Fletcher-1-rus (1185917), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Параболические ДУЧП определяют собой течения, обладающие тем или иным механизмом диссипации, например такие, где существенны вязкие напряжения или теплопроводность. В этом случае решение будет гладким, а градиенты с течением времени будут уменьшаться, если только граничные условия не зависят от времени. Если же диссипативные механизмы отсутствуют, то решение будет сохранять постоянную амплитуду в случае линейности ДУЧП и будет даже возрастать в случае его нелинейности. Такое решение характерно для течений, определяемых гиперболическими ДУЧП. Эллиптические ДУЧП обычно определяют собой задачи, относящиеся к установившимся или к равновесным состояниям.
Однако при исследовании некоторых установившихся течений приходится иметь дело с параболическими ДУЧП (установившееся течение в пограничном слое) и с гиперболическими ДУЧП (установившееся невязкое сверхзвуковое течение). 2.1.1. Природа корректно поставленной задачи Прежде чем продолжать обсуждение формальной классификации дифференциальных уравнений в частных производных, имеет смысл и формулировку задачи, и построение алгоритма рассмотреть под углом представления о корректно поставленной задаче.
Задача, связанная с решением определяющих уравнений вместе со вспомогательными (начальными и граничными) условиями, является математически корректно поставленной, если выполняются следующие условия: 1) решение задачи существует, 2) решение является единственным, 3) решение непрерывно зависит от вспомогательных данных.
Вопрос о существовании решения обычно не создает каких- либо трудностей. Исключение составляет введение точных решений уравнения Лапласа (см. 5 11.3), когда в некоторых изолированных точках решение может не существовать. Так, Зб Гл. 2. дифференциальные уравнения в частных производных например, оно не существует в центре источника, при г = г, и при использовании (!1.53). Зачастую на практике удается избежать столкновения с этой проблемой путем расположения источника за пределами вычислительной области, например внутри тела, показанного на рис. 11.7.
Обычная причина неединственности связана с несоответствием вспомогательных условий типу определяющего ДУЧП. Для уравнения потенциала, определяющего невязкие безвихревые течения, а также для уравнений пограничного слоя надлежащая форма начальных и граничных условий хорошо установлена. Для уравнений Навье — Стокса хорошо известны надлежащие условия на твердой поверхности, однако существует некоторая неопределенность относительно надлежащего выбора граничных условий вдали от тела. В общем случае недоопределение граничных условий приводит к неединственности, тогда как их переопределение — к получению нефизических решений вблизи соответствующей границы. Можно указать на некоторые проблемы обтекания, для которых множественность решений может ожидаться в силу физических причин. К таким проблемам уже нельзя применять вышеприведенные критерии корректности математической постановки.
Именно такая ситуация нередко возникает при рассмотрении течений, испытывающих переход от ламинарного состояния движения к турбулентному. Однако при надлежащем представлении о гидроаэродинамике обычно удается идентифицировать такие виды течений, расчет которых может быть усложнен из-за необходимости заботы о корректной постановке математической задачи. Третий из перечисленных выше критериев требует, чтобы малое изменение начальных или граничных условий влекло за собой лишь малое изменение решения.
Довольно часто вспомогательные условия вводятся в типовой вычислительный алгоритм в приближенной форме. Следовательно, если третье условие не выполняется, то ошибки, введенные вместе со вспомогательными данными, будут распространяться во внутреннюю область, вызывая тем самым быстрый рост решения, особенно для гиперболических ДУЧП.
Вышеуказанные критерии обычно приписывают Адамару 1ОагаЬеб)ап, 1964). В дополнение к этому мы могли бы провести простую параллель и потребовать, чтобы для корректно поставленного расчета выполнялись следующие условия: 1) вычислительное решение существует, 2) вычислительное решение единственно, 3) вычислительное решение непрерывно зависит от приближенных вспомогательных данных. 5 2.!. Основные положения 37 Процесс построения вычислительного решения может быть представлен схематически так, как это сделано на рис. 2.1. Здесь термин «вводимые данные» соответствует приближенному представлению начальных и граничных условий.
Если граничные условия формулируются для производных функции и, то некоторая ошибка будет вноситься за счет приближенного представления этих условий. Вычислительный алгоритм, как правило, строится на основе определяющего ДУЧП (см. $ 3.1) и должен быть устойчивым (см. $4.3), чтобы выполнялись все три вышеприведенных условия.
Вычислительное решение. и Рис. 2.!. Построение вычислительного решения Таким образом, для проведения корректно поставленных вычислений необходимо, чтобы не только задача для исходного ДУЧП со вспомогательными условиями была корректно поставлена, но чтобы и алгоритм был также корректно поставлен (устойчив). При этом подразумевается, что приближенное решение, полученное в результате корректно поставленного расчета, будет в определенном смысле близко к точному решению корректно поставленной задачи. Этот вопрос будет рассматриваться в $4.1. 2.1.2.
Граничньсе и начальные условия В результате проведенного в п. 2.!.1 обсуждения корректно поставленных задач и корректно поставленных вычислений становится ясно, что вспомогательные данные являются в определенном смысле отправной точкой для получения внутреннего решения, в особенности по отношению к задачам о распространении. Если мы не делаем различия между временем и пространством как независимыми переменными, то вспомогательные данные, вводимые на контуре д)с (рис. 2.2), через посредство вычислительного алгоритма (основанного на ДУЧП) «экстраполируются», обеспечивая тем самым построение решения во внутренней области Гт. Вспомогательные условия определяются как относящиеся к одному из трех классов: 1) условие Дирихле, например и = ) на д)т, 2) условие Неймана (для производной), например ди1дп = = ! или ди/дз = д на д)т, 88 Гл.
2. Дифференциальные уравнения а частных производных 3) смешанное условие, если условие Робина, например ди(дп + яи = (, й ) О на дтс. 2.!.3. Классификация с помощью характеристик По отношению к дифференциальным уравнениям в частных производных с двумя независимыми переменными классификация, т. е. отнесение к эллиптическому, параболическому или гиперболическому типу, может быть осуществлена за счет предварительного отыскания характеристических направлений„ только вдоль которых определяющие уравнения позволяют находить полные дифференциалы. Для одного ДУЧП первого порядка с двумя независимыми переменными А — + — =С ди ди дт дк (2.5) в каждой точке существует единственная вещественная харак- теристика, причем характеристическое направление определяет- ся соотношением (см.
рис. 2.5) дх В си А (2.6) При формулировке вспомогательных условий (2) и (3) символ д/дп обозначает производную по внешней нормали. При рассмотрении большинства течений, требующих для своего анализа решения уравнений Навье — Стокса в примитивных переменных (и, о, р и т. д.), по меньшей мере одна со- ставляющая скорости задается на )П границе втекания. Это дает граничное условие Дирихле для скорости. По отношению к уравнению дй для потенциала скоростей, опрей деляющему течение невязкой сжимаемой жидкости, условие дф(дп = = О на поверхности тела является условием Неймана. Смешанные условия редко встречаются в гидроРис. 2.2.
Вычислительная оо- аэродинамике, однако встречаются ласть и. в теории коивективной теплопере- дачи. С вычислительной точки зрения вспомогательные условия Дирнхле могут быть поставлены точно, если только функция ( является аналитической. Однако при постановке условий Неймана или сломанных условий вносятся ошибки (см. 3 7.3). зэ э 2.!. Основные положения Вдоль характеристического направления уравнение (2.5) приводит к соотношениям 4и С ди С вЂ” — и д! А дх В' (2.7) Уравнение (2.5) является гиперболическим ДУЧП, и соотношения (2.7) могут быть проинтегрированы как обыкновенные дифференциальные уравнения вдоль линий сетки, определяемой соотношениями (2.6), если только начальные данные заданы иа линии, не являющейся характеристикой.
То же самое представление о характеристических направлениях может быть использовано и в связи с изучением ДУЧП второго порядка с двумя независимыми переменными, такого, как (2.1). Так как из условий (2.2) следует, что тип ДУЧП определяется лишь коэффициентами при высших производных, то уравнение (2.1) удобно записать в виде дви д'и дни А — +В +С вЂ” +Н=О, дхв дх ду дуя (2.8) ди Я= — „, ду ' Р= —, ди дх ' Внутри рассматриваемой области располагается кривая К, на которой Р, Я, !с, 5, Т и и удовлетворяют уравнению (2.8). По направлению касательной к К дифференциалы Р и Я удовлетво- ряют соотношениям с(Р = Р с!х + 8 ду, Й~ = Я дх + Т ду, (2.10) (2.11) а уравнение (2.8) может быть записано как АР+ ВЯ+ СТ+ Н= О. (2.12) В соотношениях (2.!0) и (2.11) величина с(у/с(х определяет угол наклона касательной к К. Используя (2.!0) и (2.11), из где Н включает в себя все члены с первыми производными и без производных из уравнения (2.1), а коэффициенты А, В и С могут быть функциями х и у.
Для каждой точки области можно построить два направления, вдоль которых интегрирование уравнения (2.8) связано только с полными дифференциалами. 'Существование этих (характеристических) направлений имеет непосредственную связь с классификацией ДУЧП. Для простоты представления введем следующие обозначения: 40 Гл. 2. Дифференциальные уравнения а частных производных уравнения (2.12) можно исключить тс и Т; тогда получим ~ (д".)'- (дх)+ 1-И (дх)+ 1Их+ "Их~= (2. 13) (2.15'р где А'=АР+ В$ $ +СИ, В' = 2%хпх + В Вхпу+ $ут!х) + 2(Лупу, С' = Л 1„-+ В~д„+ Сп„. (2. 18) Если выбрать с(утс(х таким образом, что х~Й) чих)+ (2.14? то уравнение (2.13) приводится к более простому соотношению, связывающему г1Р(г1х и т(9/с(х, а именно [л (Я+н1 — „"" +сф=О. Два решения уравнения (2.14) определяют два характеристи- ческих направления, на которых выполняется соотношение (2.15).
Если сравнить (2.14) с (2.2), то ясно, что уравнение (2.8) является 1) гиперболическим ДУЧП, если существуют две вещественные характеристики, 2) параболическим ДУЧП, если существует одна вещественная характеристика, 3) эллиптическим ДУЧП, если характеристики комплексны Таким образом, дискриминант В' — 4АС определяет не только тип ДУЧП, но и свойства характеристик. Пока что исследование тина ДУЧП проводилось с исполь- зованием декартовых координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
