Fletcher-1-rus (1185917), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Именно в этом состоит побудительный мотив для разработки псевдонестационарных методов (см. $6.4). Гл. 6. Стационарные задачи 2!6 Формулу (6.4) можно переписать в виде 3>а> ЛЧ>а+>> = — 11<а>. (6.6) Векторное уравнение- (6.6) представляет собой систему линейных уравнений, которую необходимо разрешить относительно вектора поправки АУ<а+» = У<а+» — Ч>а> на каждом из итерационных этапов.
реюеиие ' 1 Заморозить ! 1 Рнс. 6.2. Схематическое представление метода Ньютона. Привлекательная особенность метода Ньютона состоит в том, что он обнаруживает квадратичную сходимость, если только текущая итерация достаточно близка к сходящемуся решению Ч,.
Квадратичная сходимость означает, что !! Ч>а+ и — у, !! = !! Ч>а> — у, !(>. (6.7) Критерий сходимости метода Ньютона можно получить следующим образом (см. [1ааасаоп, Ке!1ег, !966]). Если обращение матрицы Я<о> обладает нормой, ограниченной величиной а, т. е. !!,1>о> '!!а-а, если первый поправочный вектор ЛУ<» имеет норму, ограниченную величиной Ь, т. е.
!! аЧп> !! — !! (1>о>) ' 1з>о>1 <Ь и, кроме того, если 11 обладает непрерывными вторыми производными, удовлетворяющими неравенству 217 $6.1. Нелинейные стационарные задачи при всех Ч в области 1[ЛЧ>»11( 2Ь, и, наконец, если упомянутые выше константы удовлетворяют соотношению (6.8) аЬс ( 0.6, то метод Ньютона будет сходиться к решению 1пп Ч'а>=Ч„ а.+ о для которого К(Ч,)=0 и 11Ч>м — Ч,11(Ь/(2а->).
Здесь векторные нормы представляют собой максимальные нормы, например [Ч1=тах1У>1, а матричные нормы — максимальные натуральные нормы, например и 11711 = >пах ~17» 1. / 1 Следует заметить, что проверка выполнения неравенства (6.8) связана примерно с таким же объемом работы, как и попытка решения самой задачи. Основная трудность при использовании метода Ньютона состоит в том, что радиус сходимости Ь уменьшается по мере увеличения >Ч [К[>е(пЬо!о1, 1974), так что для обеспечения сходимости величина Ч>а> должна быть близкой к Ч,. Наиболее существенная доля времени исполнения при применении метода Ньютона уходит на факторизацию матрицы Уа>, требуемую для решения уравнения (6.6). Это время исполнения можно несколько уменьшить, если заморозить значение уа> на протяжении нескольких шагов >й.
Иначе говоря, факторизация матрицы Уа> будет нужна только один раз на протяжении >й шагов. Однако, как правило, для достижения сходящегося решения понадобится при этом ббльшее число итераций. Методы решения систем нелинейных уравнений, включая метод Ньютона, обсуждаются в книге [Ог1еда, К(>е>пЬо161, 1970[. б.Е2. 7>7Е*тРТОИ> температурный анализ работы коллектора в виде плоской пластины При анализе работы солнечного коллектора в виде плоской пластины, схематически показанного на рис. 6.3, установление энергетического баланса для поглотителя и двух стеклянных крышек может потребовать решения следующей системы нелинейных уравнений, связывающих температуры поглотителя Т„ Гл.
б. Стационарные задачи 2!8 а также двух стеклянных крышек Т, и Тзл 1>1> = (Та + О 06823Т>) (Тч + 0 05848Т ) — О 01509 = О, )1 = (Т',+0.05848Т,) — (2Т'+0.1!696Т )+(Т'+0.5848Т )=О, (6.9) )4з = (Т' + 0.05848Т ) — (2.05Т4 + 0.2534Т ) + 0.06698 = О. Для упрощения операций при решении уравнений величины Т„ Т, и Т„входящие в уравнения (6.9), соответствуют абсолютным температурам, деленным иа тысячу.
Сопнечное изпучание Температура стеклянной краники ТЗ Температура стеклянной краники Га Температура потпотитепя Г> Рис. 8.3. Солнечный коллектор в виде плоской пластины. Многокомпонентный метод Ньютона (п. 6.1.1), будучи применен к уравнениям (6.9), на каждом итерационном шаге й требует решения уравнения 3<а> ЛТМе'> = — 14>а> (6.10) относительно ЛТ<а"'>.
Тогда решение выражается формулой Т<а+и = Т<а> + ЛТ>а+ и. В уравнении (6.10) Х» = д>с;'>дТ;. Применительно к данной задаче имеем (4Тз>+ 0.06823) — (4Тзз+ 0.05848) 0 (4Т> + 0.05848) — (8Тз + О.! 1696) (4Тзз + 0.05848) 0 (4Тт + 0.05848) — (8.2Тз з+ 0.2534) (6.11) Решение этой задачи было представлено в алгоритмической форме с помощью компьютерной программы ЫЕЖТОИ.
Блоксхема для программы ХЕ%ТОМ показана на рис. 6.4, а рас- 219 6 6,!. Нелинейные стационарные задачи Рис. 6.4. Блок-схема программы МЕтЧТОМ. Невязкн уравнений (6.9) вычисляются с помощью подпрограммы КЕ51О (рис. 6.6), причем делается проверка (ХЕ%ТО)ч), строки 43 — 45), позволяющая остановить расчет, если средне- Таблица 6.1. Параметры, используемые в программе МЕФТОМ Параметр Оаиеаиие М !Т 1ТМХ ЕР8 Т й Число уравнений Номер итерации Максимальное число итераций Максимально допустимая среднеквадратичная ошибка Температура; зависимая переменная Невязки уравнений (6.9), сюда же вводится ЬТ после возврата из подпрограммы 601ЧЕ Среднеквадратичная невязка Среднеквадратичная ошибка решения, 11Т вЂ” Т11, .
Якобиан, 3 Индекс строки с й-м ведущим элементом (в подпрограмме РАСТ), аРЧТ(АГ) = — 1, если ведущий элемент равен нулю ЬТ, поправка к Т цап ЙМЗТ А) еРЧТ ))Т печатки подпрограмм, указанных на этой блок-схеме, приводятся на рисунках 6.5 — 6.7. Различные параметры, используемые в программе НЕ%ТО(Ч, расшифровываются в табл. 6.1. гс гс зс 4С Вс БС 7 С вс 9 АО 11 С 12 АЗ 14 15 16 17 АВ 19 2О С 21 22 гз 24 25 26 27 ВВ С 29 С зо с Э1 Зг с эз Эв 35 36 37 эв ЭУ 4О 41 42 43 44 45 46 С 47 С 4В С 49 50 С 51 С 52 С 53 54 С 55 56 57 МЕНТОМ АРРЬ185 ИЕМТОИ'3 НБТИОЬ ТО ЗОЬУЕ А МОНЬ1МЕАй 375115 ОТ Вьсквяйзс БООАТХОНЗ. В(т) ВВ51Р ЕУАЬОАТКБ ТИВ ЯЕ$1РОАЬБ дАСОВ ЕУАЬОАТЕБ ТНЕ дйСОВ1АИ ГАСУ ГАСТОЯ13Е5 ТВЕ дАСОВ1АН 1ИТО ' .О $0ЬУЕ $0ЬУБЗ ТНБ Ь1МЕАЯ ЗУЗТЕХ ТОЯ РТ ЯЕАЬ~В 5ОН,ЯНЗЯ.ЯХЗТ,РЗОЯТ Р1ХЕИ310И Т(50],Ад(50,50),Р(50],дРУТ(50),ТЕХ(50) ОРЕМ[1,Т1ЬЕ 'МЕНТОМ.РАТ'] ОРЕМ(Б,Т1ЬЕ 'ИЕМТОН.ООТ') ВБАР[э,ии, 17]ьт,еРБ ВЕАР(1,2)(Т[д),д 1,Н] ЯЕАР(1,Э)(ТЕХ(д),д=],М) 1 ТОЯХАТ(215,Е10.3) 2 ТОЯХАТ(10Г5.2) Э ГОЯМАТ(7Т10.7) ]Н(1ТЕ(6,4) Н,177(Х,ТРЗ 4 ТОЯНАТ(' ИЕМТОН5 ХЕТНОР ТОЯ М ' 13 ' 1ТХХ= '13,' ЕР5 ',1]С.]) МЯ1ТЕ[6,5](Т(д),д (,М) 5 ТОЯНАТ(' 1Н1Т БОЬИ ',ЭТ5.2,//) АМ М 1Т 0 6 СОМТ1МОЕ САЬСОЬАТЕ АЕ51РОАЬЗ СА Ь 8$31Р(И,ТНИ БОХ О.
Ь071 1,И 7 ЗОХ 5ОН + Я(1)~й(1) ВНБЯ = РБОЯт[зох/Ан] БОХ О. 0081 1,Х 8 $ОМ = ЗОХ + (Т(И вЂ” ТЕХ(7) ] "~2 ЯМ5Т 05ОЯТ(ЗОХ/АХ) ОА17$[6,9)ВИЗА,АНЗТ,(я[д),д=1,3) 9 ГОВХАТ(' ЯНБ ЯВ=',Р11.4,' ЯХЗ Т =',Р](.4,' Я ','5]1.() 1Т(ЯНЗТ .ЬТ. ЕРБ)СОТО 12 1Т ЭТ + 1 1Т(1Т .Ео. 1ТНЛ)СОТО 11 сйьсоьйте дйсОРХАИ САЬЬ дАСОВ(И,Т,Ад) ТйСТОЯ15Е ТНЕ д/.СОВ1АН 1ИТО Ь.О САЬЬ ТАСТ(И,Ад,дРУТ) ХТ(дРУТ(И) .ЕО. "ИОЯ1ТЕ(6,10) 10 ГОЯНАТ(' ХЕВО РХУОТ РБТЕСТЕР') Хт(ЗР /т(м) ео.
-и сото 15 221 мыс зоа тоз соваастзов, вт сава 30втз(а,ы,мчт,в> васамаат т зона-(,в вт - -а(п т((( т(1> 4 ат сото с квадратичная невязка оказывается меньше выбранного критерия или если превышено максимально допустимое число итераций. Подпрограмма )АСОВ (рнс. 6.7) предназначена для расчета элементов якобиана матрицы (6.11).
Линейная система (6.10) решается в два этапа. Сначала якобиан факторизуется, 1 ас эс 4 С 5 4 С в 9 1 (О <1 11 11 14 15 14 17 преобразуясь к форме 1.У с помощью подпрограммы ГАСТ, а затем преобразованная система решается согласно подпрограмме $0(.НЕ. Подпрограммы РАСТ и БОСНЕ описываются в п. 6.2.1. Форма представления решений уравнений (6.9) показана на рис. 6.8. Как свидетельствует решение, температуры поверх- вас вз с нс и сз с Сз С 44 с н 44 м н св Св С то с 21 с 72 12 71 и и тс н и и и тв $6.1.
Нелинейные стационарные задачи оа(та(с, (м (олива виват(О. нтиа лз,' мвнтвм(з тзв вив ввозима зз' ',мв.й аазтзн.н> (тп> л з,в> виват(' т тгзо.т> СОВГзмы стог им Рис. 6.6. Распечатка программы >ЧЕВ>ТОМ. зиааоитзнк зкзао<н,т,а) ктаьозткз ккззопзьз зкооанко вт иквтои з нктиов 01нкиз1он т(50),к(50),т4(50) ОО 1 З - 1.Н опн - т«п тс<ш пои*вон вон*вин С 0.05244 вон - т4(а) + с т(а> ВЗН тс(З) + Сот(З) а<и тс(1) + о.осзаз*т<1) - вон - о.оэвоэ к<а) - т4<п + с т<ы - а.*вон + оди н<з> оон - а.оз*т4<з) - о.азз4*т(з) + о.озаэз нктизи кио Рис.
6.6. Распечатка подпрограммы мЕ61)З. 222 Гл. 6. Стационарные задачи ности поглотителя и двух стеклянных крышек равны' соответственно 416 К (142'С), 379 К (!06'С) и 334 К (61'С). Для среднеквадратичных значений ошибки и невязки характерна примерно квадратичная сходимость по мере приближения к сходящемуся решению, соответствующая формуле (6,7). Этот икатоиа нктнов тоа и = 3 хтнх= хо 595= .хоок-ое хихт Зоьи - .Зо .зо .зо .70230-02 ВИЗ Т .94000-02 ВИЗ Т .13170-02 ВНЗ т .23720-04 ВНЗ т- .53530"Оа ВНЗ Т ВИ5 ЯЯ ВН5 ВВ ана аи ана аи ВИЗ аа- Вттка 4 хткаатхоиа так анз акахвоаь ха .Звббтк-07 т .4151253 .з7949оа .3335792 Рис. 6.8.
Типовая выдача результатов по программе ХЕ%ТО)Ч. пример показывает, насколько эффективным является метод Ньютона при решении небольших систем сильно нелинейных алгебраических уравнений. 1 2 С З С 4С 5 5 С 7 в 9 10 11 12 12 14 15 14 17 ха 19 ЗО 21 22 5нааоптхне дасОВ(м,т,аю етаьоатез дасОВхаи Веяпхаео Вт иеатои'5 нетнов 01НЕИ51ОИ Т(50) ЛШ(50.50),ТЗ(50> ВО 2 1 1,И Во 1 д 1,И 1 Лд(1,0> О. ВОИ м Т(1) ТЗ(1) и В.еиоиеиии*ВОН 2 СОИТХИОЕ С м 0 ОЕВ45 Ед(1,1) и ТЗ(1) + 0.04В23 Вд(1,2) - тз(2) - С 17(2,1) и ТЗ(1> + С Вд(2,2> и - 2.*ТЗ(2) - 0.11494 ад(а,з> тз(з> + с ад(з,а) тз(ю + с ад(3,3> ь - 2 05чтз(3> - 0.253 ° ЯБТОВИ еио Рис. 6.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
