Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Использование меньшей величины ~5р~ приводит к неадекватному описанию уменьшения 5 при увеличении Ф, Использование большей величины чая, когда нсточннковый ~5, ~ означает слишком большую пред- чдсн намного больше всех осторожность (в некоторых случаях это других членов дискосггюго может дать благоприятный эффект) и анааога по-видимому, замедлит сходимость.
3. Так как источниковые члены часто бывают очень велики, всегда полезно рассмотреть предельный случай. когда этот член намного больше всех други.: членов дискретного аналога. В этом случае дискретный аналог можно приближенно представить в виде 5с+ 5'Фр (6.8) с решением (6.9) Фр = — 5сг'5, . ,,- Здесь Фр обозначает пРедельное зпачсннс Фр длЯ РассматРиваемого случая. На рнс. 6.! дапа графическая иллюстрация этого "Риближения. Если значение 5ч соответствует текущему значению Фр*, решение дискретного аналога равно Ф, соответствую- щему точке пересечения прямой 5=5с+5РФР с осью абсцисс.
Если величина (5Р( больпге тангенса угла наклона касательной, Ч), окажется ближе к ФР'. Использование малой величины (5Р( означает большее изменение ФР от ФР* до ФР. Таким образом, аналогичное нижней релаксации влияние величины 5Р становится очевидным. 4. Иногда анализ предельного случая больших значений источникового члена можно использовать для получения такой линеаризации, при которой ФР изменяется в некоторых разумных пределах. Предположим, что при текущем значении ФР' мы хотим получить на следующей итерации значение Ф,, близкое к заданной величине ФР. Этого можно достичь с помощью следующей линеаризации: 5с = 5 Ф~4Ф вЂ” Ф'); 5Р = — 5е/(ФР— ФР).
(6.10) 5с -(- 5РФР 0' (6. 12) (6ЛЗ) ьс ФР = = ФР, заданное. 5р 120 Величину ФР следует определять из физических соображений. Например, пусть Ф обозначает массовую концентрацию гп, химической компоненты. По определению т, заключена между 0 и 1. Пусть текущее значение концентрации равно гп,*. Если 5а положительна, то пг~ будет возрастать н можно положить йп=1. При отрицательном 5* можно считать йп=О. Можно потребовать также, чтобы за одну итерацию т, не изменялась больше чем па половину разницы между текущим и физически предельным значениями, т. е.
при положительном 5а надо взять т~= (пьа+1)/2, а при отрицательном т~=т~е/2. Так как этот анализ основан на рассмотрении предельного случая большого значения источникового члена, то значение ФР на следующей итерации, на которое таклге влияют остальные члены уравнения, не будет в точности равно ФР. Организация итераций подобным образом не оказывает влияния на конечное значение ФР, а лишь управляет изменением ФР в течение итераций. Ее цель заключается в стремлении избежать быстрых изменений решения и появления физически неправдоподобных значений в процессе итераций. б. Вообще говоря, величине Ф можно приписывать известное значение только в точках на границе расчетной области. Во внутренней узловой точке заданное значение можно получить как решение задачи, если положить в этой точке (6.11) 10зо где 10не обозначает достаточно большое число, такое, что все члены дискретного аналога пренебрежимо малы по сравнению с источниковым, тогда 5=5,— 5,; 54>0; 5з>0, 16.14) где 5, — положительная часть источникового члена, а 5, — отрицательная.
Так как (6.15) то будем считать Яз 2 5с = 5,; (6.16) где Фьн — текУщее значение Фи. ° Л. ОЕЛАСТИ С ИЕПРАВИПЬИОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ При построении численного метода до сих пор использовалась сетка в декартовой системе координат. Так как в практнчеу * «р уюбП, 4 ' Может оказаться, что для многих читателей этот с первого взгляда вто- Р пенный параграф содерясит наиболее денную информацию из всего содерРостепе йсанвя аультаты, я книги.
В практике счета весьма часто возникают такве ошибочные ре- аУ аты, как отрипательные массовые коннентранни или кинетическая энергия турбулеит ТУР улеитности. Это оказывает настолько отринательиое влияние на остальной на сходнмость итераций, что появления таких значений надо избегать что б бы то ни стало. Этого легко можно достигнуть. !й, Зак.
946 !2! е!Ту процедуру можно использовать для описания внутренних препятствий («островов») в расчетной области посредством наложения внутренних граничных условийз. Линеаризация источника для случая всегда положительных переменных !, Из физического смысла некоторых зависимых переменных следует, что их значения всегда остаются положительными.
Примерами таких переменных являются массовые концентрации химических компонент, кинетическая энергия турбулентности, масштаб турбулентности и радиационные потоки в потоковой модели переноса излучения. Так как обычно в уравнение переноса таких величин входят как положительные, так и отрицательные источниковые члены (т. с.
порождение и уничтожение), суммар-- ный источниковый член зачастуго может стать отрицательным. Если это обстоятельство учтено неверно, то номинально положительная переменная может принять ошибочное отрицательное значение. Основой для получения физически реалистических результатов является выполнение правила 3. Для данного случая дополнительНо потРебУем, чтобы 5с всегда был положительным (44, конечно, 5„ — всегда отрицательным).
Строгое соблюдение этого требования гарантирует от появления отрицательных значений Ф. Имеется много способов обеспечения положительности 5с. Простой метод заключается в следующем. Предположим, что рассмотреть применение метода к случаю областей нерегулярной формы. Ортогональные криволинейные координаты. Использование в данной книге декартовых координат обусловлено, главным образом, соображениями удобства и простоты изложения, Однако разработка подобного численного метода в цилиндрических или сферических коордннатах или да1ке в произвольных ортогональных криволинейных координатах не вызовет значительных дополнительных трудностей.
Это утверждение кратко проиллюстриро- 2 2 Рис. 6.2. Контрольныи объен н ортогональной крииолинейной сетке Рис. 6.3. Заблокиронаннме области регулярной сетки: ! — нстнннаа граница: ив фнктнанан граница 122 вано в ~ 3.6. для случая полярных координат. В более общем случае можно использовать ортогональную криволинейную сетку,. подобную показанной на рнс.
б.2. Для такой сетки расчет различных длин, площадей и объемов не настолько прост, как для декартовой сетки, но в остальном все подходы, разработанные при использовании декартовой сетки, непосредственно применимы и в этом случае. Для использования метода существеш1о, однако, свойство ортогональности сетки. Так как диффузионный поток через границу контрольного объема рассчитывается по значениям Ф в двух узловых точках, решающее значение имеет перпендикулярность в точке пересечения касательных к границе и к координатной линии,. соединяющей эти узловые точки. Построение ортогональной криволинейной системы координат для области произвольной формы само по себе представляет значительную трудность.
В настоящее время имеются некоторые методы решения этой задачи (см., например, (Г>3~). Если конструирование подходящей сетки экономически оправдано, то использование ортогональных криволинейных координат является полезным методом учета нерегулярности геометрии расчетной области. Регулярная сетка с заблокированными областями. В некоторых случаях программу для ЭВМ, написанную для регулярной сетки (например, декартовой), можно применить для решения задачи в расчетной области, имеющей нерегулярную геометрию.
Это делается путем выключения или блокировки некоторых контрольных объемов регулярной сетки таким образом, чтобы оставшиеся действующие контрольные объемы составляли рассматриваемую нерегулярную область. Некоторыс примеры такого подхода приведены на рис. 6.3, где заштрихованы выключенные контрольные объемы. Очевидно, что нерегулярную гранину следует аппроксимировать с помощью набора прямоугольных ступенек, причем часто очень хороших результатов можно достигнуть при довольно грубом приближении границы. Операция блокировки состоит из установления известных значений соответствующей величины Ф в выключенных контрольных объемах. Если выключенная область обусловлена стационарной твердой границей, то в этой области необходимо положить равными нулю составляющие скорости.
Если такая область соответствует изотермической границе, выключенным контрольным объемам следует приписать известную температуру этой границы. Имеется два способа получения требуемых значений зависимых переменных в выключенных контрольных объемах. Один из них заключается в использовании больших значений источникового члена (см. ~ 6.2). В осноВе второго метода лежит использование рассмотренного в 5 3.2 среднего гармонического коэффициента Г на границах контрольных объемов [42]. Так как при этом правильно учитывается скачок Г на границе контрольного объема, в выключенной зонс можно взять Г равным очень большой величине. Это приведет к тому, что заданное на (фиктивной) границе зоны значение зависимой переменной распространится на всю выключенную область, при этом принятые большие значения Г не повлияют на решение в интересующей области.
Например, можно сделать равными нулю скорости в выключенной зоне, используя очень большие значения коэффициента вязкости в этой зоне и задавая нулевое значение скорости на фиктивной границе. Следует заметить, что подобным образом можно учесть только довольно простые граничные условия на нерегулярной границе. При более сложных граничных условиях потребуется модификация нсточниковых членов в примыкающих к истинной границе контрольных объемах интересующей области. Следует также отметить, что метод блокировки до некоторой степени цеэкономичен, так как приходится затрачивать время и память ЭВМ на тривиальные расчеты значений в выключенной области и их хранение.
Несмотря на это, удобство применения программы расчета, разработанной для регулярной сетки, к решению задач с произвольной геометрией расчетной области имеет значительные преимущества. Еще одно применение метод гармонического среднего коэффициента Г на границе находит при решении задач сопряженного теплообмепа. 6~ 123 Сопряженный теплообмен. Рассмотрим ситуацию, показанную на рис. 6.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
