Fletcher-1-rus (1185917), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Моднфицируйте программу РУСТ для решения уравнения Лапласа в области 0 < х<!.О, 0 < у < 1.0 при граничных условиях ш(х, 0)=сов(0.5пх), Ф(1, у)=0, Ф(х, 1) ео'з" соз(0.5пх), дш — (о, у)=о. дх Эта задача имеет точное решение ш = соз(05пх)ехр(05пу).
Если к решению задачи применить метод конечных элементов, то расчет уравнений Галеркина, центрированных на линии х = О, будет связан с интегрированием лишь по двум соседним элементам. Для однородных граничных условий Неймана формула (5.10!) остается в силе, так как все члены, возникающие после интегрирования по частям, равны нулю. Покажите, что расчет уравнений Галеркина по двум соседним элементам не вносит изменений в г однако вместо формул (5.104) и (5.105) следует использовать выражения (' Аз' Ахз)' " (' 3' 6)' 14* 2Г2 Гл.
5. Методы взвешенных невязок Получите численные решения вышеуказанной задачи на сетках 6Х 6, 11 Х Х1! н 21)(21 н сравните точность решений по методам конечных элементов и конечных разностей. 5.15. Модифнцнруйте программу О(/СТ для решения уравнения дФ дФ д»Ф д»Ф — + — — а — — )) — = 0 дх ду дхз дуз в области 0 < х < 1.0, 0 < у < 1.О, при граничных условиях Ф (к, О) е»/а Ф (!, у) = е!/аез/В Ф (О, у) = е"/В, Ф (х, ц е!/Вк»/и Это сочетание имеет точное решение Ф(к, у) = ехр(х/а)ехр(у/6). Пря значениях параметров а = 1.О, )) = 1.0 постройте решения по линейной схеме метода конечных элементов и по трехточечной схеме метода конечных разностей на сетках 6 )( 6, !! Х 11 и 2! )( 21.
Сравните точность и скорость сходимости для решений, полученных методом конечных элементов и методом конечных разностей. Спектральный метод (3 5.6) 5.16. Примените спектральный метод к решению уравнения диффузии (как описано в п. 5.6.1) с начальным условием Т (х, 0) = 5х — 4»з и с граничными условиями Дирихле Т (О, /) = О, Т (1, /) = 1. Покажите, что можно воспроизвести результаты, приводимые в табл. 5.13.
Получите также решения при Х = 7 и 9, сравнив их с приближенным решением Ть и точным решением Т. 5.17, Примените спектральный метод к решению уравнения диффузии с начальным условием Т (х, 0) = 3 — 2х — 2хз + 2»з и со смешанными граничными условиями — Дирихле и Неймана (как в $5.6): дТ(0, /) — = — 2, Т(1, /)=1.0. дх Получите численные решения при а = 1.0, используя значения 1 = 3, 5 и 7 в формуле (5.136), вплоть до / = О.!.
Сравните численные решения с точным решением л Т 3 — 2х —, 1 з!п ((2/ — 1)мх) е и!з/ '! "Г, Х ~~(2/ — 1)м/ чтобы определить скорость сходимости в зависимости от 1. Подтвердптв путем численного расчета, что стационарное решение Т„= 3 — 2» достигается при доведении численного интегрирования до больших значений времени.
Глава 6 Стационарные задачи Многие примеры из числа рассмотренных в гл. 6 — 5 содержали время в качестве независимой переменной, что принималось во внимание при построении алгоритмов. Однако многие задачи гндроаэродннамики по самой своей природе являются стационарными, а исходные уравнения по своему характеру зачастую оказываются эллиптическими (см. $2.4). Как отмечалось в п. 3.1.2, для дискретизации уравнений стационарного течения можно воспользоваться любым из трех основных методов — конечных разностей, конечных элементов илн спектральным, — что приведет к системе уравнений (6.1) А(Ч)Ч=В, где Ч вЂ” вектор, составленный из неизвестных узловых значений или из коэффициентов пробного решения (5.2).
Матрица А содержит алгебраические коэффициенты, связанные с дискретизацией и, вообще говоря, может зависеть от самого решения (Ч). Вектор В составлен из алгебраических коэффициентов, обусловленных дискретизацией, и из известных значений Ч, например из тех, которые заданы граничными условиями. Как правило, матрица А(Ч) является разреженной (содержит мало элементов, отличных от нуля), причем ее ненулевые элементы расположены вблизи диагонали, если используются конечно-разностные или конечно-элементные методы.
В случае спектрального метода матрица А(Ч) будет наполненной (число нулевых элементов мало). На рис. 6.1 элементы р, д, г, з и 1 матрицы А связаны с соответствующими узловыми точками. Элементы р и й связанные с узлами (1, Й+ 1) и (1, й — 1), отодвинуты от диагонали этой матрицы на величину М вЂ” число неизвестных узловых значений в направлении оси х. Имеется возможность построить некоторый итерационный процесс, позволяющий решить уравнение (6.1) в его истинной форме. Однако может оказаться более эффективным введение внешней итерации, в процессе которой уравнение (6.1) на каждом шаге превращается в линейное, так что можно восполь- Гл.
6. Стационарные задачи зоваться прямыми методами (см. $6.2). К этому типу принадлежит и метод Ньютона,'рассматриваемый в $6.1. Если матрица А не зависит от Ч, то требуется только один этап внешней итерации, т. е. уравнение (6.1) можно записать в виде АЧ= В.
(6.2) Для решения уравнения (6.2) можно применить как прямые методы ($6.2), так и методы итераций ($6.3). Если матрица А хх х ххх х ° ° ° р пга т х ххх х ° ° ° х ххх х хх + р + м+! — г — а — 1т +!+й-1 Рис. б.!. Типовое распределение отличных от нули элементов матрицы А после конечно-разностной дискретизации. наполненная, то для осуществления непосредственного решения уравнения (6.2) применяются подпрограммы РАСТ и 50ЕЧЕ, описанные в п. 6.2.1 и использующие метод исключения по Гауссу.
Если матрица А трехдиагональная или трехдиагональная и пятидиагональная попеременно, то с помощью подпрограмм ВАРГАС и ВАН$01 можно получить решение Ч также с помощью гауссовского исключения, но значительно эффективнее, чем при использовании подпрограмм РАСТ и ЛОВЧЕ.
Для некоторых вариантов структуры А, таких, которые получаются при конечно-разностной дискретизации уравнения Пуассона, могут быть применены специальные процедуры (см. п. 6.2.6). Применение итерационных методов (точечный Якоби, Гаусса — Зайделя и ПВР) иллюстрируется в и. 6.3.2 на примере решения уравнения Пуассона, описывающего течение вязкой жидкости в канале (см. п.
5.5.2). Исследуется влияние измельчения сетки на оптимальное значение показателя релаксации и на скорость сходимости точечной ПВР. Демонстрируется обобщение точечной ПВР иа линейную ПВР и на неявную схему переменных направлений (НПН), причем делается сравнение с результатами точечной ПВР. Методы сопряженных градиентов (п. 6.3.4), а также многосеточные методы (п. 6.3.5) описываются в первую очередь в качестве средств ускорения «классических» итерационных процедур. 215 $6.1.
Нелинейные етаииоиариые задачи $6.1. Нелинейные стационарные задачи Стационарные задачи гидроаэродинамикн зачастую оказываются нелинейными из-за характера конвективных членов или несколько реже из-за зависимости от решения таких параметров потока, как зависящая от температуры вязкость (тнпичный пример). Метод Ньютона с несколькими независимыми переменными является потенциально полезным приемом решения стационарных задач гидроаэродинамики с учетом его быстрой сходимости в случае попадания близко к истинному решению. Этот метод будет проиллюстрирован здесь на примере решения двух задач.
Сначала будет решаться сильно нелинейная система алгебраических уравнений. Далее будут рассмотрены двумерные стационарные уравнения Бюргерса (см. $10.4), так как эти уравнения имеют точно такую же нелинейную структуру, что и уравнения Навье — Стокса для несжимаемой жидкости (см. 5 11.5). б.!.1. Метод Ньютона Метод Ньютона представляет собой мошное средство для решения нелинейных уравнений, подобных (6.1). Схематическое представление этого метода дается на рис. 6.2.
Если уравнение (6.1) переписать в форме К = А (Ч) Ч вЂ” В = О, (6Л) то основную формулу метода Ньютона можно записать в виде Ч<а+и = Чпц — (Л1а>) ' К1а>, (6.4) где й — номер итерации, а 3<а> — якобиан. Элемент матрицы )<а1 ИМЕЕТ фОрМу о11)" 1 Уп — —— ду)м (6.5) Некоторые итерационные методы, будучи применены непосредственно к решению уравнения (6.1), оказываются концептуально подобными введению эквивалентной нестационариой формулировки исходной задачи. Если считать, что нестационарное решение не представляет особой ценности, то можно модифицировать члены, зависяшне от времени, таким образом, чтобы сходимость к стационарному состоянию достигалась за возможно более короткий промежуток времени исполнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
