Fletcher-1-rus (1185917), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Если построить графики в логарифмической шкале, то градиент результатов, касающихся сходимости, т, е. скорость сходимости, соответствует определенной степени Лх. Как это ясно из данных, приведенных на графиках, в рассмотренных нами различных случаях ожидаемая скорость сходи- мости подсказывается теми выражениями главных членов ошибки аппроксимации, которые приведены в табл. 3.3 и 3.4. Оценку скорости сходимости можно по-прежнему основы"ать на данных об ошибке аппроксимации, даже если точное решение неизвестно. З.З.!. Сравнение формул высокого и низкого порядков Если судить по тем результатам, которые были изложены выше, то может показаться, что во всех случаях следует пользоваться формулой высокого порядка на мелкой сетке.
Однако это впечатление обманчиво. Во-первых, расчет по формуле высокого порядка охватывает большее количество точек и, следовательно, оказывается менее экономичным, чем расчет по формуле низкого порядка. С точки зрения практической перспективы та точность, которая может быть достигнута при заданном времени исполнения, или вычислительная эффективность, более важна, чем просто точность; точность же всегда можно повысить за счет измельчения сетки. Вычислительная эффективность рассматривается в $ 4.5. Во-вторых, формулы высокого порядка обладают сравнительно небольшим преимушеством в точности перед формулами низкого порядка в случае грубой сетки, однако такое преимущество становится значительно больше, если сетка мелкая. Однако при решении некоторой конкретной задачи нередко случается, что требуемый уровень суммарной точности результатов соответствует именно грубой сетке или же применение грубой сетки необходимо из-за ограничений на машинную память либо на время исполнения, Превосходство формул 36 Гл.
3. Предварительные сведения о приемах вычислений 1О -1д 6 Трехточечная симметричная схема Разности вперед О 0.4 0.8 1.2 1.6 20 Хуан Рис. Зни Результаты, касающиеся сходиности при вычислении т]Т/дх; Е = ~ [И/йх]то![аУ/ах].х — 1 ). Пятнточечная симметричная схема Трехточечная симметричная схема Разности вперед О ОА 0.6 1.2 !.6 20 -]д Ьж Рис. 3.3. Результаты, касающиеся сходимости при вычислении и""Т]йх', Е = ~Й ТУНх]тобй Т]Мхта — 1(. разрывы, связанные с наличием ударных волн [см.
[ь]ершапп, ]соево, ]957] ). Если решение оказывается разрывным в пределах того интервала, на котором используются алгебраические формулы, то формула высокого порядка не будет давать высокого порядка, выявляемое на от гладкости точного решения. сверхзвуковым течениям невязкой рис. 3.4 и 3.5, зависит еще и Решения, соответствующие жидкости, могут содержать Пятнточечная симметричная схеме $3.3. Точность процесса дискретизации существенно большую точность. Это можно видеть на примере точного решения, показанного иа рис.
3.6. Использование трехточечной симметричной формулы: [йудит(х], = — 0.5/Лх. Использование пятиточечной симметричной формулы: [г(Т(г(х], = — 7/(12 Лх). Если учесть, что, согласно точному решению, [дТ)дх] „=, = = — оо, то пятиточечная формула не дает заметного преимущества в точности по сравнению с трехточечной формулой. Ц 1.О 1.О х Рис. ЗД. Разрывное (точное) решение. Для задач о течении вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса (т.
е. при малой естественной диссипации) решений с разрывами быть не может, но могут возникать очень большие градиенты. Если градиент достаточно велик, а сетка достаточно грубая, то схемы высокого порядка не приносят преимуществ. Это можно проиллюстрировать на примере функции у = 1!т [)т(х — 1) ], которая представлена графически на рис. 3.7 для трех значений параметра А. Очевидно, что существует градиент, центрированный в точке х=1, величина которого возрастает вместе со значением параметра А. Первая производная с(у/дх оценивалась при х = 0.96 с использованием трехточечной и пятиточечной симметричных формул (см.
табл. 3.1) для уменьшающихся значений Лх при )з = 5 и 20. Результат демонстрируется на рис. 3.8. Нетрудно заметить„ что пятиточечная формула обеспечивает преимущество в точности только тогда, когда сетка является достаточно мелкой. Требуемая степень измельчения возрастает по мере того, как градиент становится больше (возрастающее значение и). Для некоторых промежуточных значений Ьх пятиточечная формула 88 Гл. 3. Предварительные сведения о приемах вычислений О, Рис. 3.7.
Аналитическая функция у = Гн[4(! — х]]. Пнтитомчнея симмвтричиан схема Трехточачнан симметричнан схема -2 0.4 0.8 1.2 1.5 2.0 -Тддх Пнтиточечивя симметричнан схема -'од Е 0 4 -!д Е Пятиточвчиая симметричная схема Трехточечная симметричнан схема Трехточечиан симметричная схема О 0.4 0.8 1.2 1.б 2.0 -198* -4 0.4 0.8 12 1.б 2.0 -!дбх 6 Пнтиточечиая ямб о симметричиаи схема 4 l Трехточечная е симметоичиая 0.4 0.8 1.2 1.б 20 -19 Лх Рис. 3.8. Сходимость конечно-разностного значения [т/у/т/х]во. 'влияние гладкости решения; Е = Цс!у/чтх]ро/[чту/чтх]ех — ! ]. Рис.
3.9. Сходимость [ч/ву/в/хт]го.' влияние гладкости решения; Е = ф~у/ухв]хоффу//хв] — !] $ Ззк Представление волн дает менее точную оценку производной. Соответствую|цее сравнение оценок второй производной демонстрируется на рис. 3.9. Очевидна та же самая общая тенденция, а именно что формула высокого порядка обеспечивает заметное улучшение только тогда, когда сетка является измельченной. В тех случаях, когда встречаются резкие градиенты, формулы высокого порядка дают намного большие значения производной, чем формулы низкого порядка.
Как следствие этого на заданной сетке члены высокого порядка в выражении ошибки аппроксимации уменьшаются не с такой большой скоростью, как в случае, когда соответствующее точное решение является гладким. В силу той же самой причины, если только сетка не сделана очень мелкой, величина высшей производной в главном члене выражения для ошибки аппроксимации при дискретизации высшего порядка может оказаться настолько большой, что суммарная ошибка будет сравнима с той, которая получается при дискретизации низкого порядка. В качестве общего замечания примем во внимание, что в силу причин, обсуждаемых в $ 9.4, следует использовать дискретизацию по крайней мере второго порядка. Использование дискретизации более высокого порядка может быть оправдано лишь в некоторых особых обстоятельствах. й 3.4.
Представление волн При многих явлениях, связанных с течением жидкости, движение обнаруживает волновой характер. Поэтому с концептуальной точки зрения оказывается полезным рассматривать. точное решение так, как если бы оно распалось на отдельные свойственные ему компоненты Фурье. В этой связи возникает вопрос о том, будет ли процесс дискретизации с одинаковой точностью представлять короткие и длинные волны. 8.4.1. Роль грубой структуры сетки Метод конечных разностей заменяет непрерывную функцию д(х) вектором, составленным из узловых значений д; и соответствующим вектору, составленному из дискретных точек сетки хь Выбор надлежащего размера элемента сетки Лк зависит от гладкости функции д(к).
Неудачный выбор иллюстрируется на рис. 3.10(а), тогда как удовлетворительный выбор показан на рис. 3.10 (Ь). Для получения достаточно точного представления функции д(к), показанной на рис. 3.10(а), потребовался бы значительно более мелкий размер ячейки сетки„ чем для такой д(х), которая показана на рис. 3.10(Ь). во Гл. 3. Предварительные сведения о приемах вычислений Представление Фурье для функции и(х) (которая предполагается периодической) иа интервале 0(х(2п имеет вид ~( ) ~ й Е1тх (3.28) где 1=( — 1)и', и — волновое число, а д — амплитуда моды 9(х) Рнс.
ЗЛО. Дискретное представление е(х), Сетка — слишком грубая (а) и удовлетворительная (Ь). Фурье с длиной волны ). = 2п/тп, задаваемая выражением (см. [Нашгп(пй, 1973] ) гя д = — ~ д(х)е-' 'с(х. 1 т Зп (3.29) о Вектору узловых значений д; также можно дать представление Фурье, имеющее вид Х е~ттлх (3.30) т ! тде модальиые амплитуды д задаются в виде Х вЂ” Дх ~~ к е — нп! Ах /=~ (3.31) Дискретная природа сетки ограничивает диапазон длин волн, поддающихся представлению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
