Fletcher-1-rus (1185917), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Полиномы Чебышева позволяют точно определять производные по пространству, и их обычно предпочитают тригонометрическим функциям, если функция и не является периодической. Описание полиномов Чебышева и общих вопросов их применения дается в книге [Рох, Рагкег, 1968[. Специальные рекуррентные соотношения, связанные с применением спектрального и псевдоспектрального методов, приводятся в руководстве [Оо(11!еЬ, Огзхап, 1977[.
Непосредственное использование выражения (5.150) приводит к следующему представлению д'и/дх'[! в уравнении (5. 147): л-~-1 дян, х-, д Т,, (х!) дхз [~ Ег дхз е-1 (5.151) В результате для перехода с временнбго слоя и на слой и + 1 псевдоспектральный метод должен пройти через следующие этапы: 1) при заданном и" вычислить а„" из выражения (5.150); 2) при заданном ав вычислить [д'и/дхе[т по формуле (5.151); 3) вычислить и"+' по формуле (5.149). Нетрудно видеть, что, хотя этап (2) имеет место в спектральном пространстве, т. е. имеет дело с ае, этап (3) реализуется в физическом пространстве, т.
е. имеет дело с иь Этап $ йд, Спектральный метод 'хоз (5.153а) (5.153Ь) Явные соотношения между а!'>, а!" и аа в выражении (5.150) даны в работе [Оо(!!1еЬ, Огзхан, 1977]. Характерно, что нижеследующие рекуррентные соотношения позволяют получить коэффициенты а>а>> и а!" с помощью 0(М) операций: а!'> = 0.5а!'> + а, а!'> = 0.5а>ат> + а!'>; ! з а>м>> >=а>,>>„т=0, а>т>=а!" =О.
М М+! В результате вычисление д'и/дх']> с использованием БПФ может быть реализовано за 0((/» — 1)!д(й> — 1) ) операций. (5.154) (1) представляет собой преобразование перехода от физиче- ского пространства к спектральному. Эффективность псевдоспектрального метода зависит от того, насколько экономично исполняются три указанных этапа. Вы- ясняется, что вычисление а" по выражению (5.150) требует решения линейной системы Та" = и", причем матрица Т плот- ная. Прямое применение метода исключения по Гауссу (см. и. 6.2.!) для получения а" означает реализацию О((/>/ + 1)') операций.
К счастью, использование полиномов Чебышева, вы- числяемых в точках коллокации хь заданных формулой х> — — соз [и (1 — 1)//>/], (5 !52) позволяет для вычисления а" воспользоваться быстрым пре- образованием Фурье (БПФ), требующим 0 ((М + 1)1д(й> + ! ) ) операций. Быстрые преобразования Фурье [Соо!еу, ТпМеу, 1965] более подробно описываются в книге [Вг!пЬат, 1974]. Прямой расчет д'и/дх' по формуле (5.!5!) во всех точках сетки требует проведения О((/>>+ 1)') операций. Однако ис- пользование полиномов Чебышева дает возможность обраще- ния к различным рекуррентным соотношениям, что приводит к некоторому уменьшению числа операций, необходимого для полной реализации этапа (2).
В частности, пространственные производные могут определяться непосредственно из полино- мов Чебышева, без их дифференцирования, а именно — — аьп Та >(х), а ! а>-! лап —.= 2 а>т>Т,,(х). дх' 2. а-! Гл. о. Методы взвешенных невнзок Ввиду экономичности каждого этапа псевдоспектрального алгоритма весь этот алгоритм оказывается весьма эффективным. Эффекты нелинейных членов исходного уравнения псевдо- спектральный метод учитывает особенно экономичным путем.
Рассмотрим уравнение Бюргерса (10.2) для невязкого потока (5.155) Если следовать той же процедуре, что и выше, то для перехода с временного слоя п на слой и+ 1 псевдоспектральный метод должен состоять из следующих этапов: 1) при заданном и" вычислить ане из выражения (5.150); 2) при заданном а" вычислить [ди/дх]" по формулам (5.153а), (5.154); 3) вычислить тнтн = ин [ди/дх]"; ! ! !' 4) вычислить и"" =и" — ш!5!. ! ! Расчет нелинейного члена на этапе (3) осуществляется в физическом пространстве, что позволяет избежать требующего много времени умножения отдельных коэффициентов рядов, таких, как (5.150) и (5.153).
Идея о применении преобразования, связывающего между собой спектральное н физическое пространства с помощью БПФ с целью эффективного расчета нелинейных членов, применяется также н при использовании спектрального метода Галеркина [Огзхап, 1971]. Подробно анализируемый пример из области метеорологии дается в книге [На!1(пег, %!!!(агпз, 1980]. В сравнении со спектральным методом Галеркина у псевдо- спектрального метода имеется один недостаток.
При необхо димости учета нелинейных членов псевдоспектральный метод допускает возникновение побочных ошибок [см. Р1е1с(тег, 1984]. Это означает, что произведение двух рядов, неявно фигурирующее на вышеуказанном этапе (3), возбуждает возникновение новых высоких частот, й,,.з'й(+ 1. Однако поскольку процесс коллокации учитывает лишь й! — 1 дискретную внутреннюю точку, то высокие частоты должным образом не учитываются.
На практике происходит небольшое искажение амплитуд низкой частоты. При рассмотрении физических задач с небольшой естественной диссипацней интегрирование по времени может стать неустойчивым вследствие накопления побочных ошибок, что создает нелинейную неустойчивость. Такая проблема часто возникает при прогнозировании погоды. Для <технических» течений объем дисснпации обычно достаточен, например из-за на- $5,.6. Спектральный метод Коэффициенты а" явно выражаются через и" в форме а=Тм, где элемент матрицы Т имеет вид 2 1 ! Та1 — — — ==Та 1(х1), а 1 (5.157) (5.158) причем са — — со+1 — — 2, са —— 1, 1 < 1 < У + 1. Формулы (5.!53а), справедливые для всех точек сетки, можно записать в виде — = Та1'1.
дк (5.159) О днако ао1 можно связать с а посредством (5.154), так что аи) — бо>а (5.160) где бо1 — это матрица (Ж+ 1)Х(тт'+ 1), имеющая элементы 0, если А) 1 или я+1 четное, 6'й = (5.161) 2(1 — 1)/са во всех остальных случаях. Коэффициенты са — — 2, са = 1 при АЛ 1. личия турбулентности, чтобы можно было игнорировать побочные ошибки. В таком случае псевдоспектральный метод оказывается обычно предпочтительнее, чем спектральный метод Галеркина, вследствие большей экономичности первого и более эффективного учета граничных условий в нем. Спектральный метод Галеркина (см. и 5.6.1) строит решение целиком в спектральном пространстве, т.
е. имеет дело с коэффициентами аг в выражении (5.123). Псевдоспектральный метод, описанный выше, работает частично в спектральном пространстве, частично в физическом пространстве, с применением БПФ для перехода из одного пространства в другое.
Имеется возможность дать такую интерпретацию псевдоспектральному методу, чтобы его схема напоминала дискретизацию в физическом пространстве, подобную тому, что осуществляется в конечно-разиостном и конечно-элементном методах. Основные этапы в ходе такой интерпретации,'следуя работе [Кц, На(х(ачгаш(б(з, 1984], описываются ниже. Узловые значения и" связаны со спектральными коэффициентами аа посредством соотношения (5.150), которое в компактной форме может быть представлено в виде и=Та.
(5.156) 2ОЕ Гл. 5. >><етонм взвешенных невязок Ясно, что из соотношений (5.159), (5.!60) и (5.157) следует — = Тб< "а = Тбп>Тм = бп>м. (5.162) дх Рассмотрение отдельного элемента вектора ди/дх свидетельствует о том, что соотношение (5.162) дает непосредственно дискретизационную формулу, выражающую ди/дх!> через все узловые значения иь Это выглядит контрастом к трехдиагональной структуре матрицы би~ при использовании центрированного конечно-разностного выражения, моделирующего ди/дх ! ь Аналогичным образом, формулы (5.153Ь) можно записать в виде — Та<'> (5.163) и учесть, что а<'> = б<»а<в = б«>бн>а = б<з>а.
(5.164) Элементы матрицы С<з> могут быть вычислены с помощью (5.161). На основании (5.163), (5.164) и (5.157) получим —,= ТО<"а = ТО<в>Тм = б<з>м дхз (5,165) Матрицы бп> и б<з> могут быть вычислены раз и навсегда и введены в память. В результате все операции, скажем, на одном временнбм слое выполняются в физическом пространстве. Применение вышеуказанного построения к случаю уравнения диффузии (5Л47) заменит этапы (1) и (2) на вычисление [дзи/дх'1< с помощью соотношения (5.!65).
Можно отметить, что этот процесс требует 0(А<') операций, тогда как этапы (1) и (2) включают два быстрых преобразования Фурье и рекуррентный процесс трудоемкостью О(/</) операций. Вследствие дополнительных затрат времени на применение БПФ использование соотношения (5.!65) является конкурентноспособными для А<, как правило, меньших 100 1Ки е1 а1., 19871. Если взять некий предельный случай А< = 2 в выражении (5.150), то вышеуказанная псевдоспектральная процедура дает такую же дискретизацию уравнения диффузии (5.147), как и схема ВВЦП (3.4). Явная матричная интерпретация псевдоспектрального метода будет рассмотрена в дальнейшем, в п.
17.1.6, в связи с построением численных решений для течения несжимаемой вязкой жидкости. Более сложные трактовки спектральных ме- $5.8. Задачи тодов в их различных аспектах можно найти в работах [Оо(1- 1!еЬ, Отавами, 1977; Р1е!сЬег, 1984; Чо!8! е1 а!., 1984; Реуге1, 1986; Сапп(о е! а!., 1987]. $5.7. Заключение Метод взвешенных невязок обеспечивает общую основу для сравнения многих приближенных методов (см.
[Р!е1сЬег, 1984]). Здесь были рассмотрены достаточно подробно метод Галеркина с конечными элементами, спектральный метод Галеркина и метод конечных объемов. Методы конечных объемов и конечных элементов, так же как и конечно-разностные методы, являются локальными методами. Следовательно, два первых метода приводят к дискретизированным уравнениям с разреженными матрицами, хотя обычно с менее разреженными, чем в случае конечно-разностного метода. Как метод конечных элементов в сочетании с изопараметрическим преобразованием, так и метод конечных объемов подходят для рассмотрения вычислительных областей неправильной формы. Кроме того, при применении обоих указанных методов можно использовать обобщенные координаты (см. гл. 12). Дополнительное преимущество метода конечных объемов состоит в возможности непосредственной дискретизации консервативной формы исходных уравнений (см.
$11.2). Это наталкивает на мысль о том, что дискретизированные уравнения обеспечивают выполнение законов сохранения, если только учесть ошибку дискретизации. В противоположность вышеупомянутым спектральный метод является глобальным методом. Практически это делает его методом, более трудным для реализации, однако позволяет строить приближенные решения высокой точности при сравнительно малом числе членов в выражении для приближенного решения (6.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
