Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Альтсргитнвный подход, обычно используемый в болшпинстве конечно-элементных методов расчета течений, заключается в одновременном рсшенин линезризованных уравнений неразрывности и всех уравнений количества движения. Такое одновременное решение, проводимое прямым методом, требует больших затрат времени счета н памяти ЭВМ. Ввиду нелинейности уравнении количества явил,ения эти затраты долзкны иметь место иа каждой итерации. При этом процесс может описываться не только уравнениями неразрывности и количества движения.
Часто эти уравнения связаны с уравнением энергии (через свойства жидкости и подъемную силу), с уравнениями для параметров турбулентности (через коэффипиеат турбулентной вязкости), с уравнениями для концентраций химических компонент и т. д, Очевидно, что нецелесообразно пытаться решать о 1новременно все эти уравнения; обычно дополнительные уравнения решаются последовательно.
В этих условиях затрата больших усилий на чис- 115 ленный расчет одновременно уравнений неразрывности н количества движения кажется непропорциональной. 4. Для приведенного в данной книге метода нет никакой существенной разницы между решением стационарной задачи и выполнением одного шага по времени при решении нестационарной задачи. В случае стационарной задачи задаются некоторым образом угаданные значения переменнгях Ф и проводится решение до получения установившихся значений. Для пестационарного случая задача ставится следующим образом: при заданных значениях Ф в момент времени 1 и угаданных значениях й> в момент 1+А1 найти значения Ф в момент 1+И. Так же как и в случае стационарной задачи, в нестационарной задаче на каждом шаге по времени надо провести некоторое количество итераций, при этом, чтобы охватить необходимый промегкуток времени, требуется последовательно сделать большое количество шагов.
5. Таким образом, может сложиться впечатление, что решение нестационарной задачи требует усилий, эквивалентных расчету последовательности стационарных задач. Это частично верно, но следует учитывать одно обстоятельство. При разумных Л1 в качестве угаданных значений Ф в момент времени 1+Л1 можно использовать известные значения Ф в момент 1, Так как эта экстраполяция сравнительно хороша (по сравнению с довольно произвольным выбором при решении стационарной задачи), обычно для получения сходимости решения на одном шаге по времени требуется лишь несколько итераций. Иногда их число может доходить до единицы. Таким образом, когда утверждается, что метод решения нелинейной нестационарной задачи является безытерационным, это фактически означает, что при данном шаге по времени для получения решения оказывается достаточно одной итерации.
В таких методах должны употребляться сравнительно малые шаги по времени, в то время как при использовании многократных итераций на одном шаге по времени можно было бы употреблять большие значения Л1. 6. Такой одноитерационный на одном шаге по времени метод иногда используется для получения стационарного решения после большого количества шагов по времени. В действительности, эти шаги эквивалентны итерациям, и нестационарный член в уравнениях обеспечивает некоторого рода нижнюю релаксацию. 7. В программе для ЭВМ, включающей итерации на шаге по времени, должна быть предусмотрена машинная память для значений Ф в моменты времени 1 и 1+И. Кроме того, в программе решения стационарной задачи должна быть отведена память только для одного наоора значений Ф, в которую последовательно заносятся новые значения переменной до достижения сходимостн.
8. Использование итераций во многом упрощает построение численного метода. С их помощью можно, по крайней мере в принципе, справиться с любой нелинейностью и взаимозависимостью. Конечно, имеет смысл лишь такой итерационный метод, с помощью 116 которого можно достигнуть сходимости. На этом этапе полезно исследовать перспективы получения сходяшегося решения. а) Четыре основных правила (см. ч 2.4) позволили получать дискретный аналог, для которого гарантирована прн фиксированных значениях коэффициентов сходимость методов поточечного решения или переменных направлений.
б) Если коэффициенты не постоянны, но изменяются сравнительно медленно, мы получим, по-видимому, сходящееся решение. Соответствующая лннеаризация источникового члена и подходяшая нижняя релаксация зависимых переменных должны, вообще говоря, замедлить изменения переменных и, следовательно, коэффициентов.
в) Дополнительно к зависимым переменным можно с успехом применять нижнюю релаксацию и к другим величинам. Например, уравнения движения связаны с уравнениями для температуры концентрации в основном через плотность р. Применение нижней релаксации к р с помошью соотношения р = арно +(1 — а)р„ где р„„-- новое значение о; р„„д — значение р на предыдушеи итерации, приведет к сравнительно малому влиянию изменений температуры и концентрации на поле скорости. Для ослабления влияния параметров турбулентности на поле скорости можно применить нижнюю релаксацию к коэффициенту диффузии Г. Тогда текущее значение Г рассчитывается по соотношению Г = аГ„„+ (1 — а) Г„д, (6.2) Здесь, так же как и в (6.1), а обозначает коэффициент релаксации. При нижней релаксации 1)а)0.
Часто зависимость от других переменных проявляется через источниковый член (например, подъемная сила в уравнении количества движения зависит от температуры). Нижнюю релаксацию источникового члена можно получить, используя соотношение 8с = а ес.нов + (1 а) 8с. пред.
(6.3) Нижнюю релаксацию можно применять даже к граничным условиям. Например, необязательно считать, что температура горячей стенки или скорость вращения врашающегося диска принимают свои значения прямо с первой итерации; можно в течение итераций медленно подправлять граничное условие так, чтобы в конце концов получить требуемое значение, т. е. использовать соотношение Фв = аФв, денное + (1 — «) Ф,з, пред. (6,4) Конечно, значения а в (6.1)-- (6.4) необязательно должны быть одинаковыми, так же как и для каждой узловой точки. г) Следует помнить, что в общем случае произвольных нелинейностей и взаимозависимостей мы не гарантированы от расходимости решения.
Обнаружено, что для многих случаев полезно 1!7 применение (!асса!Отрав!ного выше ыстодя нижней ()ела! сапки, однако в каждом конкретном случае может потребоваться свой способ применения этого метода. Несмотря на отсутствие общей гарантви, тем не менее обнадеживающим является тот факт, что были получены сходящиеся решения для большого числа довольно сложных задач.
В гл, 8 приведены примеры таких решении; кроме них также были получены и опубликованы результаты решения множества других задач. 9. Как уже отмечалось, итерационный процесс считается оконченным, когда дальнейшие итерации не приводят к изменению зависимых переменных. На практике процесс итераций заканчивают тогда, когда удовлетворяется некоторый произвольный критерий сходимости. Выбор этого критерия зависит от характера задачи и целей расчета. Обычно рассматриваются наиболее существенные величины, получаемые в расчете (такие, как максимальная скорость, полная сила трения, некоторый перепад давления или суммарный тепловой поток), и ставится условие окончания итераций при достижении в двух последовательных итерациях значения относительного изменения этих величин, не превышающего заданного малого числа.
Часто формулировка критерия сходимости связывается с относительным изменением значений всех зависимых переменных в узловых точках. В некоторых случаях критерий такого типа может вводить в заблуждение. При использовании сильной нижней релаксации изменение зависимых переменных в итерациях намеренно замедляется, это может вызвать иллюзию сходимости, даже если рассчитанное решение еще далеко от истинного.
Более разумный способ проверки сходимости заключается в рассмотрении степени удовлетворения дискретного аналога при подстановке текущих значений зависимой переменной. Для каждои узловой точки можно рассчитать невязку: Я = Ъ' а„,Ф„ь+ Ь вЂ” !х Ф . (6.5) Очевидно, что если дискретный аналог удовлетворяется точно, то и'=О. Удовлетворительным критерием сходимости является следующее условие: максимальное значение ~Р~ должно быть меньше некоторого малого числа. В частности, как упоминалось в $ 5.7, в качестве одного из показателей сходнмости итерационного процесса можно использовать значение Ь в уравнении (5.22), которое является невязкой для дискретного аналога уравнения неразрывности. 6.2.
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ИСТОЧНИКОВОГО ЧЛЕНА В Ч 3.2 дано общее представление о линеаризации источникового члена. Согласно одному из основных правил (правилу 3) при линеаризации источникового члена в виде ~ =~с+5РФ (6.6) величина 5р нс должна быть положительной, Рассмотрим линеаризацию источникового члена, чтобы подчеркнуть„что часто именно этот член является причиной расходимости итераций и во многих случаях сходимости решения можно добиться путем подходящей линеаризации источникового члена. Обсуждение.
Е Важно следить за непреднамеренным несоблюдением требования отрицательности 5,. Например, в системе координат», О, г уравнение количества движения для 'кв содержит источниковый член — р'г»,'к"в/». Кажется удобным взять 5с — — 0 и 5р= — р'г'„!». Однако если к', станет отрицательным, такое представление приведет к положительности 5р. Правильным будет следующее представление; (6,7) где Ц ~1 обозначает наибольшую из указанных величин. 2. Всегда можно сделать 5р=0, а 5с считать равным 5 Однако в некоторых случаях такая форма нежелательна. Воздействие большого отрицательного коэффициента 5р во многом подобно нижней а а=да дргйр релаксации и способствует сходимости. Как показано в 5 3.2, по-видимому, наилучшей является линеаричация, при которой прямая 5=5с+5рФр является касательной к истинной кривой зависимости 5 от Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
