Fletcher-1-rus (1185917), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Относительные достоиинства методов конечных разностей, конечных элементов и спектральных методов анализируются в книге [Р!е1сЬег, 1984]. Еще один мощный глобальный метод — метод ортогональной коллокации — сравнивается с конечно-разностными и конечно-элементными методами в книге [Р!п1аузоп, 1980, гл. 4 — 6]. 8.8.
Задачи Методы взвешенимх невязок: общав формулировка ($5.1) 5.1. Уравнение озу/Ыхт+ у = [1 — (5к/6)з) з1п(5их/6) с граничными уело. виями у(0) = О, й(1) = 0.5 необходимо решить в области 0( х ( 1.О, используя следующие методы взвешенных невязок: Гл. 5. Методы взвешенных невязок 208 (а) метод Галеркина, (Ь) метод подобластей (О < х < 0.5; 0.5 < х < 1.0), (с) метод наименьших квадратов. Приближенное решение представьте в форме у = а, (х — хз) + аз (хз — хз) + О.бх'. Сравните численные решении с точным решением у = з!п(бпх/6). 5.2. При надлежащем способе приведения к безразмерной форме уравне- ние диффузии или теплопроводиостп может быть записано в виде дй д»0 — — О.
д! дхз При начальном условии 9(х, 0) = аш(пх) + х и граничных условиях 6(0, !) = О, 0(1, !) = 1.0 построить решения вышеприведенного уравнения в вы- числительной области 0 < х < !.О, 0 < 1 < 0.20, пользуясь следующими ме- тодами: (а) метод Галеркина, (Ь) метод подобластей, (с) метод коллокаций. Следует испольэовать приближенное решение У О= а!п (ях) + к+ ~' а! (!) (х! — х! ).
! ! Применение вышеуказанных методов взвешенных невязок к безразмерному уравнению теплопроводности дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов а,(!). Этп уравнения численно интегрируются маршевым методом. Получите решения (после составления компьютерной программы) для Л! = 3, 5, 7 всеми тремя методами и сравните точность и скорость сходимости.
Точное решение этой задачи имеет вид 0 = мп (ззх) е " + х. 5.3. Течение вязкой жидкости в кана.че прямоугольного сечения подчиняется уравнению (5.97): с граничными условиими ач = 0 при х = ~1, у = ~1. «Точное» решение этой задачи дается формулой (5.110), есм! величина (»ЕХ достаточно ве- лика. Приближенные решения следует построить, пользуясь (а) методом Галеркина, (Ь) методом подобластей, (с) методом коллокаций. В качестве приближенного решения используйте выранзение У а = ~ а! (! — хз)! (1 — уз)1, ! ! форма которого подсказана видом предельных одномерных профилей скорости (Ь)а = 0 и оо).
Получите решения для йг = 1, 2 и 3 и сравните результаты с решениямн, полученными в п. 5.5.2 методом конечных элементов. й 5.8. Задачи Дайте комментарии, касающиеся точности в расчете на одну узловую неизвестную, в связи с корректностью предполагаемого приближенного решения. В этот анализ включите формулу (5.1!0) с малыми значениями (ч)ЕХ, так как это решение является одновременно и решением по Галеркииу (Г!е(сйег, 19341 Метод конечмых объемов (й 5.2) 5.4.
Постройте решения уравнения Лапласа в области, показанной на рис. 5.4, используя программу Р!ЧОЕ, для следующих значений параметров: (а) г„0.10, г 4.00, г,=1.00, г ОЛО, 6, О, 8 90; (5) г =ОЛО, г =3.00, г», 1.00. г =0,10, 6 =О, 6 =90. Для каждого варианта получите результаты на трех сетках: ЛМАХ = = КМАХ = б, 11, 21.
Сравните точность и скорость сходимости с результатами, приводимыми в табл. 5.5, 5.5. Модифицируйте программу Е!ЧОЕ применительно к решению уравнения дф дф г д»ф д»ф Х вЂ” + — — а»х — + — х! =3. дх ду ~ дх» ду» ) Источниковый член 5 может учитываться таким же образом, как и член ду/д/ в уравнении (5.23). Испытайте программу для случая 3 = (соз (26)— — з!п(26))/г» путем получении решений для тех же самых значений параметров, которые использовались для составления табл.
5.5. н гх = 1. Сравните решения с точным решением ф = (зш 6)/г». Граничные условия для выбранного выше значения 8 задаются формулами (5.31). 5.6. Метод конечных объемов, описанный в $5.2, необходимо применить к ситуации, когда на линии (УХ задается граничное условие Неймана, а именно Остальная часть формулировки задачи та же, которая была дана в $ 5.2, при том,же точном решении. Для получения уравнений, справедливых на линии (УХ, воспользуйтесь той же процедурой, которая показана на рис.
5.5, но при этом используйте «половинный» конечный объем, центрированный иа ФХ и лишь простирающийся внутрь вычислительной области. Соотношения, эквивалентные (5.34), могут быть получены непосредственно н аппроксимировзться так же, как в программе Р(ЧОЕ, за исключением того, что значение дф/дх(ял можно получить из граничного условии.
Член дф/дх) эх удобно вычислить с помощью трехточечной конечио-разностиой аппроксимации, поскольку линия йгХ совпадает по направлению с осью х. Сделайте необходимые изменения в программе Е(ЧОЕ и испытайте при тех же условиях, какие были показаны в табл. 5.5. Метод квнечнык элементов и ннтерполвция ($5.3) 5.7. Примените линейную и квадратичную конечно-элементную интерполяцию к функции у (1+ з!п лх) а»" в диапазоне 0 ( х ( 1.0.
14 К Флетчер. т. ! 210 Гл. 5. Методы взвешенных невязок Получите значения интерполированной функции для 3, 5, 9 н !7 равномерно распределенных узловых точек внутрн вычислительного ннтервала. Вычислите среднеквадратичную ошибку на основе 20 равномерно распределенных точек в интервале 0 < х < 1.0 н покажите, что достигаются теоретически предсказанные скорости сходимости.
5.8. Для функции, рассмотренной в задаче 5.7, выполните линейную н квадратнчную конечно-элементную интерполяцию на сетке, растущей по закону геометрической прогрессии с показателем 1.2, для следующих вариантов (О < х ~ (хчтк): (а) Лх 0,2, 0.24, 0288, 03456,...; (Ц Лх = ОЛ, О.! 2, 0.144,...; (с) бх = 0.05, 0.06, 0.072, .... Завершите сетку, как только станет х ) 1.0. В случае квадратичной янтерполяцнн расположите каждую из средних точек так, чтобы х, 0.5(х + +х ) и т. д. Вычислите среднеквадратичные ошибки на основе 201 равномерно распределенных точек и сравните со случаем интерполированного решения с приблизительно тем же числом равномерно распределенных внутри данной области точек.
Рассмотрите поведенне решения н вклады в среднеквадратичную ошибку в различных частях вычислительной области н определите, может ли интерполированное решение, имеющее заданную точность, быть построено более экономичным образом за счет избирательного расположения узловых точек. 5.9. Получите решения с лннейной и квадратичной интерполяцией на конечных элементах для функции у (! + з(ппх)е т" зш (пу) в вычислительной области 0 < х < 1, 0 < у ~ 1. Вычислите среднеквадратнчную ошибку на однородной сетке, в пять раз более мелкой, чем самая мелкая сетка с узловыми точками. Получите среднеквадратичную ошибку для того же числа элементов, которое указано в табл. 5.7, и сравните точность н скорость сходимости с результатами, приведенными в табл. 5.7. Метод конечных элементов; уравнение Штурма — Лвувнлля ($5.4) 5.10.
Как указано в приложении А.2, вклады в различные одномерные конечно-элементные операторы соответствуют формулам 1 г 1 г нп( 1 Г г(Ф( г(чьэ М = — ~ФФ Нх, Е = — ~ — ~ф Нх, й = — — 3! — — Нх. бх Л ! а ' л йх Э т(х а ' йх З Пк Ил Покажите путем вычисления интегралов, что в случае линейных элементов на однородной сетке вышеперечисленные операторы, будучи центрированы в й-и узле, имеют значения 5.11. Моднфицнруйте программу ЗТ(эйМ так, чтобы она была прнгодна для граничных условий вида у (0)=а, — (1) =Ь. бу Их Это потребует изменений в вычислении Ь,т и я прн гл = 1, принимая во внимание все ненулевые вклады, вносимые в соотношение (5.73).
Кроме того, $5.8. Задачи 211 перед решением с помощью подпрограмм ВАг(ГАС/ВАг)5ОЕ необходимо будет провести некоторую перестройку трехдиагональной системы уравнений. Испытайте сделанную модификацию путем численного решения уравнения — +у=с =(1 — — ) сов ( — ) с граничными условиями у(0) = 1, Фу/дх(1) = — бп/12 в интервале 0 < х < < 1.0. Эта задача имеет точное решение у = соз(бпл/6). Получите решении кан с помощью линейной, так и квадратичной интерполяции при размерах сетки, указанных в табл.
5.!О, н сравните достигаемую точность н скорость сходнмостн. 5.12. Примените метод Галеркина с конечными элементами, линейной н квадратичной интерполяцией к решению уравнения др — — В=О дх с граничным условием у(0) = !.0 в интервале 0 < х < 1.0. Эта задача имеет точное решение у = ехр х. Решите неявные уравнения, использун подпрограммы ВАРГАС/ВА!450Е, как в программе 5ТУ)(М. Получите решения на однородной сетке с прогрессирующим измельчением, пока среднеквадратичная точность не станет приближенно равной значениям, указанным в табл.
5.3. Прокомментируйте относительные достоинства, такие, как точность и вычислительная эффективность использовании локальных аппроксимирующих функций низкого порядка, как в методе конечных элементов, и глобальных аппроксимирующих функций высокого порпдка, как в традиционном методе взвешенных невкзок (см. $5.1). Метод конечных элементов — другие прмложення (3 5.5) 5.13. Получите решения длн течения вязкой жидкости в канале прямоугольного сечения, используя программу РУСТ на сетке 11 Х 11, при различных значениях Ыа, пока решение на центральной линии, проходящей по меньшему размеру, не станет с точностью в 1 Тэ среднеквадратичной ошибки совпадать с одномерным параболическим профилем, а именно и = 1.5(!— — у') 5.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
