Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

7гЕ ДВУХМЕРНОЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ Если и стационарном двухмерном течении имеется одна односторонняя пространственная коордш~ата, опо называется двухмерным параболическим течением. В таком тсчеппп есть преобладающая составляющая скорости вдоль адносгоропиеи координаты, и поэтому конвективный перенос всегда превышае~ диффузию в направлении вдоль этой координаты Именно эта особенность придает односторонний характер координате вдоль направления течения. Очевидно, что при этом нс может быть обратного течения.

В $5.7 указывалось, что об шно давление оказывает двухстороннее (или эллиптическое) воздействие. В случае когда координату вдоль направления течения можно рассматривать как одностороншою, изменение давления в направлении поперек течения должно быть пренебрежимо эшлип. Примерами двухмерных параболических течений являются плоские и осеснмметричные по~раничпыс слои на стенках, течения в каналах, струях, следах и слоях смешения.

Решение таких задач находится по известному распределению переменной Ф в некотором сечении вверх по потоку от расчетной области путем последовательного расчета вдаль направления течения. При этом на каждом продольном шаге рассчитывается распределение Ф вдоль поперечной координаты при данном значении продольной координаты. Таким образом, с вычислительной точки зрения необходимо решать только одномерную задачу, решение дискретных уравнений можно получить с помощью алгоритма решения системы линейных уравнений с трехдиагопальной матрицей (ТОМА). Решение уравнений количества движения и неразрывности не встречает особых трудностей.

Градиент данления вдоль направления течения предполагается известным. В этом случае решение уравнения количества двизгения вдоль направления течения дает продольную скорость. Затем из уравнения неразрывности находят поперечную скорость. Во внешних задачах градиент давления берется согласно волю давления во внешнем безвихревом течении вне пограничного слоя. Во внутренних задачах продольный градиент давления находят из уел ~ния сохранения полного расхода через поперечное сечение канала.

При двухмерных параболических течениях не требуются никакие специальные алгоритмы расчета давления, такие, как 5)МРЕЕ и 51МР1.ЕЕ. Полное описание и программы расчета двухмерных параболических задач даны в [54, 76). В описанном в этих работах методе расчета в качестве поперечной координаты используется безразмерная функция тока, позволяющая расширять н сокращать ширину расчетной области в соответствии с изменением то.тшнвы пограничного слоя. 7.2. ТРЕХМЕРНОЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ Если в стационарном трехмерноы влечении имеется одна односторонняя координата, то зто течение люжно характеризовать как трехмерное параболическое.

Как и раньше, условиями односторонности пространственной координаты являются существование преобладающей составляющей скорости вдоль .этой координаты (направление которой не меняется) и, следовательно, пренебрежимо малая диффузия вдоль этого направления и отсутствие возвратных течений, а также пренебрежимо малое изменение давления в плоскости поперечного сечения. Примеры трехмерных параболических течений аналоги шы соответствую~пни 125 примерам для двухмерного ел!чая.

Это, например, пограничный слой на наклонной поверхности крыла, течение в канале прямо)гольда~о поперечного сечения, струя, вытекающая из некруглого отверстия. Хотя видимое отлично двух- и трехмерных параболических течений незначительно, методика решения трехмерных параболических задач намного сложнее методики для двухмерных параболических течений 1пропедура 51МР1.В вначале была разработана в связи с исслсдонанисм трехмерных параболических течений в 155)). Причина дополнптельных сложностей расчета трехмерных течений заключается в там, что после расчета продольной составляющей скорости по уравнению количества двнження в соотвстствуюгпем направлении нельзя получить две поперечные саставляюгпие только нз уравнения неразрывности. Для определения характера течения в поперечной плоскости необходимо решить оба уравнения количества движения в поперечных направлениях.

в то время как в постановку задачи двухмерного параболического течения не входит уравнение количества движения в направлении поперек течения. Вследствие этого предположение о характере зависимости давления, которое не вызывало каких-либо вопросов в методике решения задач двухмерного параболического течения, в случае трехмерного параболического течения выдвигается на первый план. Предполагается, что на продольную скоросгь оказывает влияние среднее по поперечному сечению давление р, в то время как составляющие скорости в поперечном направлении обусловлены изменением давления р н поперечном сечении.

Эта пропедура расщепления существенна при использовании параболической пронсдуры решения задачи '. Для внешних течений изменение р в направлении течения находится из решения задачи для окружающего безвихревого течения. В случае внутренних течений изменение р находится нз условии сохранения полного расхода массы через поперечное сечение канала. Г!ри данном шаге по продольной координате,, если получена продольная составляющая скорости при пехотором подходящем значении градиента давления р, задача расчета остальных двух составляющих скорости и распределения давления в поперечном сечении почти аналогична решению двухмерной эллиптической задачи, которую можно решить с помощью процедур 51МРВВ и 5!МРЬВР.

Подробное~и можно найти в [55] 7.3. ЧАСТИЧНО ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ В некоторых практических ситуациях существует направление, вдоль которого составляющая скорости течения преобладает иад остальными двумя, но изменение давления в поперечном направлении все-таки яе пренебрежимо мало. Следовательно, использованвое в методиках решения параболических задач расщепление давления для данных случаев неудовлетворительно. Во всех остальных отношениях решение можно получить последовательным расчетом вниз по течению от одной границы области до друтой, но влияние усланий в области ниже по течению передается вверх по течению через давление. Такнс ' Поперечное давление р можно рассматривать как возмущение среднего давления р. Для того чтобы течение можно было считать параболическим, возмущение давления в поперечном сечении должно быть настолько мало, чтобы погрешность в решении уравнения количества движения в продольном направлпнн, вызванная вспользованием среднего давленая р вместо локальных значений, была незначительной, 129 ситуации называются частично параболическими.

Примерами таких ситуаций являются течения в сильно искривленных каналах, струя в попсрчном потоке, каналы с быстрым изменением поперечного сечения и вращающиеся каналы. Основные концепции для этого класса тсченвй были высказаны в 165, 66~ и применялись для решения задач пленочного охлаждения в 17, 8~. При расчете частично параболических задач запоминается поле давления но всей расчетной области, в то время как все остальные величин ~ запоминаются в одном или двух последовательных сечениях. При данном поле давления, гочно так же как и для полностью параболвчсских задач, применяется процедура последовательного решения вдоль направления течения, а новое подправленное поле давления находится нз уравнення для поправки давления илн уравнения для давления.

Лля достижения сходимости решения необходилго провести много повторений процедуры последовательного просчета области. По сравнению с процедурой решения полностью эллиптической задачи ре. шение полностью параболической задачи требует значительно меньше времени счета и памяти ЭВМ. Прн решении частично параболической задачи требуется меньшая память, но экономия времени ЗВМ может оказаться незначительной.

УА. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Предварительное обсуждение. Рассмотренный в этой книге ыетод дискретизации вследствие использования регулярных сеток имеет впд конечно-разностного ыетода. При исследовании напряжений чаще вспользуется метод конечных элементов; в последнее десятилетие этот метод начали использовать и при исследонаниях теплообмена и течения жидкости. В методе конечных элементов расчетная область разбивается на элементы, такие, как треугольные элементы на рис.

7.1. Обычно дискретные аналоги получаются с помощью вариационного принципа, если он существует, нли с помощью метода Галеркина, янляющегося частным случаем метода взвешенных невязок. Для описания взмененвя зависимой переменной Ф на элементе используются предположения о характере функции формы или профиля. В $2.2 показано, что формулиронка для контрольного объема является частным случаем метода взвешенных невязок. Мы также использовали функции формы для описания изменения Ф между двумя узловыми точками. В нашем методе эти функции оказались локально-одномерными; возможность исполь- зования таких простых функции связана с требованием ортогональности сетки, образованяой линиями, проходящими через узловые точки.

С этой точка зрения метод конечных элементов не следует рассматривать как отличающийся в принципе от конечно-разностного метода. Его дополнительные возможности обусловлены только тем, что прв этом методе можно использовать нерегулярную сетку. Хотя в Е 6.3 и обсуждались некоторые способы применения метода дискретизации к случаю нерегулярной геометрии, нет никакого сомнения в том, что показанная на рис. 7.1 треугольная сетка более удобна для аппроксимации нерегулярных областей и получения локального сгущения узловых точек. По- Рис.

7.1. Примеры дискретизации области треугольиымп элементами 130 видимому, создание удовлетворительного конечно-элементного метода расчета задач теплообмена н гидродинамики очень желательно. Трудности применения. Хотя уже давно стали понятны потенциальные возможности метода конечных элементов, до недавнего времени его развитию мешали определенные трудности. 1.

Характеристики

Список файлов книги