Fletcher-1-rus (1185917), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Так, например, возмущение решения, введенное в точке Р (см. рис. 2.8), может оказать влияние на любую часть вычислительной области, соответствующую. условию 1) )ь Однако при этом величина возмущения быстро уменьшается по мере удаления от точки Р. В случае установившегося течения в двумерном пограничном слое (гл. 15) характеристики идут по нормали к направлению течения и здесь не создается влияния в направлении вверх по потоку. Появление диссипативного механизма косвенно указывает- также и на тот факт, что даже если начальные условия содержат разрыв, то решение во внутренней области всегда будет оставаться непрерывным. Дифференциальные уравнения в частных производных, определяющие решение более чем в одном пространственном направлении и являющиеся параболическими по.
отношению ко времени, становятся эллиптическими в стационарном состоянии (если только стационарное решение существует) 38 Гл. 2. Дифференциальные уравнении в частных производных 2.3.8. Надлежащие граничные (и начальные) условия Для уравнения (2.58) необходимо ставить начальные условия Дирихле, например и(х, 0)=и,(х) при 0(х<1. (2.60) Надлежащими граничными условиями могут быть а(0, 1)=йЯ и — (1, 1)=й(1). (2.61) На границах СР и ЕР (см. рис.
2.8) допустима любая комбинация условий Дирихле, Неймана или же смешанных (см. и. 2.1.2). Однако при задании граничных условий Дирихле желательно обеспечить их непрерывную стыковку с начальными условиями в точках С и Е. Невыполнение этого требования приведет к решению, содержащему очень большие градиенты вблизи точек С и Е, а это может создать трудности с реализацией вычислительного алгоритма.
В случае систем параболических ДУЧП задание начальных условий на линии СЕ и граничных условий на линиях СР и ЕЕ необходимо вводить для всех искомых переменных. 5 2.4. Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных В гидроаэродинамике эллиптические ДУЧП ассоциируются со стационарными проблемами. Простейший пример эллиптического ДУЧП дает уравнение Лапласа дзф даф — + — =О, дхз дуа (2.62) которое определяет потенциальное течение несжимаемой жид- кости. При граничных условиях ф (х, 0) = з! п ях, ф (х, 1) = з1 п пх ех р ( — и), ф (О, у) = ф (1, у) = 0 уравнение (2.62) допускает решение ф (х, у) = з1п их ехр ( — пу) (2.63) в области 0 < х < 1, О < у < 1. Уравнение Пуассона для функции тока (11.88), определяющее двумерное завихренное течение, является эллиптическим ДУЧП.
Как отмечалось выше, стационарное уравнение Навье— Стокса и стационарное уравнение энергии также являются эллиптическими уравнениями. 59 5 2.4. Эллиптические ДУЧП Для эллиптического ДУЧП второго порядка, представленного в форме (2.1), существует важный принцип максимума [бага(зег((ап, 1964]. А именно как максимальные, так н минимальные значения ф должны достигаться иа границе дЯ, если не считать того тривиального случая, когда величина ф постоянна. Принцип максимума полезен для проведения проверки того обстоятельства, что численные решения эллиптических ДУЧП ведут себя надлежащим образом.
2,4.1, Интерпретация с помощью характеристик В случае ДУЧП второго порядка, представленного в общем виде (2.1), о котором известно, что оно эллиптическое, т. е, для него 4АС ( В', характеристики будут комплексными и их невозможно показать в вычислительной области (последняя считается вещественной).
При рассмотрении эллиптических задач в гидроаэродинамике идентификация характеристических направлений не может оказаться сколько-нибудь полезной. 2.4.2. Интерпретация на физической основе Наиболее важная особенность, касающаяся эллиптических ДУЧП, состоит в том, что возмущение, внесенное в точке Р (рис. 2.9), оказывает влияние на все другие точки в вычисли- Заааны р нлн др/дл Заданы д Ф нлн дф/дп Рнс. 2.9.
Характерная область для эллиптического ДУЧП. тельной области, хотя вдалеке от точки Р это влияние будет малым. Тем самым косвенно утверждается, что при попытке отыскания численных решений эллиптических задач необходимо рассматривать глобальную область. В противоположность этому параболические и гиперболические ДУЧП можно решать '60 Гл. 2. Двфферевцвзльпые уравнения в частных производных прогрессивно-маршевым путем, отталкиваясь от начальных условий. Разрывы в граничных условиях для эллиптических ,ДУЧП сглаживаются внутри области.
2.4.3. Надлежащие граничные условия Тот факт, что любая точка внутри области способна оказать влияние на все другие точки рассматриваемой области, влечет за собой вывод о том, что граничные условия необходимо ставить на всех границах (см. рис. 2.9). Граничные условия .могут представлять собой любую комбинацию условий Дирихле, Неймана или смешанных (см.
п. 2.1.2). Однако если на всех границах поставить условие Неймана дф/ди =Г(з), где символ и соответствует внешней нормали, а з измеряется вдоль контура границы, то необходимо позаботиться о том, чтобы формулировка таких граничных условий не противоречила определяющему уравнению. С помощью теоремы Грина получим (2.64) :Ясно, что если определяющее уравнение представляет собой уравнение Лапласа или уравнение Пуассона, то соотношение (2.64) косвенно указывает на наличие дополнительного глобального ограничения, налагаемого на формулировку граничного условия Неймана.
Если уравнение (2.62) характеризует установившееся потенциальное течение несжимаемой жидкости, причем ф представляет собой потенциал скорости, то величина 1 точно соответствует нормальной скорости. Таким образом, в случае установившегося потенциального течения несжимаемой жидкости условие (2.64) совпадает с условием сохранения массы (11.7). Численная реализация условия (2.64) обсуждается в п. 16.2.2. Для систем эллиптических ДУЧП граничные условия должны ставиться на всех границах, для всех искомых переменных.
При рассмотрении параболических и гиперболических ДУЧП путем применения разложения в ряд всегда возможно получить некое локальное решение в непосредственной близости от границы. Попытка проделать то же самое, имея дело "с эллиптическим ДУЧП, приводит, как правило, к получению бесконечно возрастающего решения, и это имеет непосредственную связь с тем фактом, что постановка задач для эллиптических ДУЧП оказывается некорректной, если граничные услосвия не заданы на некоторой замкнутой границе. б! й 2.о. Традиционные методы решения й 2.5. Традиционные методы решения В данном разделе дается краткое описание трех методов решения, которые могут быть названы прекомпьютерными, так как они требуют только ручных расчетов или расчетов на примитивных машинах.
Эти методы хорошо работают применительно к простым модельным задачам, однако оказываются менее эффективными по отношению к более сложным уравнениям, определяющим течение жидкости или газа. Тем не менее иногда эти методы полезны, так как помогают подсказать метод решения или получить некое приближенное нли же локальное решение. 2.5.1.
Метод характеристик Для двух соседних точек на характеристиках, определяемых соотношениями (2.66), условие совместности (2.15) может быть приближенно представлено в виде А — „У ЛР + С ЛЯ + Н Лу = О. Можно напомнить, что, как это было указано в п. 2.1.3, Р = = ди1дх и Я = ди/ду, и, следовательно, для тех же двух соседних точек Ли = Р Лх + 11 Лу. (2.68) Будем предполагать, что и, Р и Я известны вдоль некоторой границы, не являющейся характеристикой (рис. 2.10). На начальном этапе неизвестны ни решение, нн положение таких внутренних точек, как д и е.
Из соотношений (2.66) можно получить два соотношения для определения положения точки д. Эти соотношения таковы: ун — у, = Р,н (хн — х,), у т — уь = Обе (хн — хь), (2.69) (2.70) где Р и=0.5(Р +Рн) йан=О 5(ба+~и). Этот метод применим только к гиперболическим ДУЧП. Он описывается здесь применительно к ДУЧП второго порядка с двумя независимыми переменными (2.65) Решение уравнения (2.14) позволит получить два корня (2.66) 62 Гл. 2. Дифференциальные уравнения в частных производных По существу, кривые линии ас( и Ьт( были заменены здесь прямыми линиями, определяемыми путем осреднения наклона первоначальных линий в концевых точках.
Если величины ха и уа известны, то из уравнения (2.67) можно найти Ра и Яа с помошью соотношений АааЕан (Рд Ра) + Сы (Яи Яа) + Г!ал (ут уа) = О, (2.71) АьаОы (Рл — Рь) + Сьд (!'1а — Оь) + Оы (ун — уь) = О. (2 72) При известных Р„и Ян можно воспользоваться формулой (2.68), чтобы получить иа. ил — иа =Р,„(хв — х,)+ Я т(уд — у,). (2.73) На практике, чтобы получить ха, ул, Ра, Яа и иа, уравнения (2.69) — (2.73) следует решать с помощью итераций.
В каче- 0-характеристики сх-характеристики Рнс. 2.!О Метод характеристик. стве начальной итерации используются следующие аппроксимации: Ры = Р„Оы = Оь и т. д. (2.74) Как правило, если точка с( расположена не слишком далеко от а и Ь, достаточно провести две или три итерации. Метод реализует маршевое продвижение вдоль сетки, построенной на локальных характеристиках, определяемых в свою очередь как часть общего решения. Приведенная выше формулировка описывается в гидроаэродинамических терминах в работе Белоцерковского и Чушкина [Ве!о(зегкоуз(с!1, С!тпз)тЫп, 1965]. Метод характеристик имел широкое применение при исследовании одномерных нестационарных газодинамических задач, й 2.5, Традиционные методы решения 63 а также при изучении установившегося двумерного сверхзвукового течения невязкого газа.
Однако этот метод становится слишком громоздким, если его распространять на случай трех или четырех независимых переменных или если в потоке возникают внутренние ударные волны. 2.5.2. Разделение переменных Этот метод может применяться к ДУЧП любого типа. Для иллюстрации применения метода рассмотрим уравнение диф- фузии ди дги д1 дкг (2.75) в области, показанной на схеме рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
