Fletcher-1-rus (1185917), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Основные параметры, используемые в программе БТ13КМ, описываются в табл. 5.9. Таблица 5.9. Параметры, используемые в программе $Т()ЙМ Опиеаиие Параметр 1(ЧТ Программа 8Т()КМ считывает (и выводит на печать) исходные управляющие параметры (строки 11 — 21). Задаются значения х, точное решение, а также узловые значения функции Р в правой части уравнения (5.66) (строки 28 — 42). Вычисляются вклады в матрицу В и вектор С в уравнениях (5.76) (строки 43 — 69) и проводится корректировка с целью учета граничных условий. Система уравнений (5.76) с ленточной матрицей решается путем обращения к подпрограмме ВАРГАС (строка 83), выполняющей факторизацию В в произведение 1 13, и обращения к подпрограмме ВА)ч501.
(строка 86) для Решения факторизованной системы. Распечатка и описание подпрограмм ВА(чРАС и ВА(т)501. дается в п. 6.2.3. Далее рассчи- 12 К. флетчер, т. ! )чх А Р тех В 0 ВАЫРАС ВА(ЧБ01 1(М8 4 5.4. МКЭ и уравнение Штурма — Лиувилля = 1, линейная интерполяция; =2, квадратичная интерполяция =О, выдать на печать лишь среднеквадратичную ошибку; = 1, выдать на печать также и решение Число точек в направлении оси х, включая х = О и х = 1.О Коэффициенты а~ в уравнении (5.66) Узловые значения для правой части (5.66) Точное решение У, формула (5.68) В в уравнении (5.?6) Са в уравнении (5.76) См. п. 6.2.3 См. и.
6.2.3 Среднеквадратичная ошибка (79 саьь Вэизоь(6,79,В,ИХР~1мт) СОНРОТЕ йНЗ Еййой Рис. 5.)9 <окончание). Мб 57 5$ 59 60 61 62 63 64 65 66 67 6В 69 70 С 71 С 72 С 73 74 ')5 76 77 7$ 79 $0 С $1С $2 С $3 $4 С $5 С $6 $7 С ВВ С В9 С 90 С 91 92 93 94 95 96 97 9$ 99 100 101 102 103 104 105 9 5.4. МКЭ и уравнение Штурма — Лиувилля 6 ВИ,ТН) о. В(2,1И> е 4.еИ./РХВ е О.И/3. В(3,1Н> 4.*(-2./РХ5 + 0.$)/Э. В(4,1И> В(2,ПИ В(5,1И> О. ВИМ) е 0.4*(РИ-И + В.еРИ) + РИ+И)/3. ВИ,И 2 *(-0.25/РХЗ - О.И/Э.
В<Э,И в 2.*И./РХ5 + 0.2)/3. В(Э,И в Э.е("3.5/РХЗ + О.В)/3. В(4,И В<2,И В(З,И ВИ.И 6<И - -О.)е <РИ-И+ХИ+3) > + 0.2-(РИ)+ХИ+2» + О.В*РИ+И ОИ) 2 *ОИ)/Э. 7 СОИТХИОЕ И)ЭОЗТ Рой Вооивййт С<Н<01710ИВ В(2,И в О. ВИ,Э> - О. В<Э,МХР> 0.5"В(Э,ИХР) В(В.ИХР> О. В(Э,ИХР) и О. 1РИМТ ЕО. И6!ИХР] (Р(ИХИ + 2.*Р(ИХ))/б. Ппмт ЕО.
2>6<ИХР) 2.*<-ОИ Р<ЙХР-И + О 2*Р<МХР> + ОА*Р(МХ]> ЗОЬТЕ ВВМРЕР ЗТ5ТЕН ОР $90171ОМЗ саьь Ваитйс(в,ихР,1ит) ЗОИ О. РО 9 1 в 2,ИХ Т(И ТРИ-И РТ ТИ] - ТЕХИ> Зои ЗОН + РТ"РТ пИРВ .$0. 0)бото 9 ий1ТЕ (6, В] 1, Х И), Т И), ТЕХ (И, РТ $ РОВИВТ(' 1в',13„' Х ',Р7.5,' Т ',17.5,' ТЕХ ',Р7.5,' РТ ', 1$7.5) 9 соит1иое ВМЗ Войт(ЗОН/аих) Ий1ТЕ(6,10)йНЗ,ИХ 10 Ройийт(//,' ВНЗ ',$10.3,' Мйв',13) ВТОР Гл.
5. Методы взвешенных невязок 180 тывается и выводится на печать (строки 87 — 103) среднеквадратичная ошибка как разность между значениями Т, выданными после обращения к ВАХ501, и точным решением. Типичная выдача для случая линейной интерполяции при Ах = 0.125 представлена на рис.
5.20. Показанное решение соответствует следующему набору коэффициентов а1 в уравнении (5.66): а, = 1.000, аз = — 1.000, аз — — 1.000, ал = — 1.000, аз = 1.000. Результаты, показанные на рис. 5.20, свидетельствуют о том, что в общем случае ошибка решения меньше вблизи границы с условием Дирихле, чем вблизи границы с условием Неймана.
Втнен-ы0071ьье РХОВьеи, Рен:щиела 1итеироьлт10И их- 9 а .1оое+оз -.1оое+оз .зоое+оз -.зоое+оз .1оое+01 ИНБ .ЭВОН"02 ИХ 9 Рис. 5.20. Типичная выдача после прохождения программы 3Тз/мМ. В табл. 5.10 приводится сравнение среднеквадратичных ошибок решения при линейной и квадратичной интерполяции и прн измельчении сетки. Таблица 5.!О. Ошибки решения для задачи Штурма — Лиувилля Среднеквадратичная ошибна Равмер ячейки, Ьл Квадратичная интерполяция Линейная интерполяци» 0.00!48 0.000178 0.000056 0.000023 0.00380 0.00163 0.000904 0.000562 !/8 !/!2 1/16 !/20 2 Х .125ОО 1 3 Х= .25000 1= 4 Х= .37500 1н 5 Х .50000 1 6 Х= .62500 1 7 Х= .75000 1 8 Х .87500 1= 9 Х=1.00000 Т .11631 Т .22691 т- .ззтэг т- 44403 Т= .53796 т- 62765 Т= .71190 т .74987 ткх- .11721 ТЕХ .22733 тех- .ззвэз тех- .446зз ТЕХ .53943 ТЕХ .62899 ТЕХ .71739 ТЕХ .75848 ОТ вЂ .00089 РТ=-.00042 От †.оозоо От--.оогэо РТ=-.00147 От--.ооэза 07=-.00549 От -.00861 $5.5.
Другие приложения метода конечных элементов 181 Следует отметить такие особенности результатов, приводимых в табл. 5.10: 1. Интерполяция высокого порядка (т. е. квадратичная) оказывается лишь ненамного более точной, чем интерполяция низкого порядка (линейная), если применяется очень грубая сетка.
2. При измельчении сетки точность интерполяции высокого порядка возрастает с большей скоростью, чем для интерполяции низкого порядка. 3. Теоретические скорости сходимости оказались приближенно достигнутыми (пропорционально Лх' в случае линейной интерполяции и пропорционально Лхэ в случае квадратичной интерполяции). Стоит напомнить, что при применении метода конечных элементов аппроксимирующие и весовые функции отличны от нуля лишь внутри малой области, окружающей рассматриваемый узел.
Следовательно, метод конечных элементов является локальным методом. Как и в случае конечно-разностного метода, уравнения (алгебраические), возникающие при использовании метода конечных элементов, связывают между собой узловые значения неизвестных лишь внутри малой области. Однако при решении многомерных задач число охватываемых таким образом узлов для метода конечных элементов существенно больше, чем для метода конечных разностей (см.
$ 8.3 и книгу (Г!е1- с)1ег, 1984). й 5.5. Другие приложения метода конечных элементов В данном параграфе метод конечных элементов применяется к решению уравнения диффузии (п. 5.5.1), уравнения Пуассона (п. 5.5.2) и уравнения Лапласа (п. 5.5.3). Первая из этих задач позволяет проиллюстрировать обычную для метода конечных элементов практику, когда дискретизируются только пространственные члены. Дискретизация члена с производной по времени осуществляется как отдельный этап. Во второй задаче вводятся две пространственные координаты, в результате чего усложняется структура дискретизированных уравнений.
Третья задача дает представление о реализации изопараметрической формулировки, весьма полезной для вычислительных областей неправильной формы. 5.5.1. Уравнение диффузии Этот пункт посвящен применению метода конечных элементов к решению одномерного уравнения диффузии Гл. З. Методы взвешенных невязон 182 (теплопроводности) дТ дзТ 81 — а~, -— — 0 (5. 90) в интервале 0 ( х (1 и 1) О. Предполагается, что начальное условие имеет форму Т(х, 0) =То(х), а граничные условия записываются в виде Т(0, г) = а и Т(1, г) = Ь. Введение тех же самых линейных аппроксимирующих функций (5.70), которые использовались в задаче Штурма — Лиувилля, и такой же способ применения метода Галеркина с конечными элементами дают на однородной сетке следующий результат для внутренних узлов: (5.91) Для укаэанных выше граничных условий Дирихле не требуется вводить дискретизированные уравнения у граничных узлов.
С учетом того что конечно-элементная формулировка применяется только к пространству, член дТ/дг в уравнении (5.90) подвергается такой же обработке, как и непродифференцированный (по пространству) член У в уравнении (5.66). Не удивительно поэтому, что в (5.91) и (5.83) появляются одни и те же весовые множители (1/6, 2/3, 1/6). Если г(Т/И заменяется на /зТ"е'!М, а последний член в левой части уравнения (5.91) вычисляется как средневзвешенная величина по отношению к и-му и (и + 1)-му слоям по времени, т. е. так, как в уравнении (7.24), то результат принимает форму -.'( — '".' ')+ ( — '",' )+-.'( — ".' ')— — а ( 11 Р) (Тн 2ТЕ 1 Тн ) Р (Тн+ 2Тл+ ( Тп+ ) 1 ах ахз (5.92) где параметр 5 регулирует степень неявности.
Уравнение (5.92) можно представить в следующей компактной форме: М оТ" т~' = а 1(1 — 5) 1., Т"; + (11. Т~+') = О, (5.93) где Ы'1+~ = Т1" ~~ — Т"; и массовый, и разностный операторы л1 и /., определяются соответственно формулами Мн = (1/6 2/3 1/6), /.„з = (1/Лхз 2/Ьхз 1/Ьхл) % 8.5, Другие приложения метода конечных элементов 183 Сравнение с неявной конечно-разностной схемой (7.24) показывает, что единственная разница между ними состоит в том, что член с производной по времени в конечно-элементном варианте разбит на слагаемые, определяемые в соседних узлах. Уравнение (7.24) может быть приведено к форме уравнения (5.93), если дать следующее определение массового оператора: М„= (О, 1, 0).
Подобие структуры уравнения (5.93) и уравнения (5.90), послужившего его прообразом, наталкивает на мысль о том, что метод конечных элементов можно интерпретировать как почленный процесс дискретизации наподобие конечно-разностного метода. Такая интерпретация изучается в приложении А.2 и используется в $ 8.3. После перестановки членов уравнения (5.93) можно получить неявный алгоритм (М, — Иай1. ) Т1+' = (М, + Ага(1 — 11) 1„„'1Т1. (5.94т Важность структуры соотношения (5.94) можно лучше оценить после прочтения 9 7.2. Многократное применение соотношения (5.94), центрируемого в каждом из узлов по очереди, позволяет получить трехдиагональную систему уравнений, которую можно решить с помощью алгоритма Томаса (см. п.
6.2.2). Как будет видно далее, приравнивание р = 0 в случае конечно-разностной схемы (7.24) приводит к явному алгоритму. Это не так в случае рассматриваемой схемы вследствие «неявного» характера оператора М„. Однако благодаря симметричной природе операторов М» и Е,„, из соотношения (5.94) все же можно получить явную схему, если сделать специальный выбор А(= Лхэ/(бар). Соотношение (5.94) согласуется с уравнением (5.90) при ошибке усечення 0(ЛР, Лхэ), если 5 = 0.5, и обладает безусловной устойчивостью, если 5 ) 0.5. При специальном выборе 5 = 0.5 соотношение (5.94) было применено к анализу примера, рассмотренного в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
