Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 17
Текст из файла (страница 17)
бй Для того чтобы записать уравнение более компактно, введем два новых символа Е и !); Гшри; Ржах. (4.9) Обе эти величины имеют одинаковую размерность; Г показывает интенсивность коивекции (или течения); Л вЂ” диффузионная проводимость. Следует заметить, что Р всегда остается положительным, а Е может принимать либо положительные, либо отрипатсльпые значения в зависимости от направления течения жидкости. С учетом этих новых обозначений дискретный аналог примет вид паФР паФе \ пгкФп ~ (4.10) где Ге а = — 0 — — ' а е (4.1!а) Г„, а, =- В.„+ 2 и„=- В, + — '+ Г! — —" = — а„+ аги + (Г,, — Г.). (4.11в) 70 Обсудим теперь полученные результаты.
1. Г1оскольку из условия непрерывности Г,.=Г„, то получим следующее соотношение: а, =-ах+ам-. Кроме того, интересно заметить, что из соотношения (4.11ь) следует, что дискретный аналог обладает этим свойством только в том случае, если поле скоростей удовлетворяет требованиям непрерывности, точно так же уравнение (4.3) можно получить из (4.2) только в том случае, если удовлетворяется уравнение неразрывности. 2. Дискретный аналог (4.10) представляет собой следствие использования кусочно-линейного профиля Ф.
Эта форма известна также как центрально-разностная схема и представляет собой естественный результат разложения переменных в ряды Тэйлора. 3. Рассмотрим простой пример, в котором Х)„=-Д.. =1; Г,,=Г =4. Если задангя значения Фв и Фпч то из уравнения (4.10) можно получить Ф, Рассмотрим два набора значений: а) Если Фг= 200 и Фп-=100, то Фи=50! б) Если Фа=.(00 н Фп.=200, то Фа=250! Поскольку на самом деле Фп не может лежать вне области значений 100 — 200, определенных соседними точками, то эти результаты совершенно нереальны, 4. Действительно, можно предвидеть эти неверные результаты, так как из уравнений (4.11) видно, что коэффициенты могут принимать отрицательные значения. Когда (Г!)20, то в зависимости от того, положительно или отрицательно Г, можно получить отрицательные ав или аж.
Это приведет к нарушению одного из основ- ~ ых правил и возможности неправильного результата. Ф, = Фр, если Р, р О, (4,12а) Ф,= Фе, если Р,е,, О. Значение Ф,в определяется аналогично. Условные соотношения (4.12) можно записать более компактно, если внести новый оператор (]А, В(1, определяющий наибольшую из величин А и В '. Тогда для схемы против потока РФ,=Ф [(Р„О(] — Ф [] — Рв, О ([. (4.13) Если в (4.7) подставить это выражение, то дискретный аналог запишется в виде (4.12б) аРФр аеФе + пни, (4. 14) где ае — ет,+ [] — Р„О ][; а, = 1:) + [( Р, 0) (1; (4.15) ]1+ 1) + [( — Р, О ]1 = а„+ а, + (Р, — Р ).
ар — — О, + [] Р„О ' Новый оператор ГОРткЛМ. [[А, В11 эквивалентен ЛМЛХ ! (А, В) нв языке 7В 5. Отрицательные коэффициенты могут также означать, что а„=Ха„ь становится меньше, чем Х]а„ь], что нарушает выполнение критерия Скарбороу. Таким образом, поточечное решение дискретного аналога может расходиться.
Вот почему все ранее сделанные попытки решить задачи конвскцнп с помошью схемы с центральными разностями ограничивались малыми числами Рейнольдса (малыми отношениями Р/0). 6. При нулевой диффузии (Г=О) схема приводит к значению ар=О. В этом случас уравнение (4.10) нсвозможно решить с помощью поточечного метода и многих других итерационных методов. Поскольку приведенный вьппе предварительный анализ привел в результате к неприемлемому виду дискретного аналога, то необходимо найти лучшие подходы. Некоторые из нпх описаны ниже. Схема против потока. Схема против потока, которая также известна как схема с разностями против потока, схема с разностями против течения, метод донорных ячеек и т, д., впервые была предложена в (12] н впоследствии развита в (6, 24, 73]. Слабым звеном предыдущего анализа является предположение, что значение переносимой величины на грани контрольного объема Ф, определяется как среднее между Фн н Фр.
Рассматриваемая здесь схема против потока предлагает лучшую аппроксимацию. Запись диффузионного члена остается прежней, а значение Ф на грани контрольного объема равно значению в соседней узловой точке с подветренной стороны грани. Таким образом, Обсудим полученные результаты. 1.
Из уравнения (4.15) видно, что отрицательные значения коэффициентов в этом случае не появлшотся. Таким образом, решения всегда будут физически реальными и критерий СкарГ>ороу будет удовлетворяться. 2. Что >ко, однако, является сущностью идеи, лежащей в основе схемы против потока? Более детальный ответ на этот вопрос будет получен иижс, а пока ограничимся ясной физической иллострацией схемы против потока, которая может дать некоторое пояснение. Схема иногда основывается на моделя бак — труба (25).
Как показано на рис. 4.2, контрольныс обьемь! моя'но пред- (4.16а) (4.16в) то решение (4.4) можно представить в виде Ф вЂ” Фе ехр (Рх)Г-1 — ! Фь Фо ехр (Р) — ! (4.17) где Р— число Пекле, определяемое следующим соотношением: Р= (4.18) Как видно, Р есть отношение интенсивностей копвекции и диффузии. Смысл точного решения (4.17) будет более понятен, если рассмотреть рис, 4Рь на котором изобраягена зависимость Ф от х для различных исса Пскле. В пределе ппи пулевое числе Пекле получаем задачу чистой диффузии (плп теплопроводностн), причем зависимость Ф от х является линейной.
Когда поток направлен ставить как серию отдельных баков с перемсшивающейся в пих жидкостью, которые соединяются с помощью коротеньких трубок. Течение через трубки представляет собой конвекцию, теплопроводвость через стенки баков — диффузию. Так как жидкость в баках перемешивается, то каждый бак имеет однородное температурное поле. Предположим, что жидкость, текушая.в каждой соединительной трубке, имеет температуру, равную температуре в баке со стороны против потока. Обычно жидкость в трубке ничего не должна знать о баке, по направлению к которому она течет, но должна нести полную информацию о баке, пз которого она поступает. Это является сутью схемы против потока. Точное решение. Уравнение сохранения можно решить точно, если положить Г равным постоянной величине [ри всегда постоянно, как следует из (4,5)).
Если рассматривается область 0(х(Г. с граничными условиями при х=-О Ф=Фе; при х= Л Ф=Фь, л = риФ вЂ” à —. оф ох (4.19) С учетом этого определения (4.4) запишем в следующем виде: Них = О, 14 20) 4 зак. 916 вдоль положительной оси х (т. е, для по- ча ложительных значений Р), на значения Ф р в рассматриваемой области, по-видимому, вм оказывает большее влияние ее значение вниз по потоку Фо.
Для большого положительного значения Р значение Ф остается о очень близким к значению Фо вниз по потоку в большей части рассматриваемой области. Для отрицательных значений Р 1 наблюдается обратная картина. Когда течение направлено в сторону отрицательной к оси х, значением против потока стано- р 43 Рис. 4.3. точное решение . вптся Фс, которое доминирует в рассмат- длн совакестной задачи рпваемой области. Для больших отрица- конвенции и диффузии тельных Р значение Ф в большей части об- (одномерные задачи) ласти практически равно Фь. нри различных значенинх числа Р Для построения дискретного аналога рассмотрим рис.
4.3, обратив внимание на соответствующий профиль Ф от х между сеточными узлами. 1. Легко видеть, почему предварительный анализ не дал удовлетворительных результатов. Распределение Ф от х носит далеко не линейный характер, за исключением малых значений ~1Р~. 2. Когда ~Р~ велико, значение Ф при х=-Е~2 (грань контрольного объема) приблизительно равно значению Ф на границе вниз по потоку. Это и есть допущение, сделанное в схеме против потока, но здесь оно используется для всех значений ~Р(, а не только для больших. 3. Когда ~Р) принимает большие значения, производная с)Ф1с)х при х=Р2 близка к нулю.
Таким образом, диффузия почти отсутствует. В схеме с аппроксимацией против потока диффузионный член рассчитывается, исходя из линейного профиля Ф от х, т. е. предполагается несколько больший вклад диффузии при больших значениях )Р~. Если дискретный аналог получен непосредственно из точного решения, показанного на рпс. 4.3, результирующая схема не должна иметь каких-либо дефектов. Перейдем к созданию такой схемы, которую назовем экспоненциальной схемой.
Она основана на записи, впервые представленной в 175), и является одной из схем, предложенной и используемой в [69]. Экспоненциальная схема. Удобно ввести понятие суммарного потока У, который складывается из конвективного потока риФ и диффузионного потока — Гс)Ф/с)х. Таким образом, и после интегрирования по контрольному объему, показанному на рис. 4.1, получаем 1,—,1 = О. (4.21) Теперь точное решение (4.!7) можно использовать в качестве профиля между точками Р и Е, заменив Фо и Фь на Фг н Фя, а Е на (бх),.
Подставляя этот профиль в уравнение (4.19), получаем выражение для У,: (4. 22)~ где Р (Рл)е (бх)г Рг Ге Ве (4.23) а Р, и О, определены ' уравнением (4.9). Следует отметить, что за не зависит от расположения поверхности раздела между точками Р и Е. Конечно, точное решение, которое удовлетворяет уравнению (4.20), должно иметь такое поведение. Окончательно подстановка (4.22) и аналогичного выражения для з'и в (4.21) приведет к уравнению которое можно записать в стандартном виде: агФг = а Фи+а„,Ф, (4.25) где ад = Р,/ехр (Р,Л),) — 1; а, = Р, ехр (Р )В )/ехр (Е.
(1з ) — 1; а„=а.+а, +(Р,— Р„). (4,26у ' Здесь Г, определено так же, как козффициент й„т. е, с помощью (3.9). Может показаться, что зто определевие подобно способу, в котором точное рещение для постоянного Г модяфицнруется ва случай переменного Г. Хотя ве было причины для использования такого подхода, расчет й, (или Г) с помощью (3.9)1 (которое было применено для случая теплопроводности) оказывается достаточно точным даже для случая совместных конвекции и диффузии (см. $ 4.3). Эти выражения для коэффициентов определяют экспоненциальную схему.
Прн использовании для решения одномерной стационарной задачи такая схема гарантирует получение точного решения для любого значения числа Пекле и для любого числа узлов сетки. Несмотря на это, такая схема широко не используется, потому что, во-первых, расчет экспонент требует больших затрат машинного времени, во-вторых, схема не является точной при расчете двух- и трехмерных задач, наличии ненулевых источников и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
