Fletcher-1-rus (1185917), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В эту таблицу включены также точное решение Т и приближенное решение Те, содержащее только ошибки, связанные со схемой численного интегрирования. Точное Таблапа 6.13. Спектральные решения уравнения (5Л2!) прв х= 0.5 Приближен- ное рещение Приближенное рещение Т Точное рещение т решение строится с помощью техники разделения переменных (см. и.
2.5.2) и имеет вид Т = х + 4 ~ (2/[(2/ — 1) п])а 3!и [(2/ — 1) пх] ехр ( — а [(2/ — 1) п]т 1). (5.131) Приближенное решение Ть строится с помощью допущения о том, что решение представляется в форме е Ть=х+4 ~ (2/[(21 1)п])аз)п[(2/ — 1)пх]Х)(!). (5.132) ! ! В результате подстановки в уравнение (5.121) возникает необходимость решить уравнение лх! — + [(2/ — 1) п]тХ =О.
(5.133) 0,00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 ОЛ2 0.14 0.16 0.18 0.20 1.500 1.314 1.162 1.037 0.935 0.851 0.782 0.725 0.679 0.641 0.610 1ЛОО 1.347 1.199 1.075 0.973 0.889 0.820 0.764 0.717 0.679 0.648 1.500 1.333 1.191 1.067 0.965 0.881 0.812 0.755 0.709 0.67! 0.640 1.500 1.340 1.193 1.069 0.967 0.883 0.8! 4 0 757 0.711 0.673 0.642 1500 1.341 1.194 1.071 0.969 0.885 0.816 0.759 0.713 0.675 0.643 198 Гл. 8.
Методы взвешенных невязон Такое решение строится с помощью такой же разностной аппроксимации, какая делалась для а в соотношении (5.130) и с тем же шагом по времени И= 0.001. Подстановка в (5.132) дает решение для Т», показанное в табл. 5.13. Как показывают результаты, приводимые в табл. 5.13, решение Т становится более точным по мере увеличения У. Следует, однако, помнить о том, что ошибка, отличающая Т от точного решения Т, происходит частично от аппроксимации, присущей спектральному методу, а частично от ошибки за счет разностной дискретизации производной по времени при построении численных решений для уравнения (5.125). Что касается разницы между двумя приближенными решениями, Т н Т,, то она обусловлена исключительно ошибкой спектрального метода.
Очевидно, что использование сравнительно малого числа неизвестных в приближенном решении обеспечивает построение решения высокой точности. Это свойство характерно для спектральных методов [г!е1с!тег, 1984, гл. 6]. Приложения спектрального метода даны в п. 15.3.3 и 17.1.6. Традиционные области приложения этого метода относятся к глобальному метеорологическому моделированию [Вопгке е! а!., !977], а также к прямому моделированию турбулентности [Огзгад, 1977].
Обе эти области требуют исходных уравнений, включающих нелинейные члены, в особенности для описания конвекцин. Желая, чтобы спектральный метод привел к эффективному вычислительному алгоритму, необходимо ввести технику преобразования для учета нелинейных членов. Концептуально это можно представить себе в форме введения локальных узловых неизвестных Ть заменяющих в выражении (5.123) коэффициенты а;(1), тем самым представляя нелинейные члены в форме произведений Т~ и аь вычисляя затем заново коэффициенты аь Техника преобразований обсуждается в книгах [Р!е!с!зег, 1984, гл. 5; Сани!о е! а1., 1987]. 5.5.2.
Граничные условия Неймана В п. 5.6.1 спектральный метод применялся к решению уравнения диффузии (5.121) с граничными условиями Дирихле, что привело к явной форме обыкновенных дифференциальных уравнений (5.125) относительно неизвестных коэффициентов а в пробном решении. Теперь мы рассмотрим задачу с более трудными граничными условиями для того, чтобы показать, что использование спектрального метода нередко вызывает нужду в дополнительных ухищрениях на этапе дискретизации. Пусть для конкрет- $6дь Спектральный метод (5.135) Вместо того чтобы попытаться учесть начальное и граничные условия в приближенном решении, как делалось в (5.123), введем общее приближенное решение вида ! Т (х, Г) = Ьа(!)+ ]„[аг(Г) в!п (2!тех)+ Ь!(!) сов(2!пх)]. (5.136) ! ! Чтобы выражение (5.!36) удовлетворяло граничным условиям (5.135), коэффициенты должны быть связаны соотношениями т ! а; (2пу) = — 2, ~ Ь! —— 1. ! ! г-0 (5.137) С помощью (5.137) коэффициенты а! и Ь! могут быть нсклю; чены из выражения (5.136), что дает 1-! Т = сов (2Упх) + ( —,) в!и (2Упх) + хг а! (в!п [!' (2пх)]— ! — (+) в!п [У(2пх)] ~ + ~~ а; (сов [у (2пх)] — сов [У(2нх)] ).
г-о (5.138) Реализация спектрального метода по Галеркину [Р(е1с)!ег, 1984] требует, чтобы весовые функции в (5.5) совпадали с функциями, представленными в (5.!38), т. е. Я7 (х) = в(п [т(2пх)] — ( — ) в!и [У(2пх)], 1(т(У вЂ” 1, ЯР,„(х) = сов [т(2пх)] — сов [У(2нх)], 0 ~(т ~У вЂ” 1. (5.139) Подстановка (5.138) в уравнение диффузии (5.12!) и расчет согласно (5.5) с учетом (5.139) приводит к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений: Ыа Х-! д + [а(2ит)а]а,„+ — ~ — ~~ — „! + [а(2пУ)т]а )~= — 2а(2пт), ! ! (5.140) 1 ~(т< У вЂ” 1, ности требуется решить уравнение диффузии (5.121) в области 0 < х < 1.О, ! > 0 при начальном и граничных условиях Т(х, 0) =3 — 2х — 2х + 2х', (5.134) — (О, !) = — 2, Т (1, !) = 1.0.
дх 2ОО Гл. в. Методы взвешенных невнзок — + [а (2лт) ] Ь„, + у ~ — + [а (2лУ)з] Ь ~ = а (2лУ)з, (5.141) йь (ль, г-в 1н т(~У вЂ” 1; г-1 — ~ — ~ + [а (2лУ)'] Ь!~ = а (2лУ)'. (5.142) !-о Уравнения (5.140) образуют систему связанных между собой обыкновенных дифференциальных уравнений для определения коэффициентов аь не зависящих от обыкновенных дифферен- циальных уравнений (5.141) и (5.142) для определения коэф- фициентов Ьь Эти две системы решаются маршевым образом по времени, чтобы предоставить значения а!(!) и Ьг(У), под- ставляемые затем в выражение (5.138), обеспечивая тем самым численное решение Т(х, У).
Однако какой бы маршевый алгоритм ни был использован при последовательном определении во времени коэффициентов а; и Ьь на каждом шаге по времени необходимо проводить на- чальную факторизацию и матричное умножение. Если учесть, что данная задача линейная и что достаточно точные решения могут быть построены при сравнительно малом числе членов в выражении приближенного решения (5.136), добавочное время исполнения алгоритма, связанное со взаимосвязанностью урав- нений, не является чрезмерно большим.
Первоначальные значения ае и Ьв получаются за счет под- гонки приближенного решения (5.136) к начальному решению (5.134), т. е. 1 ! Ьв= —, аг — — 2~ Т(х, 0)з!п(2!лх)г(х, Ь;= 2 ~ Т(х, 0)соз(2улх)дх. о в (5.143) Численное решение данной задачи следует построить в зада- че 5.17. Имеется возможность воспользоваться альтернативной про- цедурой, называемой тау-методом и тесно связанной с мето- дом Галеркина. При использовании тау-метода весовые функ- ции подбираются так, чтобы они соответствовали аппроксими- рующим функциям в выражении (5.136), т.
е. Ж ~п= ейп [т(2лх)], 1(т(У вЂ” 1, !Р' <и = сов [т(2лх)], ! (т (У. (5.144) Подстановка (5.136) в уравнение (5.121) и расчет согласно (5.5) на основе формул (5.144) приводит к следующей системе $5.б. Спектральный метод 20! обыкновенных дифференциальных уравнений: — +а(2пт)'а =О, 1(т(У вЂ” 1, — '" +а(2пт)еЬм=О, 1(т(У. (5.145) 5.6.3. Псевдоспектральпый метод Спектральный метод Галеркина (п. 5.6.1) приводит к весьма точным решениям со сравнительно небольшим числом неизвестных коэффициентов а; в выражении приближенного реше. ния (5.123).
Однако при наличии нелинейных членов вычисление произведений приближенных решений отнимает очень много времени. Этот недостаток экономичности является причиной использования метода коллокаций (см. формулу (5.8)) вместо метода Галеркина. Коллокация упрощает поиск решения в форме зависимости от узловых неизвестных значений подобно тому, как это делают конечно-разностные и конечно-элементные методы, а не в зависимости от неизвестных коэффициентов а; в приближенном решении. Явное использование узловых неизвестных позволяет также осуществить более эффективный учет граничных условий, чем это делается в спектральном методе Галеркина. В литературе спектральный метод с коллокациями принято обычно называть псевдоспектральным методом [Огзхад, 1971) .
Применение псевдоспектрального метода будет проиллюстрировано здесь на примере решения уравнения диффузии дй дей — — 0 (5.147) — — а д1 дне Система уравнений (5.145) является явной и имеет решения а (1)=а (0)е о<~ и*, 1((т(У вЂ” 1, Ь„,(1)=Ь„,(0)е-'а""н', 1((т(У, (5. 146) где а (0) и Ь (0) определяются по формулам (5.143), а ак(1) Н Ье(Г) удОВЛЕтВОряЮт СООтНОШЕНИяМ (5.137).
При решении данной задачи использование формул (5.136), (5.137) и (5.144) позволяет получить более эффективный алгоритм, чем применение спектрального метода Галеркина на основе формул (5.138) и (5.139). В общем случае тау-метод позволяет учесть трудные граничные условия с большей степенью гибкости, чем это делает спектральный метод Галеркина (см. п.
5.6.1). Описание тау-метода можно найти в книгах (Р!е!с!тег, 1984; Сапа!о е! а!., 1987). 202 Гл. 5. Методы взвешенных невязок с начальным и граничными условиями й(х,0)=з(п(пх)+х, й( — 1, г')= — 1, й(1, Г)=1. (5.148) Производная по времени в уравнении (5.147) дискретизируется с помощью конечно-разностной аппроксимации. Если для указанной производной использовать разностную формулу Эйлера, как в п. 5.6.1, то получается алгоритм ден за и"+'=ив+ (а —,) (5.149) дкз ) Псевдоспектральный метод требует, чтобы соотношение (5.149) удовлетворялось в каждой из точек коллокации (х;), и вводит приближенное решение и+! и(х, Г) = ~ ае(г)Тя, (х), (5.150) е-1 которое позволит вычислить пространственные производные. Аппроксимирующими функциями в выражении (5.150) служат полиномы Чебышева, определенные на интервале — 1 ( х < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
