Fletcher-1-rus (1185917), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Рис. 5.14. Двумерная функция 1 = 11 — 0.8соз(0.5ях))(соз(0.5иуЦ. рм1.0 9=0 9=-1.0 х=-1.0 а=0 ж= 1.0 Рнс. 5.15. Линейные элементы в двух измерениях. Интерполяционное решение всего с четырьмя элементами является не очень точным. Например, в точке х = 0.5, у = 0.5 1= 0.45711, Гш = 0.375. Целиком интерполяционное решение для функции (5.63) показано на рис. 5.16. Однако точность решения 'быстро возрастает по мере увеличения числа элементов, покрывающих область 4 5.3. Метод конечных элементов и интерполяция 169 (табл. 5.7).
Показанные в табл. 5.7 результаты, относящиеся и билинейной интерполяции, свидетельствуют о том, что среднеквадратичная ошибка уменьшается пропорционально Лхт (=бр') Таблица 5.7. Ошибки в случае двумерной конечно-элементной интерполяции Билинейная ннтериеляпня Бикналратнчная интерполяния 0.08527 0.02199 0.00557 4 16 64 4 16 64 0 01199 0.00151 0.00019 Рис.
5.16. Билинейная интерполяция функции (5.63). мент имеет девять узловых значений (см. рис. 5.13), которые интерполируются с помощью выражения 9 1~и= Е)йф~й т)), 1-З где интерполяционные функции фс($, т)) задаются с помощью формул (5.62). Как видно из табл. 5.7, элементы с биквадра- (5.65) Более точная интерполяция может быть достигнута за счет применения биквидратичной интерполяции. Тогда каждый эле- 170 Гл. В. Методы взвешенных невявон тичной интерполяцией являются более точными, чем элементьг с билинейной интерполяцией при сохранении одинакового числа узловых точек. Обращаясь к табл.
5.7, отметим, что 16 соприкасающихся линейных элементов содержат такое же число узловых точек, как и 4 соприкасающихся линейных элемента. По мере того как большее число квадратично-интерполируемых элементов используется для покрытия области — 1 ( х ( 1„ — 1 ( у < 1, среднеквадратичная ошибка убывает пропорционально Лх' (=Аут).
Аппроксимирующие функции Лагранжа могут быть введены и в случае трех измерений. При реализации трилинейной интерполяции элементы в форме кирпичиков и имеющие по восемь узлов заменяют прямоугольные элементы с четырьмя узлами, фигурировавшие при двух измерениях. В случае триквадратичной интерполяции элементы-кирпичики с 27 узлами. заменяют прямоугольные элементы с 9 узлами в двух измерениях [2(еп)е!еш!сг, 1977). При рассмотрении случаев двух и: трех измерений введение кубической интерполяции и интерполяции более высоких порядков вполне возможно, но не представляет большого интереса вследствие большого числа взаимосвязанных узлов [Р!е!с)тег, 1984).
Имеется возможность исключить центральный узел из квадратичного прямоугольного элемента, показанного на рис. 5.13; это приводит к построению серендиповских элементов и к такой интерполяции, при которой внутренние узлы не затрагиваются. Введение таких элементов возможно при квадратичной или имеющей более высокий порядок интерполяции и при любом числе измерений.
Серендиповские элементы описываются в книге [Х!епк!етн!сг, 1977]. 9 5.4. Метод конечных элементов н уравнение Штурма — Лнувилля В п. 5.1.1 метод Галеркина был определен как принадлежащий к классу методов взвешенных невязок. При введении формы приближенного (интерполяционного) решения, строящегося по методу конечных элементов, т. е. выражения (5.44), подчеркивается, что неизвестными являются узловые значения, а аппроксимирующие функции представляют собой кусочно-определенные полиномы низкого порядка. Здесь мы применим метод Галеркина с конечными элементами к решению уравнения Штурма — Лиувилля, имея в виду проиллюстрировать технику реализации метода.
Е 5.4. МКЭ и уравнение Штурма — Лиувилля 171 5.4.1. Подробная формулировка задачи Упрощенное уравнение Штурма — Лиувилля можно записать .в виде х=О х1 ха *1+! хю-1 хх з х1, х1 Рис. 5.17. Задача Штурма — Лиувилля. решения, эквивалентного выражению (5.44), в виде ! у= Е уА(х), ! ! причем функции ф!(х) представляют собой линейные аппрокси- мирующие функции, которые в элементной системе координат при х=х(5) могут быть заданы выражениями (рис. 5.17) Внутри элемента А: ф!(5)=0.5(1+э), $= 2 [х — (х! + х!)/2) Внутри элемента В: ф!(5)=0.5(1 — $), 2 [х — (х1+ х!е!)/2) !1хг+! (5.70) ь !!ау — „„, + У = г" = — ~ а! з( и (1 — 0.5) нх (5.66) 1-! с граничными условиями У(0)=0 и ~(1)=О. (5.67) Для частного вида Е, фигурирующего в правой части (5.66), точное решение задачи имеет вид У вЂ” ~ ( ', з(п [(1 — 0.5) нх!.
(5.68) ! 1 Метод Галеркина с конечными элементами начинается с введения в качестве приближенного решения некоего пробного зл.3 172 Гл. о. Петоды взвешенных невнвон Подстановка выражения (5.69) в уравнение (5.5) дает невязку решаемого уравнения в виде (5.71) Использование уравнения взвешенных невязок (5.6) при й7 (х) = ф (х) дает ! ~ф (х)(, +У Р)с(х О. о (5.727 Можно отметить, что здесь интегрирование выполняется по области 0 < х ( 1.
Если учесть, что в формуле (5.69) решение выражается через узловые значения Уь в уравнении (5.72) не- могут появляться производные старше первой [М1(с)!е11, 1Ча11, 1977). На этом основании используется интегрирование по частям, приводящее к следующему соотношению: ! ! ~(ф-'„,ло)"=[ф- ах1- ~("Их )('Н'.) ~Х- о о Учитывая, что У(0)= О, нет надобности записывать уравнение. с т=О (см. рнс.
5.17). Для т) 1 имеем ф (0)=0. При. х =! !(У/!(х= 0 и поэтому формула (5.73) принимает вид ! ! ~ (ф — „, ) !(х = — ~ ( — „) ( — „) о(х. (5.74~ Подставляя (5.74) и (5.69) в уравнение (5.72) и проводя не- которые перестановки, получаем Все члены, стоящие под знаками интеграла, известны, так что (5.75) представляет собой фактически систему алгебраических уравнений, которую можно записать в векторной форме: Вх'= С, (5.76)! где Ь,ь т. е.
элемент матрицы В, выражается по формуле ! ь,=~( „„— „„'+ф ф) (, (5.77д о х Г 1 ! ~ ~ ~( — — „~ + ф ф!)!(хууг — — ~ ф„,Рг(х, т=1,..., Х. (5.75~ о о 173 ф 6.4. МКЭ и уравнение Штурма — Лиувилля тогда как У) есть элемент вектора Т, а д — элемент вектора б, т.
е. ! (5.78) Элемент В Элемент В у)+! 'з)+а )+!,(-2 )-! 1 )+! 7+2 (Ь) (а) Рис. 6.18. Вклады, соответствуюгцие узлам и элементам и вносимые в дискретизированные уравнения. (а) Линейная интерполяция; (Ь) квадратичная интерполяция, угловой узел. дого элемента по очереди (рис. 5.17). Если учесть, что функции (з также задаются формулами (5.70), то ненулевые вклады дают только элементы, примыкающие к узлу 1= и. Для узла т =Х вклад в расчет по формулам (5.77) и (5.78) дает только один элемент.
Следовательно, матрица В является трекдиагональной, т. е. отличны от нуля лишь нижеследующие члены (1 ~ 1 ~ з 1): 1 ох( Ь = — +— ах) 6 1 ах)„! (5.79) а для узла т = 7: ! ох Ь, = — + — ~ Лз-! = дх 6 т -1 ах Ь = — +— Х ох 3 Х Величины шагов !зх; и гзхге! показаны на рис. 5.18. Правую часть формулы (5.77) достаточно просто вычислить, если превратить интеграл по х в интеграл по й, взятый для каж- 175 6 5.4. МКЭ и уравнение Штурма — Лиувилля Таблица 5.8. Среднеквадратичная ошибка при решении упрощенного уравнения Штурма — Лиувилля !Ь' — Т' !1,, 7.830 Х!О 1.860 Х!О 0.447 Х!О 0.109 Х!0 0.027 Х 1О 0.2 О.! 0.05 0.025 0.0125 6 11 21 41 8! показана в табл. 5.8.
Эта среднеквадратичная ошибка опреде- ляется выражением Уменьшение ошибки при уменьшении ох, показанное в табл. 5.8, пропорционально Лх'. Это согласуется с теоретически предсказанным результатом для случая линейной интерполяции, причем имеет тот же самый порядок, как и для трехточечных центрированных конечно-разностных формул (см., например, табл.
7.!). 5.4.2. БТ()КМ: программа расчета по уравнению Штурма — Лиувилля В п. 5.4.1 метод конечных элементов с линейной интерполяцией применяется к решению упрощенного уравнения Штурма — Лиувилля (5.66) с граничными условиями в форме (5.67). В данном пункте будет дано описание компьютерной программы ЬТ()КМ, предназначенной для получения конечно-элементных решений задачи (5.66) — (5.67) при использовании линейной и квадратичной интерполяции. В случае использования квадратичных интерполяционных функций (5.57) формулы (5.77) и (5.8!) принимают следующую форму, пригодную для угловых узлов по внутренней части Для точек, разделенных одинаковыми интервалами, среднеквадратичная ошибка, полученная при различных значениях 7, 176 Гл.
5. Методы взвешенных невязок (5.86) области: — 1 Лх! ь 1! з бах 15 ! 4 26х! ь =- — + — ' !! ! ЗЛх; 15 1 'т 4 (5.84) 4 26х!+! Зах ! 15 -1 ах!+, ! 1+з бах!+! 15 7 ах! Х 7 25х! т 4 н! ! 15 ) ! — з+Х 15 ) 1-!+ 15 ( !+ !+!) !+ Особая форма выражений (5.84) и (5.85) является следствием ограничений х; ~ — — 0.5(х;, + х!) и х!+! = 0.5(х1+ х!+з).
Эти ограничения могут быть ослаблены, что, однако, приведет к усложнению алгебраических выражений. В граничном узле т=? формулы (5.77) и (5.81) прини- мают вид — 1 Ьх бах 15 У 4 2Лхз Ь = — + — ~, Зал 15 У вЂ” 7 4Ьх х бах + 15 их= — 1 5 )Рх з+( 15 ) Р, !+1, 15 ? Рх. (5.87) Подставляя (5.?4) и (5.69) в уравнение (5.72) и проводя не- терполяции, но центрированных в узлах в середине сторон, формулы (5.77) и (5.81) принимают вид 4 25х; 5 = — + — ' ! ! ! ЗЬх.
15 ! (5.88) 4 25х! = — + — '; ! !+! ЗЬх 15 177 Система уравнений (5.76) является трехдиагональной, если применяется линейная интерполяция, а в случае применения квадратичной интерполяции — попеременно трехдиагональной и пятидиагональной. Эффективные модификации метода исключения по Гауссу могут быть использованы для решения уравнений (5.76) в том или ином из указанных случаев и описываются в пп. 6.2.2 и 6.2.3. Программа ЬТ(3КМ применяет метод Галеркина с конечными элементами к уравнению Штурма — Лиувилля (5.66). Распечатка программы 5Т1)ЯМ приводится на рис. 5.19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
