Fletcher-1-rus (1185917), страница 32
Текст из файла (страница 32)
7.2.5; результаты анализа приведены в табл. 7.6. 5.5.2. 1Н)СТ: течение вязкости жидкости в канале прямоугольного сечения Здесь метод конечных элементов будет использован с целью представления в дискретной форме характерной двумерной задачи. Полностью развитое ламинарное течение вязкой жидкости в канале прямоугольного сечения (рис. 5.21) определяется 184 Гл. 5.
Методы взвешенных невязок уравнением импульсов в проекции на ось г: (5.95) где осевая скорость й(х, у) должна быть определена при заданном градиенте давления др/дг и заданной вязкости 1з. С точки зрения вычислений целесообразно привести (5.95) к безразмерной форме путем введения величин х и = †„ ул = ь ° и!ял = игл ( — аз л 1л ) ° (5 96) 'Тогда уравнение (5.95) принимает вид (индекс пд опущен) (5.97) ,с граничными условиями йг=О при х=~1, у=-~1.
(5.98) Следуя процедуре наподобие той, которая в и. 5.4.1 применялась к уравнению Штурма — Лиувилля, для й! вводится пробное решение вида Ь г ш= ~., нггфг(х, у), (5.99) где фг(х, у) — двумерные интерполяционные функции, как правило, определяемые формулами, эквивалентны- Ь ми (5.60) или (5.62). Для данной рис. в.о!.
Течение вязкой задачи на каждом из элементов будут жидкости в канале прямо- введены билинейные интерполяционугольного сечения. ные функции по схеме, представлен- ной на рис. 5.15. Подстановка выражения (5.99) в уравнение (5.97), применение галеркинской формулировки в виде (5.5) и (5.10) и некоторые простые перестановки приводят к следующей системе алгебраических уравнений: В%= хз, (5.100) где компонентами вектора % являются неизвестные узловые значения нгг, фигурирующие в (5.99), тогда как элементами матрицы В являются выражения Ь г ' ~ ~ !ь!ь ) л л + л л з!охту (5 101) -! — ! $5.5. Другие приложения метода конечных элементов !85 (5.104) а компонента вектора С задается формулой ! ! д = 1 1 15 1е(хну.
(5.102) †! †! Параметр т соответствует номерам всех внутренних узлов„ т. е. 2 </ «-ЖХ вЂ” 1, 2 </г </!/У вЂ” 1. Интегралы в (5.101) лучше всего вычислять для каждого элемента по отдельности, используя элементные координаты (в, !)), как в (5.64).
Нуле- вые вклады в глобальные интегралы в правых частях (5.101) и (5.102) вносят лишь по четыре соседних прямоугольных эле- мента, окружающих узел т. Структура выражений (5.101) и (5.!02) аналогична струк- туре выражений (5.77) и (5.78), если не считать того, что интегрирование теперь ведется по двум измерениям вместо одного. Интерполяционные функции р!(х, у) оказываются та- кими, что вклады в интегрирование могут быть определены в форме произведений одномерных интегралов (см. приложе- ние А.2). В случае однородной сетки уравнение (5.100) приобретает особенно компактную форму [( — ) М„з/.,„+М„!3!/ии)и а= — 1, (5.103г где индексы /, /и соответствуют глобальной сетке (рис.
5.1!). Операторы Е„, и /.ни в уравнении (5.103) — это направленные разностиые операторы Л„„= (1/Лхх, — 2//!хи 1/Лхе), / (1/лйе 2/а е 1//хил)г а М„и ̄— направленные массовые операторы М„=М„"=(1/6, 2/3, 1/6); (5.105) наконец, символ З обозначает тензорное произведение. Опера- торы имеют следующий смысл: !вг-!, а 2мг, е+ мг+!, е /'ахеи!5 Й ах! М ц! е = (1/6) и!! е !+ (2/3) и!! е+ (1/6) и! ее!, М /. ш, — /~ ' '"' '„"' "'""~+ 2 ( ы! ! е — 2в; е+ !в; (5.106): 81 Ьхе Комплекс М„Э Еиявь е имеет аналогичную структуру.
Гл. 5. Методы взвешенных неввзок Трехточечная конечно-разностная дискретизация уравнения (5.97), эквивалентная данной, имеет вид (' )' '.Ь ')з в~ ~ « — 2в «+ в~+~ «в « ~ — 2в~,«+ в~ «+~ а/ ахз + ау« (5.107) и может быть представлена в форме (5.103), если определить Л,, ы=М„, ы=(0, 1, О). т Сами по себе массовые и разностные операторы, фигурирующие в уравнении (5.103), идентичны тем операторам, которые фигурировали в уравнении (5.93). Главным отличием первого из указанных уравнений от второго является то, что в результате интегрирования по двум измерениям возникает тензорное произведение одномерных операторов. Указанное отличие и обозначения массовых операторов были использованы в 3 8.3.
Более подробное обсуждение этих обозначений дается в приложении А.2. Важность введенного обозначения состоит в том, что оно позволяет осуществлять почленную конечно-элементную дискретизацию вполне аналогично тому, как это де.лается в методе конечных разностей. Систему уравнений, получаемую путем записи уравнения (5.103) для каждого внутреннего узла (/ = 2, ..., / — 1; й = 2, ..., К вЂ” 1), очень удобно решать с применением ПВР (см. $ 6.3) подобно тому, как это делалось в п. 5.2.3. Чтобы обеспечить согласование с распечаткой программы 111)СТ (рис.
5.22), соответствующий алгоритм записывается в форме .ш' = 0.75 [1. + (РАК 1/6) Х Х(ш," ь„,+ш",,ь„,+ш,"",,,+ ",Л,,)+ + РАК2(ша +ша+~,)+РАКЗ(шв+/ +шл )]/РАК1 (5.108) хде РАК1 = (Ь/а)з/Ах« + 1/Луз, РАК2 = [ — (5/а)з/Ах« + 2~/дуз)/3, РАКЗ = [2 (Ь/а)'/Лхз — 1/Луз]/3. 'С помощью соотношения (5.108) определяется предварительное решение, а формула (5.109) дает улучшенное решение иа«1=ша +д(ш „— шч ), (5.109) где Х вЂ” параметр релаксации согласно ПВР. Вышеприведенная формулировка реализуется в программе 1Н)СТ (рнс.
5.22) с целью определения распределения скорости в канале прямоугольного сечения (рис. 5.21). Программа 1 гс зс бс 5 С 6 С ТС В ЗС 10 11 гг зэ 14 С 15 16 17 ЗВ 19 ао 21 2ЗС аз 24 25 26 27 ав 29 зо Зз 32 зз Зб ЭВ 36 ЗТ С 3$ с Зэ С 4О 41 4а бз 44 45 46 С 47 4$ С 49 50 61 52 бэ 54 55 56 57 ВОСТ.РОН СОНРОТЕЗ ТНЕ ТОЬЫ РЕТКЬОРЕР Ч1$СОРЗ ЬЛНЗИЛН ТРОМ 1М Ь йкстлмооьлй селиикь от лзйест йлтзо, в/л ( влй), вт пн (ынкле ЕЬКНКИТЗ) ЛИР ТРН (ЗРТ СЕИТЕЕБР Р1ТТБВБИСЕЗ). Зой 1$ ОЗЕР ТО ОВТЛ1Н 1ТЕВЛТ1ТЕ ЗОЬОТ1ОМ Р1НВН$1ОМ МЕХ(41,41),МЛ(41,41) ОРЕИИ,Тхьк 'РОСТ.РЛТ') ОРЕМ(6,$1ЬЕ 'РОСТ.ООТ') ВЕЛО(1,1)ИХ,НВ,ИЕН,1РЕ,1ТНХ,ВЛН,ЕРЗ,ОН 1 ТОЗНЛТ(515,3Е10.3] 1$(НЕ .КЯ. 1)вй1ТЕ(6,2) 1$(не .Бо. 2)мй1те(6,3) 2 ТОЗНЛТ(' РОСТ ТЬОМ Вт ТКИ3 ЫИЕЛВ ЕЬЕНЕМТЗ') 3 тойнлт(' Рост тьом Вт РРМ3 зРт сеи.
01тт.') МВ1ТЕ(6,4)МХ,ИЕН,ВЛН,1ТНХ,БРЗ,ОН 4 РОЗНЛТ(' ИХ ',13,' НКИ ',12,' В/Л ',$5.2,' НЛХ 1ТЕВ ',14, 1' СОМТ ТОЬ ° ',Е10.3,' Ои ',Тб.з,//) Р1 3.1415927 им а их/а + э ИТ МХ ИХР ° ИХ - 1 МТР ИХР И(Х НХР РХ ~ 2./ЛИХ РХЗ Рхаох РТ РХ РТЗ РХЗ ВЛЗ Вйй*вйй/РХЗ РЛВ1 ВЛ$ + 1./РТЗ Рлйа (а./Ртз;- влз)/з. Рййз (а.авйб - 1./РТЗ)/3. ЗЕТ ОР ЕХЛСТ ЛИР 1М1Т1ЛЬ $0Ь(3Т10ИЗ РОТ Ю 1,ИХ Лз ~ д " 1 Х -1. + ЛЗ"РХ РО '5 Х м 1,ИТ ЛХ К-1 Т -1. + ЛК*РТ сльь ткых;т,итзьР1,влйлв,яьх] МЕХ(д,к] МР ЧЛ(Ю,Е] в МР 5 соитхмок 1ТПРЕ .Ео. 0)ООТО 7 мй1те(б,б] (Мкх(ЗД) Х а,ит] 6 ТОНИЛТ(' МЕ ',10$7.4] 7 СОИТ1МОБ МЕ1ТБ(6, 3) В ТОЕНЛТ(/] Рнс.
5.22. Распечатка программы РУСТ (Начало). ъвс 59 С 60 С 61 62 63 64 65 66 67 68 69 ТО 72 Тз 74 75 76 77 78 79 во 81 вг вэ 84 85 86 Вт С 88 С ВЗ С 9О 91 92 93 94 95 96 97 зз 99 1ОО 1О1 1О2 1ОЗ 104 105 106 1О7 10В 109 11О 111 хтквхтк Озэио зов 10 12 13 14 1 15 соиивк зоьвтэои угти кххст ЗОН О. аь о. ВОХВ3 2ИХР ВО 16 к 2,МЧР ВХР УХ<3,К) - МКХ(г,и ЗОН ЗОИ + ВП ВП аь аь+ ия,х) сомтэивк 1Е<ХРВ .Еа. 0)УОТО 18 увэте<6,17] <ул(з,х),х г,итР) РОВНХТ<' УХ ',11Р7.4] сомтэнне аь = аь*вх*вч Внз завтпвн/<хих-э.)/<хих-э.)] УВ1ТЕ(6,19)1,ВНЗ 8817Е(6,21)УХ(ИН,ИН),УЕХ(ИН,НН) 881те(6,20)аь,аьх РОВНХТ(/,' СОИЧЕВОЕВ ХРТЕВ ',13,' ЗТЕРЗ',5Х,'ЗОЬ Вий ",812.5,//] РОВНХТ(' СОНР. РЬОУ ВХТЕ ',Е12.5,' ЕХХСТ РЬОУ УХТЕ ',Е12.5] РОВНХТ(' У(С/Ь)~',Е12.5.' УЕХ(с/Ь! ',Е12.5,//) ЗТОР емв 16 17 18 19 20 21 Рис.
5.22 (окончание). ВО ээ 1 1,'ХТИХ ЗОН О. ВО 12 д 2,ИХР ди ° д - 1 дР ° д + 1 ВО 11 К 2,ИТР Хн Х-1 ХР к+1 п<нк еа. 2]бото 9 ВОИ = 1. + РХВ1/6.*<УХ(ЗН,КР) + УХ(дР,КР) + УХ(ЮИ,ЕН) + УХ(дР,ЕН)) вон - вви + Рхвг*<ух(З,ЕР) + ух<э,хи]) + Рхвз.<ух(зи,х) +ух(ЗР,Е)) УВВ 0.75*ВОН/РХВ1 сото эо ВОИ ~ 1. + ВХЗа(УХ(дн,х) + УХ(ЗР,Х)) + (УХ<3,КН) + УХ(З,ЕР))/ВТЗ УВВ ~ 0.5*вон/РХВ1 ВП - УВВ - УХ(З.К) ВОН ЗОН + Вэт~оэт УХ(З,Х) ' УХ(З,Е) + Он*ВП соитэивк соитэмвк Вкз завт<зои/(хих-з.)/<хих-э.)) п<виз .ьт. ЕРз]сото 15 соиимук 881ТЕ<6,14]1ТИХ.ВИЗ РОВНХТ(' СОМЧЕВОЕИСЕ ИОТ ХСН1ЕЧЕВ 1И',15,' ЗТЕРЗ',5Х, ' эткв Вив ',812.5] й 5.5. Другие приложения метода конечных элементов 189 0()СТ считывает (и выводит на печать) различные управляющие параметры (строки 10 — 21).
Задаются точное решение и его начальная форма (строки 37 — 51). При решении данной задачи число итераций по схеме ПВР не представляет интереса, поэтому в качестве начальной формы решения по ПВР применялось точное решение. Подпрограмма УЕ(. (строка 47 на 1 2 ВОВВОвт1ие теь(х,т,и,Р1,вли,и,оы 3С 4 с Рои оттен х,т соирвтеи Ахгдь теьосттт ти симееь 5 С АЯВ СОИРОТЕВ ТИЕ РЬОИ ВАТЕ 6 С В 9 1О 11 12 13 14 15 16 17 13 19 20 21 22 гз 24 25 26 27 2В 29 30 СОЯ (В./Р1/Р1]**2 ХЛИ 0.5еР1*Х ТАИ 0.5*Р1*т и о. оь о.
00 2 1 1,И,2 А1 1 СХ - СОВ(ЛтеХЛИ) ВО]3 (,н,г Аи - 3 СТ СОВ(13*ТАЯ) 13 (1+3)/2 - 1 ТР(ы .ВО. о]атс = (.о 1Р(13 .ст. о)310 - (-1.)* ы ВЕИ Атедг*((А(*ВАЛ) "2 + Ы*Ы) оии 310*ох*от/веи и = и + вии ЕЬ - ОЬ Е 1./ВВИ/Ы/Ы 1 соиттиие 2 СОИТ1ИИЕ и сонет Оь (16./Р1/Р1)*сои*оь Ветоии еив Рис. 5.23. Распечатка подпрограммы ЧЕ(.. рис. 5.22 и рис. 5.23) вычисляет точное решение, получаемое по методу разделения переменных (см.
п. 2.5.2), и имеющее вид НВХ МЕХ тй = ( †„, ) / ~~ ( ..(.,/~)3 + ., Соз(0.5/3(х)соз(0.5/пу)), ( !. 3, 3, ... / 1, 3, 3, ... (5.1! О) МЕХ МЕХ (7< = 2 ( —,) ) ~~ (1/((3/'и\((ЙЬ/а)3+ /3!)), С (. 3, 3, ... / (, 3, 3, ... еде полный расход потока равен д< = ~ ~ тн с(х ду. 190 Гл. 5. Методы взвешенных невязок Описание Параметр (=Ь!Т), число точек в направлениях и и у =1, метод конечных элементов с линейнымн элементами„ =2, метод конечных разностей с трехточечной центрнрованной схемой Число членов в выражении для точного решения Параметр управления печатью Максимальное число итераций (ПСР) Критерий сходимости (ПСР) Показатель релаксации Х (ПСР) Безразмерные координаты х, у Подпрограмма для вычисления точного значения скорости в точке (х, у) и полного расхода Точное значение осевой скорости тй Вычисленное значение осевой скорости и шп ь 1ти),а шп а1ипе ~~шп а шп.
а11 Вычисленное значение полного расхода Точное значение полного расхода ш ЫХ МЕ ЫЕМ 1РК 1ТМХ ЕРЗ ОМ Х,Т и'Еь МЕХ %А %1)(т КМЗ О) С)1Х Таблица 5.12. Изменение точности решений по программе РУСТ по мере измельчения сетки (Ь/а !) Тонное внесе- ние Сетка б ха пхп шхм ° ! Метод гша поз ппб Конечных элементов 0.5598 0.001239 0.5295 0.001571 0.5540 0.000256 0.5623 Конечных разностей 0.006480 0.4949 0.00! 480 0.5446 0.000205 0.5623 0.5583 Далее программа 1И)СТ (строки 58 — 83) ведет счет по формулам (5.108) и (5.109) с помощью итераций, пока величина ') гп а — гп а~ не станет меньше заданной малой величины ппе ЕР5. После этого (строки 87 — 106) решение сравнивается с точным решением и выводится на печать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
