Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Вместе с введением функции тока для стационарных двухмерных течений этот метод является основой широко известного метода решения в переменных функции тока — вихрь, описанного, например, в 16, 18, 22, 62, 73), а также в 125~. ' В некоторых методах, в особенности разработанных для течений сжимаемых сред, платность р рассматривается как зависимая переменная уравнения неразрывности, з даиленне определяется с помощью уравнения состояния. Одпаио )тот метод нельзя применить лля ре)пения залач о течениях жидкости с постоянной влотностью. В зтвх случаях ва)кно влияние давления па скорость, а не па плотность.
Рассматриваемый метод имеет несколько особенностей. Давление нс входит в число зависимых переменных, и вместо того чтобы иметь дело с двумя уравнениями количества движения и уравнением неразрывности, необходимо решизь только два уравнения для нахождения функции тока--вихря. Некоторые из граничных условий записываются достаточно просто: если к расчетной области примыкает внешнее безвихревое течение, вихрь на границе удобно положить равным нулю. Однако метод решения в переменных функция тока — вихрь имеет серьезные недостатки.
Условие для вихря на стенке задать трудно, и это часто ослон<изет получение сходящегося решения. Давление, которое было так успешно исключено из формулировки задачи, часто оказывается искомым конечным результатом решения или промежуточным результатом, необходимым для расчета плотности и других свойств жидкости.
В этих случаях трудности, возникающие при определении давления по полю вихря, компенсируют преимущества использования переменных функция тока — вихрь. Кроме того, основным недостатком метода является невозможность использовать его в случае трехмерных задач, для которых не существует функции тока. Но большинство практических задач трехмерны, поэтому метод, ограниченный двумя измерениями, сильно проигрывает от этого существенного ограничения. В трехмерном случае при введении вихря в качестве независимой переменной формулировка гидродинамической части задачи будет включать шесть независимых переменных, а именно три составляющие вихря и три составлякицие вектора потенциала скорости (см., например, [3]). Таким образом, задача оказывастся сложнее, чем при использовании непосредственно трех составляющих скорости и давления.
Введение вектора вихря и вектора потенциала скорости вместо составляющих скорости и давления менее наглядно. Основываясь на желании разраоотать методы, обладающие физическим смыслом и наглядностью, мы стремимся создать метод, использующий так называемые основные переменные — составляющие скорости и давление.
Итак, основная задача насзояшей главы — преобразование косвенной информации, заложенной в уравнение неразрывности, в алгоритм прямого расчета давления, при этом возникакзт некоторые трудности, когорые рассмотрены нил.е. ЗД. ТРУДНОСТИ РАСЧЕТА ПОЛЯ ДАВЛЕНИЯ Аппроксимация градиента давления. При составлении дискретного аналога уравнения количества движения в направлении оси х для одномерного случая, показанного на рис. 5.1, единственной особенностью является представление члена — Ырлух, проинтегрпРоваияого по контрольному обьему. В результате интегрирования в дискретный аналог войдет разность давлений р,„. — р„ которая представляет собой силу давления, прнложенную к контрольному Объему с единичной площадью поперечного сечения.
Чтобы выра- р=лю ж тип гпп ха гпп Рнс. 5З. Трехточечный шаблон (зз- Рис. 5.2 Зигзагообразное поле давлештриховзннзя область — контроль- ння нын объем) вить р. — р„через значения давления в узловых точках, можно предположить, что давление между узловыми точками изменяется по линейному закону, Если грани контрольного объема е и ш выбраны так, что они лежат посередине ' между соответствующими узловыми точками, то можно записать ргн+ рР рР + ре рчг ре (5.1) р ре 2 2 Таким образом, дискретный аналог уравнения количества движения будет содержать разность давлений между двумя пе соссдпимн точками. Это означает, что давление берется с сетки более грубой, чем основная, и это должно привести к снижению точности решения. Однако имеются и более серьезные недостатки метода.
Они лучше видны из рис. 5.2, на котором поле давления представлено через его значения в узловых точках. Такое зигзагообразное поле нельзя считать физичным. Можно заметить, что для каждой узловой точки р соответствующий перепад давления ртг — рн=О, так как значения давления в соседних с р узловых точках равны между собой. Таким образом, ошибочным следствием данной аппроксимации будет то, что такое волнистое поле давления будет восприниматься в уравнении количества движения как однородное. Эта трудность еще более усугубляется в двухмерном случае. Так же как на количество движения в направлении оси х влияет перепад давления р,+- — рн, на количество движения в направлении оси д влияет перепад давления ра — рм, при этом значение давления в точке Р не играет никакой роли.
Имея это в виду, можно сделать вывод о том, что показанное на рис. 5.3 поле давления, образованное из расположенных в шахматном порядке четырех произвольных значений давления, не даст силу давления в направлениях осей х или у. Таким образом, при рассмотренном способе дискретизации уравнений количества движения сильно неоднородное поле давления будет восприниматься как однородное. Если бы в процессе итерационного решения возникли такие поля давления, они бы не сохранились в процессе, так как уравнения количества движения «забудут» об этих полях.
Следует отметить, что конкретные значения давления на ' Это предположение сделано здесь только для простот ~ алгебраических выкладок. Если грлнн контрольного объема пе лежат посередине мегкду узловыми точквми, обсуждаемые выше трудности не исчезают, в становятся ие столь яснымн. Итзк. денное предпололсение делает дзльненшн» знвлнз боже простым. 96 рис.
5.2 и 5,3 не имеют какого-либо особого значения; они просто обозначают картину распределения, которую можно было бы составить нз любгих других значений. Легко представить, что в трехмерном случае может иметь место еще более сложная картина, которая будет восприниматься уравнениями количества движения как однородное поле давления. Если в процессе решения будет получено некоторое гладкое поле давления, а зт а гт а ат можно составить любое количество дополнительных решений путем при- . мг ааа еаа ааа ма ааа, бавлсния к этому решению так называемого шахматообразного поля а гг а гг а гт давления. Так как это поле дает нулевой градиент давления, уравнение ноличества движения не почувствует его прибавления.
Естественно, что численный метод, который допускает такие абсурдные реше- а ~ ния, нежелателен. Аппроксимация уравнения не- л разрывности. Аналогичная труд- Рлс. З,З. Шахматное поле деелеиость возникает при построении клл дискрстного аналога уравнения неразрывности. Для стационарного одномерного течения жидкости с постоянной плотностью уравнение неразрывности имеет вид ди/с~х = О.
(5.2) Проинтегрировав это уравнение по изображенному на рис. 5.1 контрольному объему, получим и,— и =О. (5,3) Так же как и ранее., используя кусочно-линейные профили для и и располагая грани контрольного объема посередине между узловыми точками, получаем (и +и.)/2 — (и +и )(2= О (5.4) или и — и =О. е л' (5.5) Итак, аппроксимация уравнения неразрывности привела к приравниванию скоростей в чередующихся узловых точках, а не в соседних. В результате дискретному аналогу (5.5) уравнения неразрывности может удовлетворять нефизичное поле скорости (рис. 5.4). Аналогичные картины полей всех составляющих ско- а= гаа лаа хаа ааа гаа ааа Ркс. 5.4.
Волнистое поле скорости рости можно составить для двух- и трехмерных случаев; они будут удовлетворять уравнению неразрывности, но вряд ли могут быть получены как имеющие физический смысл решения задачи. Зги трудности надо исключить до формулировки численного метода решения задачи в переменных, включающих составляющие скорости и давление. В технической литературе описаны методы, в которых этим трудностям не уделяется никакого специального внимания. Возможные нефизичные решения исключаются с помощью некоторой их специальной обработки на границах, переопределения граничных условий, нижней релаксации относительно гладкого начального приближения и т.
п. По большинство из этих методов воспримут нефизичные поля давления и скорости (рнс. 5.2 — 5Л) как удовлетворительные решения; при отсутствии >ке специальных приемов всегда имеется опасность получения подобных решений. Прежде чем перейти к изло кению способа преодоления указанных трудностей, отметим, что Сложности численного анализа сгязаны, по-видимому., с первыми производными. Поведение вторых производных обычно ие создает сложностей.
Кроме того, все осложнения, описанные в гл. 4, были связаны с первыми производными, входящими в конвективный член; и здесь первые производные давления (в уравнениях количества движения) и скорости (в уравнении неразрывности) также вызывают значительные затруднения. 5.3. шдхмдтнАК сеткА Описанные выше трудности можно преодолеть, если понять что не обязательно рассчитывать все переменные в одних и тех же узловых точках. Можно НО >келвин!0 использовать для каждой зависимой переменной свою сетку. При расчете составляющих скорости значительную выгоду дает определение их на сетке, отличной от сетки, которая используется для всех других переменных.
В результате такого подхода описанные в в 5.2 трудности полностью исчезнут. Смещенная или шахматная сетка для расчета составляющих скорости впервые была использована в [26] и применялась в других методах, развитых автором указанной работы и его сотр, Использование такой сетки лежит в основе процедур 51ЪА [10! и $1МР1.В [55[.
При расположенной в шахматном порядке сетке составляющие скорости рассчитываются для точек, ле наших на гранях контрольных объемов. Таким образом, составляющая скорости и вдоль оси х рассчитывается на гранях, перпендикулярных направлению оси х. Точки, в которых определяется и, показаны на рис. 5.5 короткими стрелками, а узловые точки (назовем их основными) изображены кружками. Штрихом обозначены грани контрольного объема. Следует отметить, что по отношению к узловым точкам основной сетки точки, в которых определяется и, смещены только в направлении оси х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
