выбрать М как функцию з и чтобы схема имела при этом четвертый порядок точности по Лх. При решении этой задачи будут полезными формулы, следующие за (4.11).
Точность процесса дискретизации (й 3.3) 3.3. Для случая у = Мп пх/2 получите ду/дх при х = 0.5, выбирая ах = = О.! и используя формулы ду у(,, — у( (а) — си дх 2ах ду у„,— у, (Ь) — из дх ах ду у( ( — 8у х+8у,— у дх 12дх после чего сравните точность полученных результатов. 3.4. Повторите решеаие задачи 3.3 со значениями ах = 0.05, 0.025, 0.0125 и определите, будет ли сходимость по изменению бх согласовываться с формой главного члена а выражении для ошибки аппроксимации.
Для решения этой задачи рекомендуется составить программу расчета на ЭВМ. Чтобы Уловить ошибку, связанную с применением схемы (с), может потребоваться счет с двойной точностью. Гл. 3. Предварительные сведения о приемах вычислений 102 3.5. Для случая у = Мп пх(2 получите дзу/Нхз при х = 0.5 со значениями Лх = 0.1, 0.05, 0 025, 0.0125, используя формулы дзу у ! — 2у.+ у (а) — ян Нхз Ахз дзУ вЂ” У! т+ 16У! ! — ЗОУЯ+ !бУЯ+! — У!+з 2 после чего сравните точность полученных результатов н определите соответствие сходимости с формой главного члена в выражении для ошибки аппроксимации Для решения этой задачи рекомендуется составить программу расчета на ЭВМ, при необходимости применяя счет с двойной точностью.
Представление волм (3 3.4) З.б. Для случая прогрессивной волны Т (х, !) соз ]гл (х — у!)] покажите, что использование аппроксимации дТ/д! яв 1,Т"+ — Т" 'Я(А! эквивалентно применению формулы — — ( — ) 3!п(0.5туйт) з!п (т [х — у ( 2 П, тогда как использование аппроксимации дТ/д! мг (1 5Т"+' — 2Т" + + 0.5Тл! )/А! эквивалентно применению формулы — = — з!п (О.бгпдбт) (3 Мп ]т[х — д ( ))— з|п (ел[х у ( 2 )11) Покажите, что в пределе з!п(Облупи!) -«Обшад! и соз(05шдд!) -«1.0 оба вышеприведенных выражения эквивалентны между собой.
Кроме того, покажите, что в пределе О.балуй(-«0 оба этих выражения совпадают с точной оценкой величины дТ/дй Метод конечных разностей (3 3.5) 3.7. Модифицируйте программу Р!гг путем использования для внутренних точек нижеследующей симметричной пятнточечной схемы: дЗТ вЂ” Т! з/12+ 4Т! !/3 — 25Т;+ 4Т +!/3 — Т!эз/12 дхз Ахз При ! = 2 используйте формулу дзТ ЦТ(- /12 5Т /3+05Т + Т' — /3 Т -з/!2 дхз Ах а также эквивалентную этой формулу для ! = ЯМАХ вЂ” 1. (а) Постройте решения для Лх = 0.1 при з = 0.3, 0.2, 0.1. (Ь) Какова точность решения в сравнении с точностью схемы ВВЦП? 3 3.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
