Fletcher-1-rus (1185917), страница 29
Текст из файла (страница 29)
5.3.1. Линейная интерполяция Одномерные линейные аппроксимирующие функции ф1 (х) показаны на рис. 5.8. Функция ф1(х) принимает значения ф=о при х<хт 1, х — хт при х1, (~ х < х1 (элемент А), (5.45) х — х1 фт — — 1 при х=х;, х1е, — х — — при хт~(х<хт+, (элемент В), (5.46) х+,— х ф =о при х> хт+1. Таким образом, функция фт отлична от нуля только в диапазо- не х; ~ < х < х;+ь Подобным же образом можно установить, что аппроксимирующая функция фим отлична от нуля только между узлами 1 и 1+ 2. В случае линейных аппроксимирующих функций выраже- ние (5.44) принимает вид Т=Т1 1фт 1+Т ф1 внутри элемента А, (5.47) Т = Т,фт+ Т„,ф„, внутри элемента В, т.
е. благодаря локальному характеру аппроксимирующих функций (см. рис. 5.8) в каждый элемент дают вклады лишь по два члена. Внутри элемента А функция ф; задается форму- лой (5.45), а функция фт ~ — формулой (5.48) ио Гл. 5. Методы взвешенных неввзок Внутри элемента В функция фт задается формулой (5.46), а ф;+1 — формулой ф/+' к — х (5.49) Вышеописанное построение будет использовано для получения линейной интерполяции функции у = 1 + соз (0.5пх) + ейп (пх) (5.50) в диапазоне 0 < х < 1.
Поведение функции, определяемой формулой (5.50), показано на рис. 5.9. Узловые значения ут опре- Элемент А Элемент В Ф,) ж1 в х1, х:+~ я3+з х Рнс. 5.8. Одномерные линейные апнрокснынруюнтне функннн. деляются с помощью точного решения, т. е. у~ = у(х~). Внутри же конкретного элемента местное решение уш, получаемое путем интерполяции, задается формулами У~п = Уг-~ф~-1(х) + Утф~ (х) внутри элемента А, (5.51) Уш = Ууф~ (х) + У~+1фт+1(х) внутри элемента В. В~у~ри элемента А ф;, и ф; задаются формулами (5.48) и (5.45) соответственно.
Внутри элемента В ф; и файв, задаются с помощью (5.46) и (5.49). Линейно-интерполяционное решение в форме (5.51) представлено графически на рис. 5.9. Ясно, что при двухэлементном делении интервала 0 < х < 1 интерполяционное решение обладает довольно большой неточностью в средних точках каждого элемента, например х= 0.25: у= 2.63099, ущп = 2.35356, х = 0.75: у = 2 08979 у~п = 1 85355 $ 5.3.
Метод конечных элементов и интерполяция 16! Однако точность быстро возрастает по мере увеличения числа элементов, на которые подразделяется интервал 0 ( х ( 1 1см. табл. 5.6). Приводимая в табл. 5.6 среднеквадратичная ошибка при линейной интерполяции уменьшается пропорционально Лдэ, где Лх — протяженность каждого элемента. Это характерное свойство линейной интерполяции. 3.0 ая ция 2.0 Рис. 5.9. Одномерное конечно-элементное интерполяционное решение. В этом месте читатель, впервые знакомящийся с этим материалом, может предпочесть перескочить через пункты, посвященные квадратичной интерполяции и двумерной интерполяции, перейдя к рассмотрению процесса дискретизации, а Таблица 5.6.
Ошибки интерполяции выражения (5.50) по методу конечных элементов Линейная ннтарполацна Квадратичная интерполяция Сраднаквадратнчная ошибка Сраднсквадратнчнаа ошнбка Чнсло элементов Число элементов 11 К. Флетчер, т. 0.18662 0.04786 0.02138 0.01204 0.04028 0.01599 0.00484 0.00206 !62 Гд. З. Методы вэвешенных невяэок также решения уравнений на примере уравнения Штурма— Лиувилля (см. 9 5А). 5.3.2. Квадратичная интерполяция х), х~ хз+т хз+2 х Х) 2 Рис.
5ЛО. Одномерные квадратичные аппроксимирующие функции. в книге [М11с1теП, %а11, 1977] и оказываются весьма полезными, когда точное решение неизвестно. Если применить квадратичную интерполяцию, то при тех же размерах сетки мы могли бы ожидать уменьшения ошибки интерполяции. В качестве одномерной квадратичной аппроксимирующей функции, показанная на рис. 5.10 функция ф; задается следующим образом: ф =о при х<х1 э, (5.52) при хт э <х<хт (элемент А) при хт<х((х1 а (элемент В), (5.53) ф =о при х ) х~+э. Применение линейной интерполяции, иллюстриуемое на рис. 5.8 и 5.9, налагает на приближенное решение некоторое ограничение, состоящее в том, что оно должно изменяться между узловыми точками линейным образом.
Как видим (табл. 5.6), это обстоятельство в случае конечной сетки вносит ошибку. Оценки подобных интерполяционных ошибок даются Элемент Д Элемент В Гл. 6. Методы взвешенных невязок 164 высокого порядка, чем квадратичная Несмотря на то что интерполяция высокого порядка обеспечивает ббльшую точность, она приводит к системам уравнений, содержащим намного больше ненулевых членов, чем при использовании интерполяции низкого порядка; следовательно, интерполяция высокого порядка является более дорогостоящей в вычислительном отношении, особенно при двух или трех измерениях.
Достижение надлежащего баланса между точностью н экономичностью, т. е. выбор методов обладающих вычислительной эффективностью (см. $ 4.5), является одной из наиболее интересных стратегических особенностей вычислительной гидроаэродинамики. При измельчении сетки мы вправе ожидать, что ошибка конечно-элементного решения будет уменьшаться с такой же скоростью, что и интерполяционная ошибка. В общем случае при заданной сетке ошибка решения будет больше, так как она включает и дополнительную ошибку, обусловленную тем, что решение в узловой точке не совпадает с точным решением. Грубо говоря, применение линейных аппроксимирующих функций приводит к решениям, обладающим примерно такой же точностью, что и решения, построенные с помощью конечноразностных методов второго порядка, тогда как применение квадратичных аппроксимирующих функций приводит примерно к такой же точности, что и применение конечно-разностных методов третьего порядка.
5.3.3. Двумерная интерполяция Понятие конечных элементов, давшее название самому методу, становится более полезным, если число измерений превышает единицу. Так, при двух измерениях локальное решение интерполируется по отдельности внутри каждого из четырех элементов А, В, С и О, окружающих узел (1, й) (рис. 5.11). Приближенное решение, эквивалентное выражению (5.44), весьма удобно представляется с помощью введения координатной системы (6, т!), привязанной к элементу. При билинейной интерполяции приближенное решение можно записать в виде Т= Х ТтФтй т!), (5.58) т=! где для каждого элемента — 1 < е < 1, — 1 < т! < 1 (см.
рис. 5.11). Согласно выражению (5.58), в каждый элемент вносят свои вклады по четыре члена. Аппроксимирующая функция 4!т(е, т)) приобретает форму фт (6, т!) = О. 25 (1 + втэ) (1 + т1тт!). (5.59) $ 5.3. Метод конечных элементов и интерполяция 1бб Например, внутри элемента С, показанного на рис. 5.15, имеем ф, = 0.25 (1 — $) (1 — т!), фз = О.
25 (1 + я) (1 — т1), фз —— О. 25 (1 + 5) (1 + т!), ф = О. 25 (1 — $) (1 + т!), откуда следует, что ф! = 1 при $ = $ь т! = т1! и ф! = 0 во всех остальных узлах. На линиях постоянного $ или т! аппроксими1-! и+! 1+! я+1 и» (5.60) .1-! з+! а-! я-! и-! Рис. бд1. Глобальная и локальная нумерация узлов. т=Хт,ф,а и), (5.61) рующие функции ф! обнаруживают такой же характер изменения, как и одномерные аппроксимирующие функции (см. рис. 5.8).
Трехмерное изображение билинейной интерполяционной функции, центрированной в узле (1, й), показано на рис. 5.12. Рассматривая выражение (5.58) и рис. 5.12, можно убедиться, что функция Т остается непрерывной при пересечении границ элементов; однако это не так по отношению к производным Т. Как и в одномерном случае, внутри каждого конкретного элемента можно определить двумерные биквадратные интерполяциоиные функции (рис. 5.13). Для лагранжевых элементов приближенное решение, эквивалентное выражению (5.44), принимает форму Гл. 5.
Методы взвешенных невязок Рис. 5.!2. Билинейная интерполяционная функция. Рио. 5.13. Двумерные квадратичные элементы Лагранжа. $ З.З. Метод конечных элементов и интерполяция 1бт где биквадратные аппроксимирующие функции Лагранжа за.даются при помощи формул .Угловые узлы: фс (Б, Ч) = 0.25Ы (1+ Ы) ЧЛ (1+ Ч1Ч). Узлы в серединах сторон (5~=0): ф~($, т1)=0.5(1 — ~е)Ч1Ч(1+Ч1Ч). (5.62) Узлы в серединах сторон (Ч1 = 0): фэ ($, Ч) = 0.5 (1 — Ч') Ы (1+ Ы). .Внутренний узел: ф1 (в, Ч) = (1 — эе) (1 — Че).
Как и прежде, квадратичные аппроксимирующие функции Лагранжа обладают интерполяциониыми свойствами, т. е. фе=1, если в=во Ч=Чэ ф1=0 во всех остальных узлах. .Поведение аппроксимирующей функции (5.62) можно представить зрительно, придавая постоянные значения величинам $ или Ч; тогда эта аппроксимирующая функция будет вести себя подобно одномерной аппроксимирующей функции, изображенной на рис. 5.10. Это обстоятельство следует из того факта, что двумерные аппроксимирующие функции Лагранжа .представляют собой просто произведения соответствующих одномерных аппроксимирующих функций.
Данный факт дает возможность сделать важные выводы, касающиеся интерполяции в более чем одном измерении, особенно в связи с построе.нием схем, расщепляющихся по размерностям (см. $8.3). Двумерная интерполяция на конечных элементах будет гпроиллюстрирована здесь по отношению к функции Г = [1 — 0.8 соз (О.бпх)] [соз (О.бяу)], (5.63) вид которой показан на рис. 5.14 для области — 1 < х < 1, — 1<у<1. Эту область удобно расщепить на четыре элемента (рис.
5.15), по отношению к которым решение должно интерпо.лироваться билинейным образом при помощи девяти узловых .значений [~ = ~ь Внутри некоторого конкретного элемента, например С, интер.поляционное решение 1;, задается в виде 1.= Х йф1(Е, Ч), (5.64) где (с, ч) — локальная координатная система, связанная с элементом. Для элемента С имеем $=2х — 1 и Ч=2у — 1. Гл, 5. Методы взвешенных невязок 188 Билинейные интерполяционные функции 15~ задаются формулами (5.60), а чаще — формулами (5.59).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
