Fletcher-1-rus (1185917), страница 20
Текст из файла (страница 20)
степень. сходимости пропорциональна Лх' при з = 116 и пропорциональна Лхт в остальных случаях. Как это будет показано в $ 4.2, улучшенная степень сходимости при з = 1/6 должна ожидаться на основании вида главного члена в выражении ошибки аппроксимации. Как правило, при достаточно малых размерах ячеек Лх и Л2 ошибка решения будет уменьшаться подобно ошибке аппроксимации при Ьх-т-О, б(-эО. 109 $4.2.
Согласованность 4.2.1. Схема ВВЦП Схема ВВЦП (3.41) использовалась нами в п. 3.5.2 для получения решения одномерного уравнения диффузии. Подстановка величины Т";, представляющей точное решение уравнения диффузии в (/, и)-м узле, в приближенное выражение Т~ дает Т«+ — зТ7-«+ (! — 2з)Т! + зТ«+ь (4.3) Нам необходимо определить, насколько близким является соответствие соотношения (4.3) уравнению диффузии (3.1) в (1, п)-м узле.
Если каждый член соотношения (4.3) заменить разложениями в ряд Тейлора, построенными в (1, п)-м узле, то после некоторых упрощений получим ~ д«1 в( дхв 1 + Е« = О, (4.4) где Е« =0.55/ д«, 1 — а ( — ) ~ —,1 +0(А/, Лх ). (4.5) Ясно, что наличие согласованности необходимо, если приближенное решение должно сойтись к решению рассматриваемого нами дифференциального уравнения в частных производных.
Однако это условие не является достаточным, так как даже если система алгебраических уравнений окажется эквивалентной дифференциальному уравнению в частных производных при стремлении к нулю размеров ячеек, отсюда не следует, что решение данной системы алгебраических уравнений будет стремиться к решению исходного дифференциального уравнения. Например, если в программе Р1РР задать з ~ 1/2, то решение, использующее алгоритм ВВЦП по формуле (3.41), будет быстро расходиться. Техника проверки на согласованность требует, чтобы точное решение было подставлено в полученные после дискретизации алгебраические уравнения с последующим разложением всех узловых значений в ряды Тейлора в окрестности единственной точки.
Для наличия согласованности полученное выражение должно состоять из первоначального дифференциального уравнения в частных производных, сложенного с остаточным членом. Структура остаточного члена должна быть такой, чтобы он обращался в нуль при измельчении сетки. В данном параграфе мы проанализируем схему ВВЦП (п. 4.2.1) и чисто неявную схему (п. 4.2.2) с тем, чтобы проверить, представляют ли они согласованные дискретизации уравнения диффузии (3.1).
110 Гл. 4. Теоретические основы Как нетрудно видеть, дифференциальное уравнение в частных производных (4.4) отличается от уравнения диффузии (3.1) наличием добавочных членов, входящих в выражение для величины Е";, называемой ошибкой аппроксимации. Происхождение этих добавочных членов связано с дискретизацией производных дТ!д! и д'Т)дх', выполненной соответственно по формулам (3.21) и (3.24). Очевидно, что по мере того как размеры ячеек сетки становятся все меньше и меньше, ошибка аппроксимации Е! в некоторой фиксированной точке (хь 1„) будет стремиться к нулю. В пределе, когда Лх- О, а1-ч-О, алгоритм ВВЦП (3.41) становится эквивалентным уравнению диффузии. Это свойство и называется согласованностью, В применении к алгоритму ВВЦП ошибка усечения в общем случае имеет порядок 0(М, Лх').
Однако если функция Т удовлетворяет уравнению диффузии (3.1), то она удовлетворяет и уравнению д~Т д деТ де дТ е д'à — = а — — = а — — =ае —. д1в д1 дхе дхв д! дхе ' (4.6) Поэтому выражение для ошибки аппроксимации можно переписать в форме Е! = 0.5а Ах (з — а ) ~ дх, 1 + 0 (Лг, Лх ). (4.7) 4.2.2. Чисто неявная схема Здесь мы исследуем наличие согласованности при дискретизации по чисто неявной схеме (7.20), примененной к уравнению диффузии (3.!).
Чисто неявная схема определяется со- отношением — зТ1+1 + (1+ 2з) Т1+' — зТ1+1 = Тг. (4.8) Если з = 1/6, то первый член правой части вышеприведенного выражения обращается в нуль и ошибка аппроксимации имеет порядок 0(ЛР, Лх'), или, что то же самое, при фиксированном з, — порядок 0(бх4). В этом случае по мере уменьшения размеров ячеек ошибка аппроксимации устремляется к нулю быстрее, чем при любом другом значении з. Можно напомнить, что, как указывалось в п. 4.1.2, при з = 1/6 ошибка решения также приближается к нулю быстрее, чем при любом другом значении (рис. 4.2). Из проведенных выше рассуждений ясно, что с помощью таких же алгебраических манипуляций можно сделать вывод о согласованности, а также о вероятной степени сходимости.
й 4.2. Согласованность Чтобы продемонстрировать согласованность, легче всего начать с эквивалентной формы представления соотношения (4.8), соответствующей точному решению, Тл+! Тл гуль! 2та+! 1 Тоь!1 ! ! ц( — 1+ О А! Ьх' Во-первых, члены Т!Т! и Т!.ь! разлагаются в ряд в окрестности (1, и+ 1)-го узла и результат этого разложения подставляется в (4.9). Таким образом, получим — а ~ [Тлл~,.
+ ( — )[Тл!) + + ( 666) [Тл.). + ... ~ =О. (4.10) Во-вторых, члены Т; и [Т„„~,". и т. д., входящие в соотношение (4.10), разлагаются в окрестности (/, и)-го узла. Это дает результат [Т!)!+(О.бб/)[Т!г7+ ( 6 ) [Т!)". + — о [Так)! + Ж [Тла!),"+ (0.5ЛР) [7хлг!],"+ + ( 12 ) ([Тх~)! + +ЛГ[ТыА+ ''')+ [, 366)(,[Тх')!" + ) =О. (411) В качестве следствий исходного уравнения получим Т»=аТлл, То=а Та, Тс!!=аТ; (4.12) и используем тождество з = аИ/Ьх' или Лх' = с!И/з. На этом основании уравнение (4.11) приводится к виду [Т! — иТл,)! + Е! = О, (4.13) где ошибка усечения выражается формулой Е," = — 0.5 б/ (1 + — ') [Т!!)"— 1, з ) (1+ 4 + 126 а)[Т!!!~,"+ .... (4.14) Очевидно, что если ЛГ стремится к нулю, то и Е", стремится к нулю, а уравнение (4.13) совпадет с исходным уравнением.
Это означает, что соотношение (4.8) согласуется с исходным уравнением. Гл. 4, Теоретические основы В выражении (4.14) все производные по пространству были преобразованы в эквивалентные им производные по времени. С помощью уравнений (4.12) можно выразить ошибку аппроксимации в зависимости только от пространственного размера ячейки сетки и от пространственных производных, как в выражении по формуле (4.7). Если сравнить формулу (4.14) с формулой (4.7), то ясно, что невозможно подобрать такое значение з, которое позволило бы уменьшить ошибку аппроксимации с использованием чисто неявной схемы до величины порядка 0(лх'). Из рассмотрения двух вышеприведенных примеров могло бы показаться, что согласованность обеспечивается автоматически.
Однако попытки построения таких алгоритмов, которые были бы одновременно точными и устойчивыми, могут иногда приводить к потенциально несогласованным вариантам дискретизации, как это имеет место, например, со схемой Дюфорта— Франкела (см. и. 7.1.2). й 4.3. Устойчивость Если при решении системы алгебраических уравнений (см.
рис. 3.1 и 4.!) возникают некоторые неконтролируемые возмущения (наподобие ошибки округления), то такие возмуще- 100 Т 50 0 0.5 1.0 Рис. 4.3. Решение уравнения (3.41) при а = 0.6; неустойчивое повеление. ния имеют тенденцию к затуханию. Устойчивое решение, полученное с использованием схемы ВВЦП при з = 0.5, показано на рис. 3.15. Типичный неустойчивый результат (з =0.6) приведен на рис. 4.3. Оба этих результата были получены при Лх = 0.1 и тех же начальных и граничных условиях, которые использовались для графиков на рис. 3.15. Из графика на рис.
4.3 видно, что на линии симметрии возникает колебание нефизического характера, которое распространяется затем в направлении границ. Амплитуда этого колебания со временем возрастает. нз $4.3. устойчивость Понятие устойчивости связано с ростом или затуханием ошибок, вносимых в расчет на любом его этапе. В качестве пояснения отметим, что здесь речь идет не об ошибках, обусловленных логическими неточностями, а о тех ошибках, которые возникают вследствие неспособности компьютера дать ответы с бесконечным числом значащих цифр.
Практически каждый расчет. выполняемый на ЭВМ, приводит к результату с конечным числом значащих цифр, что на каждом шаге этого расчета вносит некоторую ошибку округления. Следовательно, вычислительная реализация алгоритма (3.41) — это не Тг+, а 'Тг+~, т. е.
численное решение системы алгебраических уравнений. Конкретный метод считается устойчивым, если кумулятивный эффект всех ошибок округления, возникших в процессе применения данного алгоритма, является пренебрежимо малым. Говоря более определенно, рассмотрим ошибки Я = Т" — 'Т",, (4.15) вносимые в узловых точках (1, и), где 1' = 2, 3, ..., Т вЂ” 1 и п = О, 1, 2. Обычно крайне затруднительно определить точное значение численной ошибки $~ в (1', и)-й узловой точке при наличии произвольного распределения ошибок в других узловых точках. Однако можно дать оценку этой ошибки, пользуясь некоторыми стандартными методами, часть из которых будет обсуждаться в данном параграфе.
На практике численные решения оказываются, как правило, более точными, чем это определяется упомянутыми оценками, так как при анализе устойчивости нередко вводятся предположения о наихудших возможных сочетаниях индивидуальных ошибок. Например, можно предположить, что все ошибки имеют такое распределение знаков, что их суммарный эффект будет аддитивным, хотя на самом деле это не всегда так. Применительно к линейным алгебраическим уравнениям, полученным в результате дискретизации, можно показать, что члены этих уравнений, характеризующие ошибку, удовлетворяют тем же самым однородным алгебраическим уравнениям, что и функция Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
