Fletcher-1-rus (1185917), страница 26
Текст из файла (страница 26)
В отличие от того, что было в случае (5.2), коэффициенты а! в выражении (5.12) постоянны. Подстановка (5.12) в уравнение (5.11) дает невязку уравнения в виде )с= — 1+ ~, ат(!х! ' — х'). ! ! (5.13) Для определения коэффициентов а; интеграл невязки, взятый с некоторым весом по всей вычислительной области, прирав- т. е. весовые функции выбираются из того же семейства, что и аппроксимирующие (пробные) функции. Если аппроксимирующие функции составляют полную систему (в случае полиномов полная система имела бы вид 1, х', х', ..., хи), то уравнение (5.5) показывает, что невязка ортогональна к каждому элементу полной системы. Следовательно, по мере того, как М стремится к бесконечности, приближенное решение Т будет сходиться к точному решению Г. $5.1. Общая формулировка 14! пинается нулю.
Следовательно, по аналогии с (5.5) имеем ~ 1!У (х)/7(х)!(х=О. о (5.14) Различные варианты метода взвешенных невязок реализуются за счет различного выбора весовых функций йР (х). Например, в методе Галеркина берется Ф' (х)=х -' при гп= 1, ..., М. Вычисление интеграла (5.14) при каждом значении т позволяет получить систему уравнений, которую можно представить в виде (5.15) 8А= Р. Здесь вектор А составлен из неизвестных коэффициентов аь В случае метода Галеркина элемент матрицы $ задается в виде / 1 1,/+т — 1 /+т)' (5.16) а элемент вектора Р— выражением д = 1/т. Если задать значение Л! = 3, то уравнение (5.15) принимает вид 1/6 5/12 11/20 ая = 1/2 1/12 3/1О 13/30 ав 1/3 (5.17) а решение этого уравнения записывается как а! = 1.0141, аз= 0.4225, аз= 0.2817. (5.18) Сравнение этого решения с точным решением дается в табл.
5.1. График изменения ошибки решения при различных значениях !У показан на рис. 5.1. Ясно видно, что ошибка решения быстро уменьшается по мере увеличения М. Как можно видеть из табл. 5.1, среднеквадратичные значения ошибки решения, а также невязки уравнения /7, „быстро уменьшаются при увеличении М.
В общем случае точное решение задачи неизвестно и, следовательно, ошибку решения невозможно вычислить. Однако оценить невязку уравнения вполне возможно, и это Подстановка (5.18) в приближенное решение (5.12) дает результат у = 1 + 1.0141х + 0.4225хл + 0.2817хв. (5.19) 142 Гл. 5. Методы взвешенных невязок Таблица 5.!.
Решения уравнения б)у/((х — у=О по методу Галеркина Приближенное решение Точное решение д=ехр (х! Кубическое (у =3) Линейное (л=)) Кееиретнчное ())=2) 0.00046 Среднеквадратичная ошибка решения 0.00886 0.00486 (атже 0.0583 0.527! дает качественное представление о том, насколько близко данное решение к точному. 0.(1 ) )Ъч ОЛ и чх ж н О -(и 1.О 0.5 Рис. 5.1. Распределение ошибки для решения уравнения ((у/(!л — у 0 по методу Галеркина. К решению уравнения 15.1!) применялись и некоторые другие разновидности метода взвешенных невязок из числа упомянутых в $ 5.1. При Ю = 3 метод наименьших квадратов по- О.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 1.0 1.2057 1.4800 !.8229 2.2349 2.7! 43 1.0 1.2220 !.49! 3 1.82! 4 2.2259 2.7183 !.0 1.2214 !.4918 1.8221 2.225! 2.7! 83 Из 6 5.!. Общая формулировка зволяет получить следующую систему уравнений, заменяющую (5.17): 1/2 2/3 . (5.20) 3/4 1/5 2/3 33/35 Применение метода подобластей с интервалами от 0 до 1/3, от 1/3 до 2/3 и от 2/3 до 1.0 приводит к следующей системе урав- нений: с 5/18 8/8! 11/324 а, 3/18 20/81 69/324 а, 1/18 26/81 163/324 1/3 1/3 .
(5.21) 1/3 Применение метода коллокаций при оценке невязки в точках х = О, 0.5 и 1.0 дает следующую систему уравнений: 1.0 О. О. 0.5 0.75 0.625 (5.22) Значения а!, ах и аа, полученные с помощью решения различ- ными методами, приводятся в табл. 5.2, а соответствующие им приближенные решения (5.12) — в табл. 5.3. Таблвца 5.2. Сравнение коэффициентов в приближенных решеняях уравнения Фр/ох — у = 0 Коэффициент Метод ое 1.0000 0 5000 0.1667 Оптимальное в смысле среднеквадратичной величины решение получается за счет минимизации среднеквадратичной ошибки с тремя неизвестными коэффициентами. Сравнение Галеркина Наименьших квадратов Подобластей Коллокаций Оптимальной среднеквадратичной невявки Равложения в ряд Тейлора 1.0141 1.0131 1.0156 1.0000 1.0138 0.4225 0.4255 0.4219 0.4286 0.4264 0.2817 0.2797 0.2813 0.2857 0.2781 144 Гл.
5. Методы взвешенных невязок различных решений по методам взвешенных невязок целесообразно проводить именно с таким, а не с точным решением. Ясно, что методы Галеркина, наименьших квадратов и подобластей приводят к решениям, близким к оптимальным. Точность метода коллокаций весьма чувствительна к выбору контрольных точек. Если оценивать невязку при х = О. ! !27, 0.50 и 0.8873, то получается решение, идентичное решению по методу Галеркина.
таблица 5.3. Сравненне приближенных решений уравнения с!у!с!х — у =0 Метод апти. калькой сродно. каадратнчнай конники Метод иаииснь- шик кондра- тии Метод Галйр- нина Метод колло. каине Метод подоб- ластей Рид Тейлора Точное решение О. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.0000 1.2220 1.4913 1.8214 2.2259 2.7183 1.0000 1.2214 1.4918 1.8221 2.2255 2.7183 1.0000 1.2219 1.4912 1.8214 2.2260 2.7183 1.0000 1.2213 1.4917 1.8220 2.2265 2.7187 1.0000 1.2194 !.4869 1.8160 2.2206 2.7143 1.0000 1.2220 1.4915 1.82! 9 2.2263 2.7! 83 1.0000 1.2213 1.4907 1.8160 2.2053 2.6667 0.000458 0.000474 0.000576 0.000434 Средне- квадратнчная ошибка решения 0.0041 88 0.0227 66 Решения, приводимые в табл.
5.3, изображаются графически на рис. 5.2, и из графика ясно, что методы взвешенных невязок (за исключением, может быть, метода коллокаций) весьма эффективно реализуют минимизацию ошибки решения по всей области. В противоположность этому, метод разложения в ряд Тейлора, обеспечивающий совпадение с точным решением при х = 0.0, приводит к большой ошибке решения вдали от нулевой точки. Различные методы взвешенных невязок подвергаются всестороннему сравнению в книге !г!е1с)зег, !9841, где автор делает следующий вывод: «Метод Галеркина дает результаты неизменно высокой степени точности, имея при этом столь же широкий диапазон приложений, как и любой другой метод з 5.2.
Метод нонечных объемов взвешенных невязок». В данной ситуации ценность метода Галеркина обусловливается тем, что он непосредственно приво- 0.002 1~ ! 0 в о -а002 -0.00 -0,00б 0 0.5 1.0 Ж Рис. 5.2. Распределение ошибок для решений уравнения Ыу/ях — у = О, по- строенных методами взвешенных невязок ()ч' = 3). дит к методу Галеркина с конечными элементами, а также к спектральному методу Галеркина. $ 5.2. Метод конечных объемов Вышеназванный метод подобен методу подобластей, если не считать того, что здесь не вводится в явной форме какое- либо приближенное решение наподобие выражения (5.2).
Этот метод оказывается особенно компактным, если определяющие уравнения включают только первые производные (см. п. 5.2.1). Если же присутствуют и вторые производные (см. п. 5.2.2), то требуются некоторые дополнительные операции. 1О К. Флетчер, т. ! Гл. 5.
Методы взвешенных невязок 146 5.2.1. Уравнения, содержащие только первые производньзе Здесь мы проиллюстрируем применение метода конечных объемов к решению уравнения первого порядка в общем виде дд де д6 — + — + — =О, д~ дх ду которое при соответствующем выборе д, )о и 6 может представлять различные уравнения движения. Например, если положить д=р, г"=рй и ел= рд, то уравнение (5.23) совпадет с двумерным вариантом уравнения неразрывности (11.10). ,~-1 Рнс.
5.3. Двумерный конечный объем. Применение метода подобластей к уравнению (5.23) внутри конечного объема АВСР, показанного на рис. 5.3, дает 1 ( — + — + — ) сЬегу — О, АВСР илн, если применить теорему Грина, — ~ дду+ ~ Н паз=О, АВСР (5.24) (5.25) где Н =(г, б). В декартовых координатах имеем Н и сЬ = Юу — 6 с(х. (5.26) Уравнение (5.25) является не чем иным, как констатацией консервативности. В частном случае, если выбрать д = р, г = рй, $ 5.2. Метод конечных объемов 6 = ро, уравнение (5.25) совпадет с интегральной формулировкой закона сохранения массы. Следовательно, метод конечных объемов сводится к дискретизации исходного уравнения, представленного в интегральной форме (см. $ 11.2), в противоположность методу конечных разностей, который обычно применяется к исходному уравнению в его дифференциальной форме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
