Fletcher-1-rus (1185917), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Примените матричный метод к схеме, предложенной в задаче 4.1, и определите пределы устойчивости путем численного расчета собственных значений. Сравните результаты с теми, которые были получены при решении задачи 4.5. Как изменятся пределы устойчивости, если одно из условий Дярихле для функции Т заменить граничным условием Неймана? Точмость решении ($4.4) 4.10. Для схемы, рассмотренной в задаче 4.1, постройте алгоритм с экстраполяцией по Ричардсону, обращающий в нуль главный член выражения длн ошибки аппроксимации. Определите численно, является ли эта схема более точной и может лн быть достигнуто теоретическое значение степени сходимости.
$4.7. Задачи 135 4.1!. Для схемы, рассмотренной в задаче 4.2, постройте алгоритм с экстраполяцией по Ричардсону н сравните соответствующие численные решения с теми, которые были получены при решении задач 4.! и 4.2. Вычислительная эффективность ($4.5) 4.12. Для схемы, предложенной в задаче 4.10, определите время оперативного счета и сравните с тем временем, которое соответствует схеме ВВЦП, если с применением обеих схем достигается одинаковая точность. 4.13. Для схемы, предложенной в задаче 4.11, определите время опера. тинного счета и сравните с (а) временем счета для схемы ВВЦП, если обе схемы дают одинаковую точность, (Ь) временем счета для схемы ВВЦП с экстраполяцией по Ричардсону. 4.14.
Попытайтесь установить, какая из схем, рассмотренных в данной главе, является «наилучшей», если принять во внимание вычислительную эффективность, ограничения на устойчивость и простоту составления программы. Глава 5 Методы взвешенных невязок Методы взвешенных невязок (МВН) концептуально отличаются от метода конечных разностей тем, что МВН исходят из предположения о возможности аналитического представления решения. Например, для построения решения уравнения диффузии (3.1) можно допустить представление приближенного решения в следующем виде: У Т = ~, а~ (1) ф~ (х), (5.1) где а~ (1) — неизвестные коэффициенты, а ф; (х) — известные. аналитические функции.
Функции ф~(х) часто называют пробными функциями, а решение в форме (5.1) — пробным решением. За счет принудительно навязываемого характера аналитической формы решения в виде (5.1) вносится некоторая ошибка, если только индекс У не делается произвольно большим. При этом можно напомнить, что метод конечных разностей определяет решение только в узких точках. В 3 5.1 дается информация о различных методах взвешенных невязок.
Далее, в п. 5.1.1 некоторые из этих МВН применяются к решению простого обыкновенного дифференциального уравнения, имея в виду обеспечить приемлемую базу для сравнения. Метод конечных объемов, описываемый в 5 5.2, тесно связан с методом подобластей (см. $5.1). Однако по форме представления дискретизации метод конечных объемов напоминает метод конечных разностей. Конкретные трудности применения метода конечных объемов при наличии вторых производных перечисляются в п.
5.2.2, а в п. 5.2.3 приводится программа для расчета под названием г!ЧО(., предназначенная. для решения уравнения Лапласа в области, имеющей неправильную форму. В данной главе как метод конечных элементов, так и спектральные методы развиваются на основе метода Галеркина, который сам принадлежит к классу методов взвешенных невязок. Описание метода конечных элементов и спектральных $ бд. Общая формулировка 137 методов реализуется в первую очередь через посредство специально разработанных примеров, позволяющих понять технику применения этих методов. Указанные примеры продемонстрируют также, по крайней мере в отношении метода конечных элементов, наличие связи с некоторыми из конечно-разностных методов, рассматриваемых к гл.
7 — 10. Более подробное обсуждение метода конечных элементов и спектральных методов дается Флетчером в книге [Г!е(сйег, 1984[. В $ 5.3 — 5.5 рассматривается метод- конечных элементов. Вначале демонстрируется возрастающая точность линейной и квадратичной интерполяций в одномерном и двумерном случаях, реализуемая при измельчении сетки. Характерные примеры применения метода конечных элементов приводятся в $ 5.4 и 5.5. Эти примеры включают программы расчетов под названиями БТ13КМ для задачи Штурма — Лиувилля (см.
п. 5.4.2) и РТ)СТ для задачи о течении вязкой жидкости в канале прямоугольного сечения (см. п. 5.5.2). Характерное свойство метода конечных элементов связано с легкостью его приспособления к рассмотрению вычислительных областей неправильной формы; применение с этой целью изопараметрических элементов рассматривается в п. 5.5.3.
Спектральный метод излагается в п. 5.6.1 в применении к уравнению диффузии, где непосредственно используются граничные условия Дирихле. В п. 5.6.2 обсуждаются трудности использования граничного условия Неймана при применении спектрального метода и отмечается возможность более общей формулировки. Тесно связанный с этим псевдоспектральный метод описывается в п. 5.6.3. 9 5.1. Общая формулировка Многие вычислительные методы можно рассматривать как методы взвешенных невязок (МВН). Достаточно полное описание МВН и их приложения вплоть до 1972 г. можно найти в книге [Р!и!аузоп, 1972[. Наше изложение рассчитано на то, чтобы показать взаимосвязь методов конечных элементов, конечных объемов и спектральных методов. Исходной точкой для любого МВН является задание некоторого приближенного решения.
Представление (5.1) может быть несколько расширено, если написать l Т(х, у, х, 1) = Т,(х, у, х, 1)+ ~„а! (1) ф~ (х, у, г), (5.2) / ! где функция То(х, у, г, 1) выбирается так, чтобы удовлетворялись, причем по возможности точно, граничные и начальные Гл. 5. Методы взвешенных невязок условия. Аппроксимирующие (пробные) функции ф~(х, у, «) предполагаются известными. В случае пространственной одномерности роль аппроксимирующих функций могут играть поли- номы или тригонометрические функции, как, например, р;(х)=х~ ' или р~(х)= з!п)пх.
Коэффициенты а;(1) заранее неизвестны и их следует определять путем решения системы уравнений, получаемых из исходного уравнения. При решении задач с зависимостью от времени система обыкновенных дифференциальных уравнений (по времени) будет разрешаться относительно а;(г); для стационарных задач будет решаться система алгебраических уравнений. Предполагается, что исходное уравнение, например уравнение теплопроводности, можно записать в виде — дТ дз7 й (Т) = — — а — = О дт дхз (5.3) где чертой сверху обозначается точное решение.
Если приближенное решение (5.2) подставить в уравнение (5.3), то последнее не будет тождественно удовлетворяться. Следовательно, мы можем написать Т. (Т) = )г, (5.4) ~ ~ ~ Я7 (х, у, «) тх йх йуй«= О. (5.5) Если положить т = 1, ..., М, то получится система уравнений для определения аь Для рассматриваемого здесь нестационарного случая это будет система обыкновенных дифференциальных уравнений. В стационарном случае получается система алгебраических уравнений. Можно отметить, что уравнение (5.5) находится в тесной связи со слабой формой исходного уравнения, т.
е. с уравне- нием ~ ~ ~ (Р' (х, у, «) й (Т) йх йу й« = О, (5.6) где величина )т будет называться в дальнейшем невязкой уравнения. В общем случае )г является непрерывной функцией х, у, «и й Если параметр У сделать достаточно большим, то коэффициенты а;(г) можно выбрать таким образом, чтобы функция )х оставалась малой во всей вычислительной области. С целью определения коэффициентов а~(1) потребуем, чтобы интеграл взвешенной невязки по всей вычислительной области был равен нулю, т.
е. чтобы выполнялось условие 139 $5,1. ОГииаи формулировка допускающим появление разрывов в точном решении [(.ах, ЮепбгоН, 1960). Различные варианты выбора весовой (поверочной) функции )(Г в уравнении (5.5) приводят к построению различных методов, принадлежащих к классу методов взвешенных невязок. Охарактеризуем кратко некоторые из этих методов. (1) Метод подобластей.
Вычислительная область разделяется на М подобластей 11, могущих перекрывать друг друга, причем полагают 1 внутри области О, иу 0 вне области 0 . (5.7) Метод подобластей совпадает с методом конечных объемов (см. 9 5.2) по способу решения уравнения (5.5). Уравнение (5.5) в сочетании с условиями (5.7) обеспечивает необходимую основу для выполнения законов сохранения на уровне дискретизированного уравнения.
Тем самым гарантируется реализация тех свойств сохранения, которые присуши исходным уравнениям. Это преимущество особенно важно при построении достаточно точных решений, описывающих внутренние течения или течения с ударными волнами. (2) Метод коллокаций. Яг (х)=6(х — х ), (5.8) (3) Метод наименьших квадратов. дй дат (5.9) где 6 — дельта-функция Дирака и х =(х, у, г).
Как показывает подстановка (5.8) в уравнение (5.5), для метода коллокаций характерно, что полагают )т(х ) = О. Следовательно, конечноразностные методы являются, по существу, методами коллокаций без использования приближенного решения. Особенно эффективной разновидностью данного метода является метод оргогональных коллокаций [Р1п!аузоп, 1980).
Этот метод основан на том, что аппроксимирующие функции в представлении (5.2) выбираются из числа ортогональных полиномов, а неизвестными в (5.2) служат узловые значения (величины Т). Точки коллокаций выбираются из числа корней ортогональных полиномов, являющихся аппроксимирующими функциями. Гл. 5. Методы взвешенных вевязок 140 Принятие выражения (5.9) эквивалентно тому, чтобы выполнялось требование: Величина ~ ~ ~ )сз ь(х Ну Нг является наименьшей. (4) Метод Галеркнна. Ф'„(х, у, х) = ф„(х, у, г), (5.10) 5.!.1.
Приложение к обыкновенному дифференциальному уравнению Сравнение различных методов взвешенных невязок можно провести, если построить решение обыкновенного дифференциального уравнения — ~ — у=О при 0(х(1 лу о» (5.11) с граничным условием у = 1 при х = О. Эта задача имеет точное решение у = ехр х. Подходящее приближенное решение, эквивалентное выражению (5.2), имеет вид у=1+ ~~' атх'. ! 1 (5.12) Это приближенное решение автоматически удовлетворяет граничному условию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
