Fletcher-1-rus (1185917), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Типичная программа такого рода дается в приложении А.1 вместе с аналитическим описанием соответствующей процедуры. Главная цель этой программы состоит в определении относительного времени исполнения различных операций, поскольку такие времена могут варьироваться в широких пределах в зависимости от типа компьютера, операционной системы и компилятора. В табл. 4.4 приводятся относительные времена исполнения для типичных вариантов Таблица 4.4. Относительные времена исполнении для осиовнык онереций Супармикрокомпьютер (Мазвсощр моо) 2> Поднсгабаритнмй компьютер (СЧВЕК-720) 3) Микрокомпьютер [МЕС АРС)Ч) 0 Операция >) М>сгозон РОКТКАМ 77, дсйствующий при МЗООЗ (3030/Н>37 процессор с плавающсй запятой с ординарной точностью!.
2) РОКТКАМ 77, нвсптимивированнмй ксмпнаятор. дсйствующий при НМ>Х (с ускориталам иаавающай запятой). 3) РТМ3, нсоптимнзирсваннмй компилятор, дсйствующнй при опсрадпоняой системс. 4) РЬ вЂ” паавающая запятая. Сложение (РЕ) 4) Вычитание (Р1.) Умножение (РЕ) Деленме (Р1.) Прнсвдивение ( ) Оверетор 1Р Сложение (РХ) Вычитание (РХ) Умножение (РХ) Деление (РХ) Степень 8(;>)(Т 815) ЕХР 1.0 1.0 1.1 1М 0.1 0.1 0.05 0.05 0.5 0.5 2.7 2.0 10.0 28.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.6 0.3 0.5 0.5 1.8 3.2 8.3 !.2 0.8 !.5 1.0 1.0 1.0 1.0 0.5 0.4 0.5 0.5 05 !.5 14.0 15.0 39.0 25.0 !з! $ 4.5. Вычислительная эффективность микрокомпьютера, супермикрокомпьютера и полногабаритного компьютера, использующих язык Фортран.
Второй шаг состоит в том, чтобы идентифицировать важнейшие классы операций, вносящих вклады в суммарное время исполнения. Результаты, приводимые в табл. 4.4 для компьютера Ь)ЕС-АРС 1тГ, могут быть распределены по следующим категориям операций, которые целесообразно выделить: (а) операции с плавающей запятой Р1 (Поа(!пц ро!и!), (Ь) операции с фиксированной запятой РХ (Ихед ро!п1), (с) присваивания, т. е. знаки равенства, К (гер!асешеп!з), (д) логические операторы, т.
е. 1Р, СОТО и т. д. (1.), (е) математические библиотечные функции, т. е. 81Ь), ЕХР и т. д. (М). Чтобы выразить время оперативного счета посредством единственного числа, следует каждой из перечисленных выше операций приписать некоторый относительный вес, так что, например, время оперативного счета можно измерять через эквиваленты операций с плавающей запятой. Характерное распределение весов для компьютера Ь)ЕС-АРС 1У соответствовало бы формуле (основанной на данных табл. 4.4): !Р1., =20РХ= !Ой = 101. =0.1М. Для строк с 48 по 73 программы Р1РР (см.
п. 3.5.2), где следует исключить операторы %К1ТЕ, время оперативного счета (орегаИоп сопи!) получается следующим: ОРСТ = [ЗР1 + бРХ+ 5К+ 21. + (Ь(„— 2)(7Р1.+1ОРХ+ЗК)] Ь(„ где Ь)„— число шагов по х, а Ы~ — число шагов по 8. Если )т) = 11, то время оперативного счета одного шага по времени составляет ОРСТ = 74 Р1,„. В процессе определения вышеуказанного времени оперативного счета для массива с индексами выделялась одна операция с фиксированной запятой для задания значения индекса.
Оценки времени оперативного счета особенно полезны для того, чтобы идентифицировать наименее экономичные части программы, а также чтобы проводить сравнительные оценки экономичности различных алгоритмов еще до составления и опробования программы. Вследствие различия особенностей быстродействия у различных компьютеров, а также усилий, требуемых для получения точных результатов, прикидки времени оперативного счета наиболее эффективны тогда, когда их используют для выяснения порядка величины различий во времени исполнения. 132 Гл. 4.
Теоретические основы $4.6. Заключение Для тех уравнений, которым подчиняется движение жидкости или газа, невозможно дать прямое подтверждение сходимости. Однако обычно нетрудно показать, что дискретизированная форма уравнений является согласованной (см. 9 4.2). Обычно удается также показать, что «линеаризованный» вариант исходных уравнений обладает устойчивостью (см. $ 4.3), хотя обоснование этого может потребовать расчетов на ЭВМ. Как следствие приведенных выше утверждений, теорема Лакса об эквивалентности обеспечивает необходимое, но недостаточное условие сходимости. На практике для проверки устойчивости обычно требуется проведение численных расчетов.
Как матричный метод определения устойчивости, так и метод Неймана, строго говоря, применимы только к линейным уравнениям, хотя оба метода дают некоторую информацию, если нелинейность локально замораживается. Альтернативным является энергетический метод, который может непосредственно применяться к некоторым разновидностям нелинейных уравнений. Описание этого метода приводится в книге 1Й1сЫ- шуег, Мог1оп, 1967). Необходимо подчеркнуть, что реальные задачи гидроаэродинамики рассчитываются на конечных сетках и что те теоретические свойства, которые основываются на допущении об устремлении размера ячейки к нулю, могут оказаться нереализуемыми на конкретной сетке конечного размера. Эта проблема, по-видимому, в ббльшей степени относится к схемам высокого порядка. Разложение в ряд Тейлора, используемое для установления согласованности (см.
5 4.2), важно также и для получения явного выражения ошибки аппроксимации. Если учесть тесную взаимосвязь между ошибкой аппроксимации и ошибкой решения, по крайней мере на мелкой сетке, то все, что делается для уменьшения ошибки аппроксимации, будет, по-видимому, уменьшать и ошибку решения. Это может навести на мысль о специальном выборе з (=аА1/Ахт), как делалось при применении схем ВВЦП, или о выборе такой комбинации решений, которая сводит к нулю главный член в выражении ошибки аппроксимации, как при экстраполяции по Ричардсону п. 4.4.!). Для стационарных задач существует еще один прием, называемый методом отложенной коррекции (Ьгп(Ф, !965].
При реализации этого метода рассчитывается предварительное решение, на основании которого оценивается главный член в выражении для ошибки аппроксимации. Затем этот член «добав- 1ЗЗ $4.7. Задачи ляется» к первоначальному дискретизированному уравнению в качестве члена с источником и строится улучшенное решение. В принципе это улучшенное решение может быть использовано для новой оценки главного члена ошибки аппроксимации и весь процесс может быть повторен заново.
Обычно наилучшая вычислительная эффективность достигается с одним единственным улучшенным решением. Обращение в нуль главного члена в выражении ошибки аппроксимации может быть использовано также при построении схем высокого порядка. После осуществления начальной дискретизации главный член соответствующей ошибки аппроксимации дискретизируется и «добавляется» к первоначальной схеме.
Пример такого подхода приводится в п. 9.3.2. Практические задачи гидроаэродинамики нередко требуют построения вычислительного решения в сложных трехмерных областях, где мы имеем дело с тысячами неизвестных узловых значений. Применительно к таким крупномасштабным задачам предварительное представление об относительной вычислительной эффективности конкурирующих численных схем чрезвычайно важно получить до того, как мы перейдем к основной части вычислительного исследования. В книге [Р(п1аузоп, 1980] приводятся оценки затрачиваемой работы и сравнительной точности для метода конечных разностей, метода конечных элементов и метода ортогональной коллокации (см.
$ 5.1), применяемых к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, а также к решению дифференциальных уравнений в частных производных в одномерном и двумерном вариантах. $4.7. Задачи Сходимость ($4.1) 4.1. Модифицируйте программу Р1рг путем использования вместо схемы ВВЦП нижеследующей пятиточечной симметричной схемы.
Лля внутренних точек используйте аппроксимацию дзТ / 1 4 4 ! — яэ !х — — Т + — Т вЂ” 2.5Т + — Т. — — Т (Ьхз, дхз ~ 12 1 з 3 1-! ' l 3 1+! 12 !+з/ а для ! = 2 примените формулу дзТ / 11 5 ! 1 ~/ — яе ~ — Т вЂ” — Т +0.5Т + — Т. — — Т. ~1 Ьхз дхз ~ 12 l — 1 3 ! ' !+! 3 1+з 12 1+з11 н эквивалентную этой формулу для ! = зМАХ вЂ” 1. Это точно такая же модификация, какая требовалась для решения задачи 3.7.
(а) Постройте решения при з = 0.3 для Лх = 02, 0.1 и 0.05. (Ь) Сравните степень уменьшения среднеквадратичной ошибки при убы. ванин Лх с тем, что имело место для схемы ВВЦП (см. табл. 4.1). 134 Гл. 4. Теоретические основы 4.2. Повторите задачу 4.1, заменяя схему ВВПП в программе 1)1ГР следующей схемой: О 5Т( — 2ТЯ+ 1.5Т"+~ а (ТЯ( — 2Т" .1- Т" ) Аг Ахз Для расчета первого шага по времени используйте следующую формулу с- разностью по времени вперед: ОТ Тл+~ Т г?1 Дг Это те же модификации, которые требовались при решении задачи 3.8.
Согласованность ($4.2) 4.3. Подтвердите путем проверки, что схема, предложенная в задаче 4.1,. согласуется с исходным уравнением дТ/дг — ад'Т/дкз = О. Соответствует ли порядок ошибки аппроксимации той степени сходимости, которая была найдена при решении задачи 42? Рассмотрите как внутренние точки, так и точки (1 = 2, ЮМАХ вЂ” 1), примыкающие к границе. 4.4.
Проверьте согласованность схемы, предложенной в задаче 4.2. Является ли степень сходимости, найденная при решении задачи 4.2, соответствующей порядку ошибки аппроксимации? Устойчивость ($4.3) 4.5. Примените анализ устойчивости по Нейману к определению пределов устойчивости схемы, предложенной в задаче 4.1, для: (а) внутренних точек, (Ь) точек, примыкающих к границе, ) = 2 н 2МАХ вЂ” 1. Может оказаться удобным получить численную оценку выражения для амплитудного фактора ) 6( при варьируемых значениях 0 н з.
4.6. Примените анализ устойчивости по Нейману к определению пределов устойчивости схемы, предложенной в задаче 4.2. Это потребует решения квадратного уравнения относительно ( С). 4.7. Подтвердите правильность пределов устойчивости, найденных при решении задач 4.5 и 4.6, путем построения численных решений для «неустойчивых» значений з. 4.8. Исследуйте устойчивость дискретизации уравнения дТ/дг— — гхд'Т)дхз = О, основанной на представлении с разностью вперед для дТ/д( и на формуле, предложенной в задаче 3.! для дзТ/дхд 4.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
