Fletcher-1-rus (1185917), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В частности, ие могут быть представлены длины волн, более короткие, чем длина волны отсечки ). = 2Дх. Это значит, что д; следует рассматривать как длиниоволяовую аппроксимацию функции е(х). Аналогично этому Т,"+', т. е. приближенное решение, получаемое из (3.5), следует рассматривать как длиииоволиовое приближение к точ- з 2.4. Представление волн ному решению уравнения (3.!). Этот аспект подвергается даль- нейшему рассмотрению в $ 9.2 и используется при обосновании многосеточных методов (см. п.
6.3.5). 3.4.2. Точность представления волн Т(х, ()=Ке(е""'(* егг!)=соз[т(х — г/!)[, (3.32) где г' =( — 1) гг', символ Ке обозначает вещественную часть, т — волновое число, как и в (3.28), а г) — скорость распростра- нения волны, движущейся в положительном направлении оси х. В фиксированной точке х; волновое движение является пе- риодическим с периодом Р = 2п/(г/пг). Если рассмотреть узел (/, п), то в нем точные значения пер- вой и второй производных Т выражаются в виде д — — — и ейп [т (х, — Ф„)], дТ (3.33) даТ дха (3.34) Выражение (3.32) следует подставить в трехточечную формулу 1" дТ ! (Т"; ! — Т" !) дх )( 2 ах что дает дТ'! 1 д [ =-2а (сов([т(хг — г//л))+тЛх) — созЕ [пг(х; — г)!„)[ — тггх))= (3.35) лг яп [lл (х( яг )г ага (ги ггх) пг Лх В результате амплитудный фактор для представления первой производной будет равен (дТ/дх)", Мн (лг Ьх) АК(1)= арт (дТ/дх1 гп Ьх Пользуясь формулой (3.32), получим центрированную разностную аппроксимацию для д'Т/дх' в виде Т гл ! — 2Т" + Т", Т (агн (т Ьх/2Ц 'г~ = — та[ ) соз [т (хг — д(„)) .
(3.37) (3.36) Чтобы получить представление о точности конечно-разностных аппроксимаций в тех случаях, когда следует ожидать волнообразного по своему характеру движения, рассмотрим приложение к случаю прогрессивных волн, который задается в виде 92 Гл. 3. Предварительные сведения о нрнемах вычислений Амплитудный фактор для представления второй производной имеет вид (3.38) Как показывает изучение правой части формулы (3.36), применение конечно-разностной аппроксимации привело к изменению амплитуды производной. В случае длинных волн, когда л ) 20Лх, амплитуда первой производной уменьшается за счет умножения на коэффициент, равный 0.984 — 1,000, если используется центрированная разностная аппроксимация. Однако когда на длине одной волны располагается менее четырех ячеек сетки (случай коротких волн), то амплитуда производной составляет менее чем 0.64 от своего истинного значения.
При длине волны Х = 20Лх центрнрованное разностное представление дат/дха уменьшает амплитуду в 0.992 раза. Однако при длине волны Х = 2Лх амплитуда второй производной уменьшается за счет умножения на 0.405. Как отмечалось в п. 3.4.1, длинные волны воспроизводятся более точно, чем короткие. Если сравнить разностную аппроксимацию вперед для '16Т(/дх~," по формуле (3.19) с точным значением этой производной для функции Т, заданной формулой (3.32), то мы найдем, что ошибки вносятся как в значение фазы, так и в значение амплитуды.
Истинная величина амплитуды умножается на коэффициент [з(п(тЛх/2)/(тЛх/2)], а уменьшение фазы определяется коэффициентом апЛх/2, что эквивалентно пространственному сдвигу вперед на Лх/2. Для приведенных выше примеров ошибки по амплитуде и фазе исчезают при Лх — м0, т. е, в пределе длинных волн. 3.4.3. Точность формул высокого порядка Как было указано в п. 3.4.2, представление о точности дискретизации можно получить, рассматривая прогрессивную волну, движущуюся с постоянной амплитудой и скоростью д.
Точное решение задается формулой (3.32). Здесь мы воспользуемся тем же примером, чтобы проверить, будут ли разностные формулы высокого порядка воспроизводить волны с более высокой точностью, чем формулы низкого порядка. Конкретно мы будем сравнивать симметричные трехточечную и пятиточечную формулы для дТ/дх и д'Т/дхт, приведенные в табл. 3.1 и 3.2. Действуя таким же образом, как при выводе формулы .(3.36), определим амплитудный фактор в применении к пяти- 93 6 3.4.
Представление волн точечному симметричному представлению дТ/дк (см. табл. 3.1); он равен (З 3 созтЛх) ах (3.39) Поведение выражения, определяемого правой частью (3.39), показано в табл. 3.5 применительно к длинным и коротким вол- Таблица 3.6. Отношение амплитуд в случае прогрессивной волны Отношение амплитуд Отношение амплитуд Короткая волна (д = 4ах) Схема Производная Длинная волна (Х = 20ох) 0,6366 0.9836 йт ох Трехточечная симметричная Пятиточечная сим- метричная 0.9996 0.8488 Схема Длинная волна (Х = 20ох) Короткая волна ()е = 2ах) Производная 0,4063 0.6404 йат лхт Трехточечная симметричная Пятиточечная сим- метричная 0.9918 0,9999 иам.
Амплитудный фактор в применении к пятиточечному представлению дтТ(дхт (см. табл. 3.2) выражается в виде Ай (2) = — ~1 — 0.25(соз(0.5лтЛх))т) ( ' „) . (3.40) Поведение правой части (3.40) в применении к длинным и коротким волнам показано в табл. 3.5. Показанные в этой таблице результаты свидетельствуют о том, что обе схемы дают ббльшую точность в случае длинных волн, причем особенно хорошую точность обеспечивает пятиточечная схема.
Однако нн одна из рассмотренных схем не является особенно точной в случае коротких волн. Этот результат согласуется со сделанными ранее замечаниями (см. 9 3.3), касающимися сравнительно малых преимуществ использования схем высокого порядка на грубой сетке. В процессе моделирования некоторой заданной волны измельчение сетки (т. е. введение большего числа точек для 94 Гл.
3. Предварительные сведения о приемах вычислений представления каждой длины волны) перемещает решаемую задачу из области коротких волн в область длинных волн. Следовательно, основной вывод, который можно сделать из изучения табл. 3.5, состоит в том, что для точного расчета волнообразных движений необходимо использовать достаточно мелкие сетки. 9 3.5. Метод конечных разностей 3.5.!. Концептуальная реализация Различные шаги, совершаемые в процессе применения метода конечных разностей в некоторой заданной задаче, представлены схематически на рис.
3.11. Сформировать сетку Задать начальные значении искомых переменных Построить конечно-ревностные аналоги ДУЧП и граничные условии Г Длп каждой внутренней точки ГД л1 провести расчет по алгоритму п+! и получить.7. 1 ьл+! ьп + ~~ Нет корректировать если необходимо! граничные значении Т и Т. л+! л+! ! Конечное время достигнуто пр,„ решении! Да решение Рис. 3.1!. Схема построения решения методом конечных разностей. Процедура может быть конкретизирована, если применить ее к нижеследующей нестационарной задаче о теплопроводности (диффузии). Пусть теплоизолированный стержень (рис.
3.12) в начальный момент имеет температуру Т(х, 0)= Как уже отмечалось в $3.1, метод конечных разностей основан на построении дискретной сетки (см. рнс. 3.2), замене континуальных производных в исходных дифференциальных уравнениях с частными производными иа эквивалентные им конечно-разностные выражения и в перегруппировке членов полученного алгебраического уравнения с тем, чтобы построить алгоритм наподобие (3.5). В данном параграфе все перечисленные аспекты сведены воедино и предложена некоторая простая конечно-разностная программа. $ 3.5. Метод конечных разностса 93 Для решения этого уравнения необходимы начальные условия (3.3), роль которых состоит в задании начальных значений зато(*) В Задано тв дтв(д А Задано тд ини дТА/дх Хий Рис.
ЗЛ2. Нестапионарнаи теплопроводность в стержне. висимого переменного Т'. (см, рис. 3.2). Один из простейших ! конечно-разностных аналогов уравнения диффузии достигается путем замены производной по времени аппроксимацией с разностью вперед, а производной по пространству — центрированной разностной аппроксимацией (см. п.
3.1.!). Это приводит через посредство формулы (3.5) к схеме с разностями, сдвинутыми вперед по времени и с центрированными по пространству (ВВЦП) Тт ~ = зТ,". ~ + (1 — 2з) Тт + зТ,".ь ь (3.41) где з =абх/Л(т. Формула (3.41) применяется ко всем внутренним узлам, где 1' = 2, ..., У вЂ” 1. В случае типичной задачи о теплопроводности граничные значения Т",+ и Тт задаются при помощи граничных условий (3.2). Процесс решения повторяется по мере продвижения во времени (и = 1, 2, ...), пока не достигается необходимое время окончания. 3.5.2.
ИЕГ: нестационарная задача теории теплопроводности (диффузии) В п. 3.5.1 было дано качественное описание реализации метода конечных разностей. Здесь будет описана соответствующая программа расчетов на ЭВМ под названием Р1гг. =0'С. При 1= 0 два горячих резервуара (Т = 100'С) приводятся в контакт с двумя концами стержня А и В. Задача состоит в том, чтобы определить (численно) температуру Т(х,1) любой точки стержня в любой последующий момент. Исходным уравнением для этой задачи является уравнение (3.1), т. е. дТ д'Т вЂ” — а — = О. дт дка 96 Гл.
3. Предварительные сведения 0 приемах вычислений 1 2 С 3 С 4 С 5 6 С 7 С в с 9 С ]О С 11 С эг с 13 С 14 С 15 С 16 17 18 19 20 21 С гг с гэ с гв с 25 26 27 28 29 30 31 32 ЗЭ 34 35 36 С 37 С эв с 39 40 41 4г 43 С 44 С 45 С 46 С 47 С 48 49 50 51 52 53 Боьчкв 10 тнвмвэкнт мклт соивустэои ЕООАТ10]( 051ис Ртов Бснкнк, 01ИКИ510И ТИ(41],РУН(41),ТР(41),Х(41),ТЕ(41) 1ИРУт РвтА] дМАХ = ТНЕ ИУНВЕК ОР Р01ИТ5 АЬОИС ТНЕ ЯОР МАХЕХ = ТНЕ НУНВЕН ОР ТЕКМБ 1И ТНЕ ЕХАСТ 5ОЬУТТОИ ИМАХ = ТНЕ МАХ1НУЧ МУЛВЕН ОР Т1МЕ 5ТЕР5 АЬРН = ТНЕ ТНЕННАЬ 01РРО5191ТТ 5 = АЬРУ*РЕЬТ/РЕЬХ/РЕЬХ ТНАХ ТНЕ МАХ1НУМ Т1МЕ ОРЕМ(1,11ЬЕ='Р!ГР.ВАТ') ОРЕИ(6,Г1ЬЕ='01РР.ОУТ') НЕАВ(1,1)дМАХ,МАХЕХ,НИАХ,АЬРН,5,ТНАХ 1 РОНИАТ(315,Е10.З,Р5.2.15.0) Р1 = 3.1415927 ТВ Р1МЕИ510ИАЬ ТКМРЕНАТУНЕ ТН = НОИР1МЕН510ИАЬ ТЕМРЕНАТУНЕ дМАР = дНАХ " 1 АОМ = дМАР ВЕЬХ = 1./АЗН ВЕЕТ = ВЕЬХ*РЕЬХ"5/АЬРН ЧНТТЕ(6,2]дИАХ,МАХЕХ,ИМАТ.,ТМАХ 2 ГОКМАТ(' дМАХ=', 15,' МАХЕХ=', 15,' НИАХ ', 15,' ТИАХ ',Р8.2) ЧН1ТЕ(6,3)Б,АЬРН,ВЕЬТ,ОЕЬХ 3 РОНМАТ(' 5=',Р5.3,' АЬРН =',Е10.3,' РЕЬТ ',Е10.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
