Fletcher-1-rus (1185917), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Одним из приближенных представлений уравнения (5.25) может быть уравнение ол — „, (Фу! «) + ~ (Р Лу — 6 Лх) = О, АВ где .Ф вЂ” площадь четырехугольника АВС0, показанного на рис. 5.3, причем д!, «есть величина, связанная со средним значением д внутри четырехугольника. В уравнении (5.27) ЛуАВ = у — уА, ЛХАВ = НВ ХА, Рлв = 0.5 (Р1, «-! + Р!, «) 6лв = 0.5 (6! «, + 6! «) н аналогичные выражения для Лувс и т.
д. Если Ф не является функцией времени, то уравнение (5.27) принимает вид .Ф 5у!, «(Й+ 0.5 (Р!, «!+ Р! «) Лудв — 0.5(0! «, + О! «) Лхлв+ + 0.5(Р!, «+ Р;+и «) Лувс — 0.5 (0т, «+ О!+ !, «) Лхвс + + 05 (Р! «+ Р! «„) Луср — 05 (6, „+ 6! «+,) Лхсо+ +0.5(Р1, «+ Р! «)Лупл — 0.5(0!, «+ 6! «) Лход — — О. (5.28) Если глобальная сетка (1, й) является нерегулярной, то записанное для конечных объемов уравнение (5.28) обеспечивает дискретизацию в декартовых координатах, без необходимости введения обобщенных координат (см. гл. 12). Если же глобальная сетка является однородной и ее линии совпадают с линиями постоянных х и у, то уравнение (5.28) принимает вид т! Ьх Лу в! д! « — 0 5 (О! «! + 6! «) Лх + 0.5 (Р! «+ Р! ! «) Лу + + 0 5 (0т, «+ О!, «+ !) Лх — О.
5 (Рг, «+ Р,, «) Лу = О, или — !+'«! ' ю !'«+' !'« ' (529) А!ч!«1 2ЬХ ' 2ау что совпадает с аппроксимацией, полученной при представлении пространственных производных в (5.23) с помощью центральных разностей. 1Ое Гл. б. Методы взвешенных невязок 148 Метод конечных объемов, который применялся для описания течения как несжимаемой, так и сжимаемой жидкостей обладает двумя важными преимушествами. Во-первых, он обладает хорошими консервативными свойствами (сохранение массы и т, п.).
Во-вторых, он допускает дискретизацию сложных вычислительных областей в более простой, хотя и не обязательно столь же точной форме, чем это позволяет изопараметрическая конечно-элементная формулировка (см. и. 5.5,3) или введение обобшениых координат (см. й 12.2). 5.2.2. Уравнения, содержащие вторые производные В п.
5.2.1 метод конечных объемов был приведен к решению уравнения (5.23), содержавшего только первые производные, и привел к сравнительно просто получаемому дискретному выражению (5.28). Если же исходное уравнение содержит вто- рые производные, то метод у конечных объемов нуждается в некоторой модификации. Эта ситуация будет проиллюстрирована здесь на примере построения решения уравнения Лапласа даФ дзФ д " + д ° — — О (5.30) дл два в вычислительной области, показанной на рис.
5.4, с приводимыми ниже граничными усы г®х ловиями Дирихле: на йтХ Ф=О, х ру Х на ХУ р=з(пй/гх„, Рис. 8.4. Вычислительная областьдля иа уХ у =1/гтх, (5 31) решения уравнения Лапласа. на Хй р'= з(п О/твтх. При таком выборе граничных условий уравнение (5.30) имеет точное решение (5.32) / =(81пй)/т, наличие которого позволяет непосредственно оценить точность вычислительных решений. Если бы уравнение Лапласа (5.30) было записано в полярных координатах, то показанная на рис. 5.4 вычислительная область имела бы правильную форму. Однако благодаря $ 5.2.
Метод конечных объемов 149 умышленной формулировке задачи в декартовых координатах возникает возможность продемонстрировать способность метода конечных объемов оперировать с областями неправильной формы, сохраняя при этом преимущество легко вычисляемого точного решения. Программа Г1У01. (см. п. 5.2.3) имеет достаточно общую форму, позволяющую применить ее к областям других конфигураций, если только предварительно были заданы внутренние узловые точки, например, с помощью приема, рассмотренного в п. 13.2 — 13.4.
й+! «+Уг д' с, Г Г ~ Г г :с" г т'2 -й-1 ~В !+! у~ гф Нг 2-1 Рис. 5.5. Конечный объем для деформированной сетки. Следующий этап метода конечных объемов связан с применением метода подобластей к уравнению (5.30) в конечном объеме АВС1), показанном на рис. 5.5, что дает 1 ( —, + — а) ИхЫу= ~ Н псЬ= О, (5.33) лвсо лвсв где Н и аЪ = — ду — — тех. дФ дф дх ду Следуя тем же путем, как и в п. 5.2.1, приближенное представление уравнения (5.33) запишем в виде (5.34р Гл. о. Методы взвешенных ненязок Различные приемы вычисления производных [дф/дх] и т.
д. рассматриваются в книге [Реуге1, Тау!ог, 1983]. Здесь величина [дф/дх] е,, вычисляется как среднее значение по площади В'ВС'0'ААи'В' на рис. 5.5. В результате по- лучам — =(д ) ~~ [ д ) !тх!ту=(д ) ~ фе(у, (5.35) ~ дУ1ье !ге=(дл.в.с.о.) ~~ Ы"" =-('в"о.) ~ " (5.36) Фг(У = Ф!т е-!Луяв'+ ФВЬУВ с'+ ф! еЛус о + ФАЛуолч А'В'С'О' а также аналогичное выражение для А'В'С'О Бели сетка не слишком сильно деформирована, то Луяв = — /!ус'о' не тзулв тзув'с' !зуо'А' !.!уй — ! й БАВ=Злвсо =ЛхлвЛуе-!.е — Ьуявйхе !,ы (5.37) На этом основании выражение (5.35) принимает вид аулв(Фье ! Фт,е)+аУ» !, е(ФВ Фл) дх ] ояв дФ вЂ” [ьхяв (Ф е ! — Ф! е) + ьхе ! е (Фв — фл)] (5.38) д ь е-це д АВ Если получить аналогичные выражения для [дф/дх] !Уе!тз, е и т.
д., то уравнение (5.34) можно записать в виде '~лв(фи е-! Фп е) + Рлв (Фв — Фл) + Явс(ф! е!, е — Фт, е) + + Рвс (Фс — Фо) + Ясо (Фи е+! — Ф!, А) + Рсо (Фо — Фс) + + (еол (фг ! е — ф! е) + РОА (фя — фо) = О, (5.39) где Кв = (д!хяв+ д!уяв)/Влв Рлв = (/тхлв/тхе-! «+ 5улвд!уе- !, е)/Влв Явс=(~хвс+5увес)/Звс Рвс=Яхвс5хг+! г+ 5увс5уте! !)/Ввс (]со=И",.+5усо)/Всо, 'со=Ихс.5х„„+5Усо5У„,,Исо. ~оя=йхоя+5уол)/Вол 'оя=(ачхоя"х! ! )+Ми"У -! !)/Вол. 15$ З 55Ь Метод конечных объемов Фигурирующие в (5.39) значения фд, хд, уд вычисляются как средние из четырех узловых значений вокруг данной точки.
Так„ например, фд —— 0.25(ф» «+ ф»» «+ ф, «, + ф» «,). Подстановка подобных выражений в уравнение (5.39) приводит к следующему девятиточечному дискретному варианту уравнения (5.30): 0.25(Рср — Род) ф» « ~+ (»„»~~+ 0.25(Рвс Род)) ф, «+ + + 025 (Рвс — Рсо) Ф» е и «е» + Дод + + О 25 (Рсо Рдв)) Ф»-», «+ (Ядв — Явс+»ечсо+»чад) Ф», «+ + (»,»вс + О 25 (Рдв — Рсо)) Ф»+ », «+ + 0.25 (Ррд — Рдв) Ф»-ь д»+ Яда+ 0.25 (Род — Рвс) )Ф», «-»+ + 0.25 (Рдв Рвс) Ф»е», «-» — — О. (5.40г тогда как улучшенное решение выражается в виде Ф»"=Ф»",«+) (Ф».
° — Ф».«) (5.42) где ». — показатель релаксации (см. 2 6.3). Интересная особенность метода конечных объемов состоит в том, что решение с граничными условиями Неймана (для производных) может быть построено точно так же, как и в. случае граничных условий Дирихле, т. е. путем прямой подстановки граничных значений в уравнение (5.34). Если положение узловых точек сетки определено, то входящие в уравнение (5.40) величины типа Ядв, Р,в и т. д.
могут быть- вычислены раз и навсегда. Для решения уравнения (5.40) удобно применить последовательную верхнюю релаксацию (ПВР), описанную в 9 6.3. Уравнение (5.40) может быть формально разрешено относительно в+! Ф»,«и, следовательно, Ф»,«=(0.25(Рсо Род)ф» и«»+ Жсо+ +0.25(Рвс Род)ф «е»+0.25(Рвс — Рсо)Ф»еп«+ + + [Ярд+ 0.25(Рсо — Рдв)) ф»»,«+ + Ивс + 0 25 (Рдв — Рсо)] ф»», «+ + 0.25 (Ррд Рдв) Ф»-и «-»+Яда+0.25 (Род — Рвс) )Ф»,«»+ + О 25 (Рдв — Рвс) Ф»е ь «-») "/(Яда +»»вс +»еъсо +»»од) (5.41). 152 Гл. 5. Методы взвешенных невпзок 5.2.3. Р1)г01г метод конечных объемов в применении к решению уравнения Лапласа Описанный выше метод реализован в компьютерной программе Р1Ъ'01., распечатка которой приводится на рис.
5.6. :Основные параметры, используемые в программе Р1ЧО1., описываются в табл. 5.4. Таблица 5.4. Параметры, используемые в программе Р)ЧО(. Параметр Описание Программа Р1ЧО(. считывает и выдает исходные управ.ляющие параметры (строки 1 — 25). Задается сетка, рассчитывается начальное решение (для проведения ПВР), а также точное решение (строки 38 — 53). Поскольку интерес представляет только сходящийся процесс решения, то точное решение также использовалось в качестве одного из начальных решений для ПВР. Этот вариант приводит к быстрой сходимости процесса по схеме ПВР. Задаются граничные условия (строки 57 — 64); строго говоря, эта часть программы не является необходимой, так как граничные условия уже были в неявной форме учтены в строке 51.
На каждой стороне области задаются параметры, связанмые с сеткой ((1ла, Рла и т. д.); это отражено в строках 68 — 123. аМАХ КМАХ ЯМАХ йтч ВХ йу йл ТНЕВ ТНЕЯ ЕР5 ОМ РН! РН)Х РН)З ХА, УА ()ХА 0ХК цМ5 Число точек в радиальном направлении Число точек в окружном направлении Максимальное число итераций ги (рис. 5.4) гх (рис. 5.4) гг (рис. 5.4) гх (рис. 5.4) вмх (рис.
5.4) ахг (рис. 5Д) Критерий сходимости ПВР Показатель релаксации Х в формуле (5.42) Ф Ф ха, уа Ахи а Ьха ((Ф* Ф")ппа ))Ф"+ Ф))ппа 2 С зс 4С 5 С 6 С в 9 1О С 11 12 1З 14 15 16 ХТС 1$ 19 20 21 22 23 24 25 26 С 27 2$ 29 зо И Зз зз Зб звс 3$ С Зт С зв Зз 4О ° 1 42 4З 44 45 46 47 4В 49 5О 51 53 54 С 55 С 56 С 57 5$ 59 60 Рйтоь ВРРикз тнк Рзнхтк тоьвнк жтнов то твк зоьвттон от ьйрьйсез еоойт10н 1И сййтеззи соойвтийтез Ои В Роьйй ой1ве тве В1зсйет1зев $0$$710И и $0ьтев Вт $0В ,$1НЕИ$10И Х(21~21).т(21,21),04$(21,21),РИ(21,21) АВС(21,21) 1РВС (21, 21), ОСИ (21, 21), РСВ (21, 21), ЯРВ (И, 21), РВВ (21, И), ЗРВ1(21,21),РИ1Х(21,21) ОРЕМ (1,91ЬЕ ~'Р1ТОЬ.ВВТ') ОРЕИ(6,91ЬЕ 'Р1УОЬ.ОВТ') йейв (1, 1) днзх, изх, инах ВЕВЭ (1, 2) ВВ, И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
