Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 26
Текст из файла (страница 26)
ие ха ьа ь+ь (5.26) ае Легко заметить сходство между этими уравнениями и уравнениями (5.17) — (5.19). Здесь й, й, й появляются вместо и', в', ш* и само давление р занимает место р'. Отсюда следует, что если бы вьшод в к 5.5 был выполнен с новыми соотношениЯми длЯ скоРости и давления, содержащими й, б, Й, то результатом было бы уравнение для давления. Его можно записать в виде п,Р, = 'ьРк+ и ив + плРл+ пзРз+ атрг+ пдРв+ Ь, (5 30) где ав, ая, ак, аа, ат, ав и а„заданы согласно (5.23) и Ь опреде- лено соотношением (рл — р,) Зхдрза Ь= + [(Ри).
— (Ри).] ЛуЛг+ [(рп),— ЛГ (Рв)к[ЛаЛх+ [(Ргв)ь — (Ргв)г[ ЛхЛУ. (5.3!) Следует заметить, что выражение для Ь является только разД~ййамежду уравнением для давления (5.30) и уравнением для поправки давления (5.22). Выражение (5.31) для Ь использует псевдоскорости й, д, й, хотя Ь в уравнении для р' рассчитывалось через значение скоростей со звездочкой.
Несмотря на то что уравнение для описания давления и уравнение для поправки давления почти идентичны, имеется одно важное отличие: при выводе уравнения для давления не вводились допущения. Таким образом, если корректное поле скорости использовалось для расчета пссвдоскоростей, уравнение для давления сразу будет давать корректное значение давления. Алгоритм $1МР(.ЕК. Модифицированный алгоритм вклю .ает решение уравнения для давления с целью получения поля дзвленйя и решение уравнения для поправленного давления только с целью корректировки скоростей. Можно установить следующук последовательность действий.
1. Ввести предположение о поле скорости. 2. Рассчитать коэффициенты уравнения количества движения и затем рассчитать й, б, й из уравнений, таких же, как (5.26), подставив значения скорости ипь в соседних близлежащих точках. 3. Рассчитать коэффициеюы уравнения для давления (5.30) и решить его с целью получения поля давлепюь 4. Обработзть это поле давления в качестве Р"', решить уравнение количества движения для получс1шя и", о", ш'. 5, Рассчитать массовый источник [уравнение (5.23)! н затем решить уравнения поля Р'. 6. Скоррсктировать поле скорости (по пе поля лавлсппя) с помощью уравнений (5.17) (5.19).
7. Решить, сслп это необходимо, дискретные аналоги для д1)угих гй. 8, Вернуться и пункту 2 и повторять расчесы до тех пор, пока не будет достигнута сходимогть Обсуждение. 1. Легко видеть, что для одномерной задачи, 111 обсуждаемой выше, алгоритм ЯМ!зЕЕР сразу дает сходящееся решение. Вообще, поскольку уравнение для коррекции давления позволяет получить разумные поля скорости и уравнение для давления дает прямой результат (без допущений) на основе заданного поля скорости, то сходнмость к решению будет более быстрой.
2. В алгоритме ЯМРЕЕ предполагаемое поле давления играет важную роль. Кроме того, ЫМРЕЕ!! не использует предполагаемые давления, а строит поле давления по заданному полю скорости. 3. Если заданное поле скорости окажется точным, то в алгоритме 51МР1,ЕР уравнение для давления дает точное поле давления и нет необходимости в каких-лнбо последующих итерациях. Однако поскольку точное поле скорости и предполагаемое поле давления используются для начала процедуры 5!МРЕЕ, то обычно ситуация вначале ухудшается. Использование предполагаемого давления приводит к значениям скорости со звездочкой, которые отличаются от заданных точных значений.
В таком случае предполоонения, заложенные в уравнение для р', дают неточные поля скорости и давления в конце первой итерации. Сходимость требует большого числа итераций, несмотря на то что вначале имелось точное поле скорости. 4. Вследствие близкого сходства между уравнениями для давления и для поправки давления рассмотренные в э 5.7 граничные условия уравнения для р' также относятся к уравнению для давления. 5. Несмотря на то что алгоритм ЫМР1.ЕК создан для того, чтобы давать более быструю сходимость, чем 5!МР1 Е, следует признать, что одна итерация В!МРЕЕТ требует больше расчетных усилий.
Во-первых, уравнение для описания поведения давления долзкпо бьыь решено в дополнение ко всем уравнениям, решаемым в ЯМРЕЕ, во-вторых, расчет й, б, й представляет некоторую трудность, которой нет в 51МР1.Е. Однако поскольку 51МР1.ЕР требует меньшего числа итераций для достижения сходнмости, то дополнительное усилие на итерацию более чем компенсируется экономией усилий в целом. З.в. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Мы завершили построение численного метода. Однако большое количество разнообразных и важных вопросов по-прежнему осталось не рассмотренным. Эти вопросы лучше проанализировать на данном этапе, когда читатель имеет общее представление о процедуре решения.
Следующая глава посвящена этим вопросам. ЗАДАЧИ ЗЛ. двукьзерное течение с постоянной плотностью и вязкостью подчиняется следующим урвввениям: 112 ди ди ди / д-"~г дги Д др р +р зс!го р~ г + д( дх ду ~ дх' ду' ) дх до до дп / дго дго ~ др р — + ри — +ро — = р ( —. д( дх ду (т дхг ' ду' ) ду ди до — + — =о. дх ' ду Исключите р из первых двух ураннений, дифференцируя первое по у, а второе по х и вычитая одно из другого. Выразите результирующее уравнение через оз как зависимую переменную, где ю — завнхреппость, причем ы=ди)ду — до/дх. Покажите, что результатом является дг дг, т р — +ри — +ро — = !г~ —,+ — „).
д! дх ду ~ дх' дуг ) 5,2. Определите функцию тока как дф/дх = — о и дф(ду =. и. Покажите, что ф тождественно удовлетворяет уравнению неразрывности нз задачи 5.1. Далее, используя определение ю в задаче 5.1, покажите, что д'ф)дхг+ д'ф)дуг = ы 5.3. В стациояарном одномерном случае с постоянной плотностью, показанном на рнс. 5.!1, скорость и рассчитывается для точек Л, В и С, хотя давление Рис. 511.
Расположение точек, в которых опрслшшготся решения для задач 5.3 и 5.4. 1 В 2 П В рассчитывается для точек 1, 2 и 3 Формула для поправки скорости и = и* + (р! — рг4,) д, х,— х,=к,— х,=2; сВ=О 25; сС=О 2' АВ=51 Ли=4! рг='200! рг — — 33. Начальным приближением считайте из=ис=-15 и р,=-120. 5.5. Одномерное течение в сопле (рис. бг12) можно следующих > равнений: д — (риА) =О; йх описать с помощью г(р — (риА) и = — А— с!х дх 113 где ! и !+ 1 расположены с обеих сторон от точки определения и. Значение г( всюду равно 2. Граничные условия: пз = 10 и р',=О. Пусть на данной стадии в итерационном процессе уравнспияколнчсства движения дают и'з †-8 и и*с =-11.
Рассчитайте значения р', и р'а Объясните, как вы получилн значения р', и р'г, если условие на правой границе было задаяо в виде ггс'= !О вместо р',=О. 5.4. Одномерное течение через пористый материал описывается уравнением с!и)и+г(р(ггх=О, где с — постоянная. Уравнение неразрывности представляется и виде д(иЛ)/г(х=О, где А — зффективяая площадь потока.
Используя процедуру 5!МР1.Е для сетки, показанной на рис. 5.11 (точку А можно опустить), рассчитайте р, из и ис на основании данных где А — площадь поперечного сечения. Пусть заданы следующие условия: р = 1 везде; Ад = 3; р, = 23; р, = О. Предположите, что жидкость вверх по потоку в точне ! имеет пренебрежимо малый импульс. Запишите дискретные аналоги для и и р' н получите значения ил, из н р, (используйте начальяые приближения рцА=5 так, чтобы из =5!3 и из=5, а рэ=-25; примените, если это необходимо, соответствующую ниткнюю релаксацию). 5.6. Рассмотрите стационарное одномерное сжимаемое течение, для которого уравнение неразрывности имеет вид Ф(рфй(х=О, Ссылаясь па рис, 5.1, запишите Рис.
5.13. Система водоснабжения, рассматрниаемая в задаче о.7 Рис. 5. 12, Расположение точек, в которых опрсделяются реше. ния для задачи 5.5. дискретный аналог этого уравнения через р„р, и, и и . Далее, используйте следующую зависимость для коррекции плотности: р=р'+нр'! зту зависимость можно получить из соответствующего уравнения состояния. Предполагая кусочно-линейный профиль р', получите дискретный аналог для коррекции дазления, Используйте аппроксимацию ри = (р*+ р') (и*+ и') раич+ р'из+ рчи'.
Заметим, что рсзультирующие коэффициенты имеют конзективные и диффузнонг ные части и возможны отрицательные значения коэффициентов, когда числа Маха являются болыпнмп. Мол<но ли предложить схему, подобную схеме с разностяыи против потока, чтобы избежать отрицательных значений коэффициентовр 5.7.
с!асть системы водоснабжения показана на рис. 5.13. Скорость потока в трубе задана соотношен ием Я=СЛр, где Лр — перепад давления по длине трубы, С вЂ” гидравлическая проводимость, Имеем следующие данные: р, = 275; р, = 270; рз = 0; рз = 40; !7д = 0; Сл = 0,4; Сп= Ср — — Ся= 0,2; Найдите рз, рь с7л, Яв, 1)с, Яа и с)н согласяо следующей процедуре: введите предполагаемые значения рз и ра, получите значения Ю', основанные иа предполагаемых значениях давления. Постройте уразиення для поправки давления и решите их для р'з и р'з. Скорректируйте предполагаемые значения давления и !3*, Необходима ли итерационная процедура? Почему? 114 Глава б ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ЕЛ. ИТЕРАЦИОННЫЙ ХАРАИТЕР МЕТОДИКИ РАСЧЕТА Описанная в этой книге методика расчета предназначена для решения системы нелинейпглх уравнеш'и с помощью итерационной процедуры. Рассмотрим общие свойстга этой процедуры, 1.
Итерацив играют двош1ую роль. а) В общем случае ряссматривае; ые уравнения пелинсйпы и взаимосвязаны. Мы записываем пх в линейном виде и рассчитываем коэффициенты по известным из предыдущей итерации значениям геременных. б) Система линейных алгебраических уравнений для одной зависимой переменной решается быстрее игерационным методом, чем прямым. 2. Так как на каждом промежуточном шаге коэффицненты линейных уравнений известны только приближенно, итерационное ревпенис системы алгебраи 1егких уравнений можно не доводить до полной сходимости.
После итернровання системы уравнений до некоторой сходимости необходимо повторно рассчитать коэффициенты. Здесь уместно проявьмгп чувство соразмерности. Затратив определенные усилия на расчет коэффициентов, мы должны получить достаточно хорошее реп1ение системы алгебраических уравнений, воздерживаясь при этом от чрезмерной работы по расчету значений коэффициентов, которые, как ням хорошо известно, являются только приближенными. Использование метода прямого регнения для многомерных задач обычно приводит к очень большой затрате времени на решение уравнении.
3. Лналогичные рассуждения были использованы в гл. 5, когда преимущество было отдано последовательной методике решения уравнений гидродипамики, а не одновременной. Уравнения количества движения н уравнение для поправки давления рсша1отся последовательно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
