Fletcher-1-rus (1185917), страница 12
Текст из файла (страница 12)
2.11. На той же схеме по- и(0,$) = и(п,Ф) О ~\~ О ш Рис. 2.11. Начальные и граничные условия для уравнения (2.76), казаны начальные и граничные условия. Метод состоит в введении общего расщепленного решения и(х, г) =Х(х)Т(1). Подстановка в (2.75) дает дгл — „, + )ьХ=О, дТ + ХТ=О, (2.78) (2.76) (2.77) где )ь — произвольная постоянная. Уравнение (2.7?) имеет бесконечный набор решений вида Ха (х) = Ае з)п )ех, (2.79) где д = йг, й = 1, 2, 3, ...
и Ае — постоянные, определяемые с помощью граничных и начальных условий. Далее, уравнение (2.78) также имеет бесконечное число решений вида Ть(Г) = ВаехР( — йгг), (2.80) Е4 Гл. 2. Лнфференцнальные уравнения в частных производных где постоянные В» должны определяться из начальных и граничных условий. Подстановка выражений (2.79) и (2.80) в формулу (2.76) позволяет получить общее решение в форме и(х, 1) = ~, С» з(п йхехр( — йет). »-1 (2.81) Выражение (2.81) удовлетворяет граничным условиям задачи.
Постоянные С» определяются путем удовлетворения начальным условиям (О С» з(п йх=и(х, 0) =)(х), (2.82) »-1 т. е. (2.83) 2.5.5. Метод функции Грина Для ДУЧП, записанного в обобщенной формулировке Ли=), (2.84) решение в принципе может быть построено путем «обращения» оператора Е. Решение представимо в интегральной форме: и(р)= ~ 6(р, д))(д) Ы„ (2.88) где 6(р, д) — функция Грина. В общем случае функция 6(р,т)) содержит информацию, эквивалентную информации в операто- По отношению к данной конкретной задаче вклады от множителей ехр( — )е»1) очень малы при больших й и 1) О.
Поэтому в разложении (2.81) обычно бывает необходимо сохранить лишь 10 или 20 членов. Принцип разделения переменных связан с возможностью выбора такой системы координат, при которой дтт' совпадает с координатными линиями. При этом предполагается также, что операторы в ДУЧП могут быть разделены. Отсюда следует, что хотя метод достаточно эффективен при решении модельных задач, он все же нечасто находит прямое применение к решению относительно сложных уравнений, определяющих движение жидкости или газа, при этом нередко в областях неправильной формы. Тем не менее интересное обсуждение данного метода проводится в книге Густафсона [Онз(а(зоп, 1980).
65 й 2де. Традиционные методы решения ре Е, а также информацию о граничных условиях и области вычислений. Следовательно, главная трудность, возникающая при использовании метода функции Грина, состоит в определении того, какой именно должна быть эта функция в применении к данной конкретной задаче. Последующее вычисление интеграла в (2.85), как правило, не вызывает затруднений. Функцию Грина можно построить для таких сравнительно простых линейных уравнений, как уравнения Лапласа и Пуассона. Например, точечный источник единичной мощности в трех измерениях имеет функцию Грина 5(р, д) = (1/4)яг „ (2.86) где г,ч — просто расстояние между р и д. Эта формула по существу эквивалентна двумерному потенциалу скорости, заданному формулой (11.53) при т = 1. После выполнения требуемого дифференцирования получим — Ч:,8(р, о)=б(р, о), (2.87) Функция ш(д) из (2.88) — произвольная гладкая функция.
Процедура решения может быть окончательно определена, если воспользоваться вторым тождеством Грина: т)(иЧ'о — оЧ~и)е(У+ ~ (и ~ — о ~ ) ег5=0. (2.89) Пусть в интересующей нас ситуации функция и, входящая в левую часть соотношения (2.89), отождествляется с решением уравнения Пуассона Ч'и = — 1 в области )г, и = 0 на контуре дЯ (2.90) и о=6(р, д)=8(р, д)+д(р, т)) при о=О на д)е. (2 91) В результате соотношение (2.89) приобретает форму ~ оГе(У= — ~ иЧ'ое(У. (2.92) а К Флетчер, т. 1 где б(р, д) — дельта-функция Дирака, центрированная в точке р, а Ч' — лапласиан, вычисленный при д.
Свойство дельта- функции Дирака таково, что ~ го(г()б(р, д)пУе= го(р) и б(р, д)=0, если р чь е). (2 88) 66 Гл. 2. Дифференциальные уравнения в частных производных Функция д(р, д) выбрана так, что У~~д=О в области )с и б(р, д) = О, когда точка д лежит на дтс. В результате с помощью (2.88) и (2.92) получим решение и (Р) = ~ 0(Р, д)1 (д) Л' . (2.93) Метод функции Грина неявно используется при построении панельного метода (см. 9 14.1) и почти непосредственно исполь. зуется в методе граничных элементов (см. п.
14.1.3). Для некоторых эллиптических ДУЧП можно построить некий эквивалентный вариационный принцип и применить процедуру Рэлея — Ритца [сзцз1а(зоп, !980). Такая методика является стандартной при применении метода конечных элементов к исследованию механических конструкций, однако те эллиптические ДУЧП, которые встречаются в гидроаэродинамике, обычно не имеют эквивалентной вариационной формы. 5 2.6. Заключение В данной главе мы рассмотрели классификацию ДУЧП по принадлежности к гиперболическому, параболическому или эллиптическому типу. Все эти три типа встречаются при различных упрощенных вариантах определяющих уравнений гидроаэродинамики (гл. 11).
Впрочем, системы уравнений могут иметь также и смешанный тип. Гиперболические ДУЧП обычно ассоциируются с задачами о распространении без диссипации (волнообразное движение остается незатухающим), а параболические ДУЧП вЂ” с задачами о распространении при наличии диссипацни. В гидроаэродинамике диссипация обычно порождается членами с вязкостью или теплопроводностью.
Эллиптические ДУЧП ассоциируются со стационарными задачами. Каждый из типов ДУЧП требует задания различных граничных (и начальных) условий и нуждается в применении определенной методики решения. Например, метод характеристик является «естественным» для гиперболических ДУЧП с двумя независимыми переменными. Для нелинейных уравнений, определяющих гидроаэродинамические процессы, классификация ДУЧП может подвергаться локальным изменениям. С учетом этого граничные условия должны подбираться так, чтобы не нарушалось соответствие классификации ДУЧП вблизи границы.
67 $2.7. Задачи Прн исследовании установившегося двумерного сверхзвукового течения вокруг хорошо обтекаемого тела определяющими уравнениями служат уравнения Навье — Стокса, которые в силу появления вторых производных являются строго эллнптнческнмн в той интерпретации, какая предлагается в и. 2.!.2. Однако подобная классификация не принимает во внимание величины тех членов, от которых зависит результат. В самом деле, члены с вязкостью имеют значение только вблизи поверхности, где вязкая днсснпация в направлении вдоль по потоку на один порядок величины меньше, чем вязкая днсснпацня поперек потока; определяющие уравнения в этой зоне являются смешанными — параболнческн-гнперболнческнмн. Вдали от тела все члены с вязкостью малы н система уравнений является эффективно гиперболической.
Когда появляются ударные волны, то очень большие градиенты по направлению удаления от тела становятся причиной того, что члены с вязкостью (н с теплопроводностью) приобретают существенное значение н определяющие уравнения становятся локально эллиптическими (в пределах, соответствующих толщине ударной волны). Этого достаточно, чтобы заменить разрывное решение (в невязкой аппроксимации) на решение с очень большим градиентом, но непрерывное.
Совершенно очевидно, что строгая математическая классификация определяющих ДУЧП должна сочетаться со знанием тех физических процессов, которые исследуются, чтобы за счет такого сочетания обеспечить постановку правильных граничных условий н выбрать надлежащую методику численного расчета. й 2.7. Задачи Основные положения (6 2.1) 2.1. (а) Проведите преобразование уравнения Лапласа дте/дхт + + деФ/дуз = О к обобщенным координатам $ = а(х, р), Ч = Ч(х, у) и покажите, что полученное в результате уравнение является эллиптическим (Ь) Проведите преобразование волнового уравнения дтф/дв — д'ф!дхз=о к обобщенным координатам в = а(6 х), Ч = Ч(й х) и покажите, что полученное в результате уравнение является гиперболическим.
2.2. Проведите преобразование уравнения Кортвега — де Врнза [)епгеу, Тап(пп, 1964) ди ди д'и — +и — + — =О д( дх дхз к эквивалентной системе уравнений первого порядка за счет введения вспомогательных переменных р = ди/дх и т. д, Обоснуйте вывод, что полученная система уравнений является параболической.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
