Fletcher-1-rus (1185917), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Вт, ВХ, ТИЕВ, ТВЕМ, ЕРЗ,ОИ 1 Ройнйт($15) 2 РОВИВТ(ВЕ10.3) Вй1ТЕ (6, 3) ВИТВ(6,4) ЛИХ,ХИВЕ,ВИВЕ,ЕРЗ,ОН РВ1ТВ(6,5)йв,йХ,ВТ,ВХ,ТИЕВ,ТВЕН з Рою(йт('. ьйтьйсе $00471он вт Рзнзтк тоьонк нктвов',ы 4 РОВИВТ(' дНИ ',12 ХИВЕ ',12,' ИИВХм','15, 15Х,' ЕРЗ '3$10.3,' ОН ',Р5.3) 5 РОВНВТ(' ВЧ ',Р5.3,' П~',Рб.з.' йтм'Дз.з~' Вйм'гтзезе 15Х,' ТВЕВ~',Р5.1,' ТИИ~',$5.1,//] ЛЯР м дНИ - 1 ййР м ХИИ " 1 ВдН э дНВР ИН м ХИХР ВВВХ м (П ВВ)Идн ВВХТ м (йт - йй)/ИН ИТЕ (РНИИ-ТИЕВ)/ВХН РХ ~ За1415927' $Вт х, т, ехйст ив Хнзтхйь Рий $0 7 Х м.1,ХИИ И-Х-1' ТИХ (ТНЕВ + Иавтн)*Р1/1$0.
СХ м СОЗ(твй) ЗХ $1И(ТВХ) Вй ВИХ + ВИЕТ - ВВВХ)*ВХ/ВХН йвх йв + (Вх - йт)*ахуйхн $0 б д ' 1,дваХ Ы д" 1 й ВВХ + Вд*Ж Х(д,й] м йасй Т(д,й) й*ЗЕ РН11(д.й) ЗХ/й РИ1(д,й) РИ1Х(д,й) 6 СОНТ1ИОБ 7 СОВТ1НОЕ зет Вопимйт таь8$$ ОР РВ1 ВО $ д 1.днзй РН1(д.1) н О. РИ1(д,ХНВХ) РВХХ(д ХИИ) $ сонт1ЙОХ Рис. 531 Распечатка программы Р)ЧО( (начало). 119 ЭЗО 121 122 Ззэ 124 С 12$ С 126 С 127 12$ 129 1ЗО 111 ээз эзэ эза 135 116 ээт 1ЭЗ ззв зао 141 ,142 '142 144 145.
заа 147 заа 149 150 151 1$2 ЭЗЗ 1$4 155 С 1$6 С 157 С 158 159 160 161 162 Эаэ эаа 165 166 167 168 169 ЗТО 171 172 173 зта 175 ЗВА ЛВЗ(ВХд*ото — Втд*ВХВ) ОВА(д,К> (ВХВ*ВХВ + ото»ото>/ЗВА РОА(д,к) [вхв*вхд + вто*втд /звх 1О СОВТ1ЙОК 11 СОИТ1МОБ эткЙАте Озэмо зок ВО 34 И 1,ННАХ Зон о. ВО Ээ К - 2,КВАТ КВ К-1 ХР К+1 ВО 12 д з,дВАР дн-д- 1 дв даз Рнв 0.2$*(тсв(д,х)-РОЙ[4,к)1*РНЦдн,кР) РИВ РНВ + [ОСВ(д,к) + 0.25*(РВС(д,к)-РВА(д,к))1»РИ1(д,кР) Рмв + 0.25*[РВС[д,к1"Ров(д,Ю )авнз(дв,ки РИВ РИВ + (ОВВ(д,Ю + 0.25$(РОВ(д,к)"РАВ(д,к)1)"РИ1(ОВ,К) РНВ РНВ + [ОВС[д,к) + О 2$6(РАВ(д,х)-РСВ[д,х>)1*РН1[дР.К> РИВ РИВ + 0.25*(РВА[о,х) - РАВ(д,к))*РМ1[дй,КН) Рно Рмв + [ОАВ[д,х) + о 25*(РОЙ[О,к)-РВС(д,к)1)атнэ[д,хн) Рив Рнв + 0.25*(РАВ[д,Ю " РВс(д,Ю 1*Ри1(дР,КВ) РИВ РВВ/(ОАВ(д,х)+ОВС[д,х)чосо(д,к)+ОВА[д,к)) 01Г РНВ - РВ1(д,Ю ЗОМ = ЗОВ + 91Г*оэт Рнз(д,к) 'РН1[д,х) + Онаозт 12 СОНТ1ИОВ 13 СОНТ1МОЕ ВНЗ ЗОВТ ($ОН/(АЗН-1.
1/ (АХВ-1 ° ) ) 1Г(ВНЗ .Ьт. ЕРЮ00ТО 16 14 СОЯТ1НОЕ МЙ1ТБ[6,15>ВВАХ,ЙНЗ 1$ Гокнхт(/ сонтккоенсе мот Асм1етев 1В',15.' зтеРз',зх,' Йнз 1812.$) СОИРАЙЕ $0$0710М М1ТИ ВХАСТ 16 $ОН О. ВО 21 Х 1,КВАК МВ1ТЕ(6,17)К 17 ГОВНАТ(/,' К ',12) ВО 18 д 1,днзк 01Р = РВ1(д,х) - РН1Х(д,Ю ЗОН = ЗОН + 01Г*ВХГ 18 СОИТ1НОЕ ИЙ1ТЕ(6,191 (РН1(д,к),д 1,днзк) ИЙ1ТБ(6,20) (РИ1Х(д,Х),д 1,дНАХ) 19 ГОВМАТ!! РН1 ',10Р7.4) 20 РОВНАТ(' РНХ ',1097.4) 21 СОИТ1ИОЕ ЙВЗ = ЗОЙТ(ЗОН/(Адн"1.)/(АКН-1.)') МВ1ТЕ[6,22)Н.ВНЗ 22 ГОЙНАТ(/,' СОИТБЙОБВ АГТЕА »,1),» ЗТЕРЗ»»ах»» ЙМЗк»»Б12.5> ЗТОР БНВ Рис.
6.6 !Окончание). Гл. 5. Методы взвешенных невязон Итерационная процедура ПСР реализует расчет по формулам (5.41) (строки 135 — 143) и (5.42) в строке 146, вычисляет — (строка 149) и выходит из итерационного цикла (строки 127 — 15!), если выполнен критерий сходимости (ЕРЗ). Затем выдаются на печать окончательное и точное решения (строки 166 — 167), а также вычисляется и выдается на печать величина (|ф — 95~~с . (строки 171 — !72). ьйрьйск копйтзон вт Рхизтв тоьвне нктнов Онйх 6 Хнах» 6 ИНйХ 50 ВРВ= .100Е-04 ОН 1.500 йи .100 йх 1.000 йт 1.000 йг= .100 тнеВ .0 тнеи= 90.0 Х 1 РВ1- .ОООО .0000 .ОООО .ОООО .0000 .0000 РИХ- .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 Х 2 Риз- З.О902 1Л4З9 Л445 Л205 .3929 .ЗО90 РНХ З.0902 1.1036 .6710 .4ага .Зтва .ЗО90 к= 3 .Рнз 5.6119 г.звтз злозв лвгв л441 лвтв Рнх 5.0929 2.0992 злттв .9104 7160 лвтв Х 4 Риз в.озог 3.1706 з.в990 1.з345 1.0163 .0090 Рнх= 0.0902 г.ввзз 1.1507 зл641 лввв .возо Х= 5 РН1 9.5106 3.6209 2.1600 1.5349 1.1002 .9511 Рнх" 9.5106 3.3966 2.0615 1.4060 1.1590 Х 6 Рнх 1о.оооо злтз ° глтзв зл625 1.2195 1.0000 РНХ 10.0000 злт14 2.П39 1.5625 1.2195 1.0000 соиткйпвв йтткй 15 втквв внв= .13259Е+оо Рис.
5.7. Типичная форма выдачи после прохождения программы Р1Ч01. Типичная форма выдачи для случая сетки 6 )с, 6 представлена на рис. 5.7. Очевидно, что если начинать с точного решения, то процесс вычислений по схеме ПСР быстро сходится. Основная причина большого значения ~гр — ф~~геы связана с большими изменениями решения вблизи гмх.
По мере измельчения сетки точность возрастает (табл. 5.5), однако при этом для достижения сходимости требуется про- $5.3. Метод конечных элементов и интерполяция 157 Таблица 5.5. Ивмеиение ошибок решения по методу конечнмх элементов при ивмельчении сетки (г =г =О.1, г =г,=1.0, 9, =О, м= г= х= г= чх= 9 „90, ~ = !Л) Число итераций ло схохимости 1 Е 9 1ггаа Сетка ОЛ 326 0.0471 0.0138 !5 19 51 6Х6 11 Х 11 21 Х 2! водить больше итераций по схеме ПВР. В случае однородной прямоугольной сетки дискретизированное уравнение (5.40) вырождается в центрированную конечно-разностную схему, + ь ь ьа+ =0 (543) гала а ма обладающую сходимостью второго порядка, т.
е. тем свойством, что введение в два раза более мелкой сетки (если она уже была достаточно мелкой) уменьшает ошибку в 4 раза (т. е. в 2'). Применительно к показанным в табл. 5.5 результатам для неоднородной сетки порядок сходимости оказывается меньше второго, Ожидается, что дальнейшее искажение сетки еще более снизит скорость сходимости (см. задачу 5.4). Метод конечных объемов широко применяется при исследовании трансзвукового невязкого течения (см.
9 14.3) и течения жидкости (см. п. 17.2.3). $5.3. Метод конечных элементов и интерполяция Метод конечных элементов в начальной стадии своей разработки рассматривался как специализированная инженерная процедура для построения матричных решений при расчетах напряжений и смещений в анализе конструкций. Этому методу было дано солидное математическое обоснование после введения в рассмотрение потенциальной энергии системы и вариационной интерпретации для метода конечных элементов.
Однако очень малое число задач динамики жидкости и газа (или задач о теплопередаче) допускает свое представление в вариационной форме. С другой стороны, во многих случаях метод Галеркина оказывается эквивалентным методу Ритца для решения вариационных задач. Как следствие этого в большей части приложений метода конечных элементов к задачам 158 Гл.
З. Методы взвешенных веввзок гидроаэродинамики используется именно формулировка Галер- кина для этого метода. Здесь мы сосредоточимся исключительно на галеркинской формулировке метода конечных элементов. Традиционная инженерная трактовка метода конечных элементов дается в книге [Ъеп!т!ечг!сх, 1977]. Математические аспекты и перспективы метода более подробно излагаются в. книгах [$!гана, Е!х, 1973; Одеп, Кет!г!у, 1976; М!!с)1е!1, Жа!1, 1977]. Техника вычислений, преимущественно для приложений метода конечных элементов к анализу конструкций, излагается в книге [Ва!)те, %!!зоп, 1976].
Приложения традиционного метода конечных элементов к гидроаэромеханике рассматриваются в книгах [Т!тогпаззе(, 1981; Вакег, 1983]. Если сравнивать с традиционным методом Галеркина, изложенным в 9 5.1, метод конечных элементов Галеркина обладает двумя чрезвычайно важными особенностями. Сначала приближенное решение (5.2) записывается непосредственно в. форме комбинации узловых значений неизвестной функции, т. е. У Т= ~ Тгфт(х, у, з).
(5.44~ / ! Выражение (5.44) может интерпретироваться как интерполяция по отношению к локальному решению в узловой точке Тг. Благодаря тому что мы работаем непосредственно с узловыми значениями неизвестной переменной, отпадает один уровень в процессе вычислений на этапе решения уравнения (см. гл. 6) и решение в узле приобретает прямой физический смысл. Кроме того, становится легче видеть аналогию с методом конечных разностей, а также становится более очевидной интерпретация метода конечных элементов в качестве средства дискретизации (см.
9 3.1) исходного дифференциального уравнения в частных производных, представленного в континуальной форме. Входящие в выражение (5.44) аппроксимирующие функции ф;(х, у, г) часто называются в математической литературе пробными или кнгерполяционными функциями, а в инженерной литературе — функциями формы (при замене символа ф; на Х;). Вторая важная особенность рассматриваемого метода состоит в том, что аппроксимирующие функции фг(х, у, г) выбираются почти исключительно из числа кусочно-линейных полиномов низкого порядка, причем выбор ограничивается ближайшими элементами. Тем самым достигается сравнительно малое число отличных от нуля членов, которые при их надлежащей расстановке [Лепп1пдз, 1977, гл.
5] могут располагаться вблизи главной диагонали матрицы уравнений. Это является важным на стадии решения уравнений (см. гл, 6), так как прн 4 5.3. Метод конечных элементов и интерполяция 159 подобной ситуации решение матричных уравнений будет более экономичным. Метод конечных элементов реализует дискретизацию на двух этапах, каждый из которых вносит ошибки (хотя и не всегда аддитивные).
На первом из указанных этапов кусочно- линейная интерполяция вводится по дискретным, или конечным, элементам с целью связать локальное решение с узловыми значениями. Этот аспект будет исследован в данном параграфе. На втором этапе используется построение со взвешенными невязками (см. $ 5.1), ставящее целью получить алгебраические уравнения для связки между узловыми значениями решения. Техника реализации второго этапа, а также поведение решения иллюстрируются с помощью программ ЯТ(ЗКМ (п. 5.4.2) и (э(ЗСТ (и. 5.5.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
