Fletcher-1-rus (1185917), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Основные параметры, используемые в программе РУСТ, приводятся в табл. 5.11. Таблица 5.11. Параметры, используемые в программе РУСТ $5.5. Лругне приложения метода конечных элементов 191 Типичная выдача в результате прохождения программы 1ПЗСТ, предназначенной для решения с линейными конечными элементами, полученного на сетке 6 к', 6, показана на рис. 5.24. Эффект измельчения сетки как для метода конечных элементов, так и для метода конечных разностей демонстрируется вост гьом вт геи: ьхиедя хьеиемтв их б МХИ=21 В/В 1.00 ндх 1тея = 30 сомт тоь .1сье-11 о Мд~ .1453 .1990 .19ВВ .1453 МВ ЛВВО ЛВ42 Лабг .1949 МВ .1969 Лабг .2В42 ЛМВВ МВ .1453 .19В9 .1949 .
1453 сомтхвоео Вттея эо Втерв Воь Вмв - лгээое-ог М (с/Ы . 26421Е+00 МЕХ1с/ш . 225 0 2 В+00 соир. Тьом елте .52952е+оо ехдст гьом Вате лбггте+оо Рне. 5.24. Типичная выдача поппе прохождения программы 13УСТ. в табл. 5.12. Очевидно, что оба метода имеют сходимость, пропорциональную Ьхэ, Лрэ, причем метод конечных разностей дает несколько меньшую среднеквадратичную ошибку, но несколько большую ошибку по значению расхода потока дь 5.5.5.
Вьгчислительнгяе области неправильной формьн изопараметричесное преобразование В период приблизительно между 1965 и 1970 гг., когда метод конечных элементов впервые приобрел популярность, широко использовались треугольные элементы, так как именно оии позволяли моделировать сложные геометрические формы. Эти треугольные элементы и соответствующие им интерполяционные формулы описываются в книге [21епк1ен1сг, !977). Способность метода конечных элементов к рассмотрению вычислительных областей, имеющих неправильную форму и неоднородных, всегда была важной характерной чертой этого ме .оооо .оооо МЕ= .0000 .1366 МВ .0000 .1926 МЕ .ОООО Л926 МЕ .0000 .1346 Мве .0000 .0000 .оооо .оооо .оооо .оооо .1926 Лэгб . 1ЭВВ .ОООО лтбо лтбо .1926 .оооо лтэо лтбо .1926 .оооо лзгб лэгб .
1эвб .оооо .оооо .оооо .оооо .оооо 192 Гл. 5. Методы взвешенных невизок метода. Однако для моделирования сложных вычислительных областей могут быть введены также и деформированные прямоугольные элементы через посредство применения изопараметрического преобразования. Предпочтение, отдаваемое прямоугольным элементам по сравнению с треугольными, объясняется тем, что первые легче приспособить к взаимодействию с программами формирования сеток (см. гл.
13), особенно в трехмерных случаях. Тем не менее в работе (Зашезоп, Вакег, 1986) разработана эффективная процедура, базирующаяся на введении тетраэдральных элементов с целью моделирования области, внешней по отношению к целому самолету. 4 з1=1 3 т)=1 Рис. 525. Изопараметрическое преобразование. Характерная ситуация иллюстрируется на рис. 5.25. Элементы, показанные в физической плоскости (х, у), подверглись деформации. Однако они без труда могут быть преобразованы в элементы правильной формы в пространстве (9, т1), переход к которому осуществляется по формулам (для случая билинейной интерполяции) 4 4 х= Е Фз(К, т))хь у= Х Фс(В, т))уь (5112) где (хн уз) — координаты 1-го угла элемента В в физическом пространстве, а чч($, т1) — это те же самые билинейные аппроксимирующие функции, которые были определены формулой (5.59).
Использование изопараметрического преобразования оказывает влияние на вычисление интеграла (5.5), содержащего взвешенную невязку. !94 Гл. о. Методы взвешенных невнзок интеграл (5.115): — — (Я( д ) — (~ )( вй)]/бе(У. (5.119) Очевидно, что в (5.1!5) имеем Ыха(д= де1ИЩ. Подстановка выражения (5.119) в интеграл (5.1!5) дает следующий вклад в 6, т от каждого элемента: Преимущество формулировки, основанной на изопараметрическом преобразовании, сводится к тому, что все члены в правой части (5.120) являются функциями (9, т!), тогда как элементы в пространстве ($, т!) имеют правильную форму, как это и показано на рис. 5.25.
Следовательно, для выполнения интегрирования можно применить некий удобный прием, например квадратуру Гаусса (1заасзоп, Ке!!ег, 19Щ. Более подробное описание изопараметрического преобразования и соответствующей формулировки можно найти в книге (21епк!етч!сг, 1977(. $5.6. Спектральный метод Спектральный метод использует приближенное решение в той же форме (5.1), что и традиционный метод Галеркина. Как и в традиционном методе Галеркина, аппроксимирующие и весовые функции отличны от нуля во всей вычислительной области. В этом отношении и спектральный метод, и традиционный метод Галеркина являются глобальными методами (г(е1- сйег, !984(.
В противоположность тому, что имеет место в методе конечных элементов, неизвестные коэффициенты а;(!) в приближенном решении (5.!) не могут быть отождествлены с узловыми значениями неизвестных. Наиболее существенное отличие спектрального метода от традиционного метода Галеркина состоит в том, что первый из них использует в качестве аппроксимирующих и весовых функций ортогональные функции. Аппроксимирующие и весовые функции являются ортогональными, если Г чь 0 при тп=!', ~ ~~ фт(х, у, г) ф„(х, у, г)ЫхдуНг 4 195 $5.6, Спектральный метод 5.6.7. Уравнение диффузии Технику реализации спектрального метода легче всего понять на конкретном примере.
Будет рассмотрено уравнение диффузии дг даТ вЂ” — а — =0 д! дла (5. 121) в вычислительной области 0 ( х < 1, так что будет возможность провести непосредственное сравнение данного метода с методами конечных разностей и конечных элементов. Граничные и начальные условия предполагаются следующими: Т(0, !)=О, Т(1, !)=! и Т(х, 0)=яп(пх)+х. (5.122) Отправной точкой при использовании спектрального мето- да является введение приближенного решения ! Т = з! и (пх) + х + ~, а! (!) 91п (!ах), ! ! где а,(!) — неизвестные коэффициенты.
Форма решения (5.123) автоматически удовлетворяет граничным и начальным усло- виям. Подстановка (5.123) в (5.121) позволяет найти невязку ! !т' = ~~! ~ — „+ а(!я)'а!) з!и (!пх) + аяа яп (пх). !=! Вычисление интеграла с весом, т.
е. интеграла (5.5) с весовой функцией (5.10), а именно 1 ~ [з!п(тих)тг)Их =О, а (5.123) 13» Примерами ортогональных функций служат ряды Фурье, полиномы Лежандра и полиномы Чебышева. В том примере, который мы вскоре разберем, будет видно, что использование ортогональных аппроксимирующих и весовых функций упрощает структуру (обыкновенных дифференциальных) уравнений, получаемых при применении спектрального метода. Кроме того, при надлежащей постановке граничных условий спектральный метод позволяет получить решения очень высокой точности при сравнительно небольшом числе членов в выражении приближенного решения, если только точное решение является достаточно гладким. Эти аспекты обсуждаются в книгах 1г(е1с1!ег, 1984; Сапп1о е1 а1., 1987).
Гл о. Метольз взвешенных неввзок дает 1 3 Г Лнг — + а(!л)за1~ $ [з(п (тлх) ейп (!лх)[ 1(х+ 1 ! е 1 + алз ~ [з!п (тлх) з!п (лх)[11х= О. о (5.124) где а л', если т = 1, О, если тФ1. (5.126) Решение уравнения (5.125) можно записать непосредственно в виде а =е-енч — 1, а =О, т=2, ..., Х. После этого выражение (5.123) принимает вид Т = з1 п (лх) е '"' + х (5.127) который фактически является точным решением уравнения (5.121). Такой результат получился случайно благодаря специальному выбору граничных и начальных условий (5.122).
Ситуация станет более реалистической, если начальное условие задать в виде Т(х, О)=5х — 4х', (5.128) а в приближенном решении (5.123) комплекс ейп(лх)+ х заменить на 5х — 4х'. Применение спектрального метода с условием (5.128) аналогично тому, что описывалось выше, за исключением того, что формулы (5.126) принимают вид — т=1, 3, 5, 1. /П О, т=2,4,6, (5.129) Если в уравнении (5.125) величину Ыа 1И заменить формулой с разностью вперед по времени (а"+' — а")/М, то можно по- Преимущество использования ортогональных функций в (5.124) состоит в том, что первый из фигурирующих там интегралов отличен от нуля, только если /=1л, а второй интеграл не равен нулю, только если т= 1.
Следовательно, уравнение (5.124) принимает форму — +а(тл)за +г,„=О, т=1, ..., У, (5.125) 6 5.6. Спектральяый метод 197 лучить следующий явный алгоритм: ане! Он д~ [(опты)2 цн + г ] (5.130) В данном случае соотношение (5.130) было проинтегрировано с шагом Ы = 0.001. Результаты для различных значений У показаны в табл. 5.13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
