Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Таким образом, в дальнейшем прямые методы рассматриваться не будут. С вычислительной программой для прямого метода решения двухмерных дискретных аналогов можно ознакомиться в (311. Альтернативой прямым методам являются итерационные методы решения алгебраических уравнений.

Начиная с некоторого начального поля температуры Т (зависимая переменная), последовательные повторения алгоритма приводят к решению, которое достаточно близко к точному решению алгебраических уравнений. Итерационные методы обгячно требуют очень небольшого дополнительного объема памяти вычислительной машины и являются удобным способом для преодоления нелинейностей. В нелинейной задаче нет необходимости находить решение алгебраических уравнений с высокой точностью до окончательной сходимости коэффициентов дискретного аналога. Оказывается, что, вообще, должно быть определенное соответствие между усилиями, требуемыми для рас- 53 чета коэффициентов и затрачиваемыми на решение уравнений. Один раз рассчитав коэффициенты, мы должны с этим набором коэффициентов выполнить необходимое число итераций для получения решения уравнения, но неразумно тратить много усилий на решение уравнений, которые основываются только на приближенных значениях коэффициентов.

Существует много итерационных методов для решения алгебраических уравнений. Остановимся только на двух методах: первьлй будет изложен в основных чертах, второй рекомендован для использования. Поточечный последовательный метод Гаусса — Зейделя. Простейшим из всех итерационных методов является метод Гаусса— Зейделя, в котором значения переменной рассчитываются путем обращения в определенном порядке к каждой узловой точке. В памяти вычислительной машины держится только один массив значений Т. По мере обралпения к очередной узловой точке соответствующее значение Т в памяти вычислительной машины (начальное приближение или значение Т с предыдущей итерации) заменяется на новое.

Если дискретный аналог записан в виде црТи == ~ц~ь 7 иь + (л (3,472 где индекс пЬ обозначает соседную точку, то новое значение Тт в рассматриваемой узловой точке рассчитывается по соотношению Т вЂ”.— (~'аиьТ„'„+ Ь)/ал, (3.48) Т, =- 0,4Те+ 0,2; Т, = Т, + 1. (3„49). Решение 0 ! 2 3 4 5 ... се 0 0,2 0,68 0,872 0,949 0,980 . . . 1,0 0 1,2 1,68 1,872 1,949 1,980 . . .

2,0 Ноллер итерации тл тл 54 где Т„„является соседним значением, которое находится в памяти вычислительной машины. Для соседних точек, к которым уже обращались в ходе текущей ите[шции, Т„ь является новым рассчитанным значением. Для остальных соседних точек Т.ь — значение с предыдущей итерации. Ва всяком случае Т„ь — это самое. последнее значение температуры в соседней точке.

Когда все узловые точки рассмотрены подобным образом, одна итерация метода Гаусса — Зейделя закончена. Для иллюстрации метода рассмотрим два очень простых примера. Уравнения Как видно из примера, можно получить точное решение уравнений, начиная с некоторых произвольных значений. Интересной особенностью итерационных методов является то, что точность расчета может быть не очень высокой на промежуточных этапах.

Приближенность расчетов и даже погрешности уничтожаются в том случае, когда промежуточные значения используются просто как приближения для последующих итераций. Дополнительное т1редставление можно получить, рассматривая следующий пример. Уравнения Т,=Т,— 1; Т,=2,5Т,— 0,5. (3. 50) Решение Номер итерации Т Т,. 0 1 2 3 4 0 — 1 — 4 — 11,5 — 30,25 0 — 3 — 10,5 — 29.25 — 76,13 Этот пример не выглядит очень обнадеживающим, так как здесь итерационный пропесс расходится. Еше более удивительно, что уравнения (3.50) представляют собой просто вариант уравнений (3.49), для которых получен сходящийся итерационный процесс.

Таким образом, делаем вывод, что метод Гаусса — Зейделя ие всегда является сходящимся. Критерий его сходимости был сформулирован в [14[; при выполнении условий этого критерия сходимость метода Гаусса — Зейделя гарантируется. Приведем указанный критерий без доказательства и рассмотрим его применение. Критерий Скарбороу. Достаточным условием для сходнмости метода Гаусса — Зейделя является .'~ [ аиь [ [ < 1 для всех уравнений: (3.51) [ ир [ [< 1, по крайней мере, для одного уравнения.

Ниже приведены поясняюшие замечания. 1. Критерий является достаточным, но не необходцмым условием. Это означает, что даже при нарушении соотношений (3.51) может иметь место сходнмость. 2. Несмотря на то что мы не сторонники использования метода Гаусса — Зейделя, оказывается, что наши дискретные аналоги должны удовлетворять критерию Скарбороу так, чтобы сходимость была гарантирована, по крайней мере, для одного итерационного метода.

3. Некоторые из основных правил, которые были мотивированы физическими соображениями, могут быть теперь рассмотрены с точки зрения удовлетворения критерия Скарбороу. Например, наличие отрицательного Яр приведет к Хаиь/[ар[ -1. С учетом этого может также быть рассмотрено требование положительности коэффициентов.

Если некоторые коэффициенты будут отрицательны, то ар (который часто равняется Ха ь) может иметь значение меньшее, чем 1[а,ь [ (так как Ха„ьм Х[аиь [), что приведет к нарушению требований (3.51). 55 4. Если аг= а„ь и все коэффициенты положительны, то для всех уравнений 1 ~а,ь|/)аг!. Где же в таком случае уравнение,. для которого значение л ~а„ь|/(а„! станет меньше единицы? Ответ.

заключается в граничных условиях. Для задачи, имеющей определенное решение, температура должна быть задана, по крайней мере, в одной граничной точке. Из уравнения дискретного аналога,. в котором появляется эта точка как одна из соседних, находим, что Х ~а~ь|/)аг)(1. Это происходит потому, что сумму л ~а„ь), входящую в критерий Скарбороу, надо рассчитывать как сумму коэффициентов только в неизвестных соседних точках.

Кроме того, аг должен представлять сумму всех сох х седних коэффициентов, включая коэфх х фициент в граничной точке. Главным недостатком метода Гаус- 1 1 са — Зейделя является очень медленх х ная сходнмость, особенно когда нсх пользуется большое число узловых. х точек. Причина медленной сходнмостн очевидна: метод передает информацшо х о граничных условиях со скоростью один сеточный интервал за итерацию. Рнс З т. К методу яеэечьнных Метод переменных направлений ную комбинацию прямого метода (ТРМА) для одномерных задач и метода Гаусса — Зейделя. Выберем сеточную линию (линию, состоящую из узловых точек, например, в направлении оси у), предположим, что известны самые последние значения температуры на соседних сеточных линиях (т.

е. на сеточных линиях„ ближайших к узловым точкам на исходной сеточной линии вдоль. осей х н г), и решим методом ТРМА уравнения для температур в узловых точках вдоль выбранной линии. Выполним эту процедуру для всех линий в одном направлении и повторим ее, если это необходимо, в другом направлении (или направлениях). Хотя метод можно применять к двух- и трехмерным задачам, для. простоты рассмотрим только двухмерную задачу. 1. Полинейную схему можно легко проиллюстрировать с помощью рис.

3.7. Рассмотрим дискретный аналог для узловых точек вдоль выбранной линии. Он содержит температуры в точках (показанных крестиками на рис. 3.7) двух соседних линий. Если взять для этих температур самые последние (в итерационном смысле) значения, дискретный аналог для узлов (показанных кружками) вдоль выбранной линии будет выглядеть подобно одномерному дискретному аналогу и его можно решить с помощью метода ТРМА.

Зта процедура выполняется для всех линий в направлении оси у и может быть аналогично выполнена для линий в направлении осн х. 2. Сходимость полинейного метода более быстрая,. поскольку информация о граничных условиях с концов линии сразу пере- 56 ,дается во внутреннюю часть области независимо от того, сколько .точек лежит на линии. Скорость передачи информации в поперечном направлении такая же, как и в поточечном методе. 3.

С помошью перемены направлений, в которых ТРМА применяется поперек, можно быстро передать информацию о граничных условиях внутрь области. 4. Часто геометрия и другие свойства задачи отражаются, например, в коэффициентах дискретного аналога для точек по направлению оси у, делая их намного больше, чем соответствукицне коэффициенты в направлении оси х (рис. 3.8). В таком случае Т=Т Ядаадаатичасиоя ффффф У~ Т= Тз Рис.

3.9, ! раиичвые условия, для которых более упобеп расчет слева направо (штриховкой изображена адиабатичсская поверхность) бзис. 3.8. Сл>чай, в котором коэффипиепты в папраплеиии оси у намного больше коэффициевтов в иаправлемии оси х юсобенно быстрая сходнмость получается, когда поперечный ТОМА применяется в направлении оси д (направление больших коэффициентов). Вот почему предполагаемые значения температуры подставляются вместо значений температуры вдоль соседних линий, име!ощих существенное влияние на дискретный аналог. 5. Так же как и выбор поперечного направления, в некоторых случаях важен выбор направления, вдоль которого производится последовательный переход от одной продольной линии к другой.

,Для граничных условий, показанных на рис. 3.9, известное значение температуры будет передаваться внутрь области в направлении слева направо (выбираем левую границу области первой продольной линией и затем последовательно по линиям двигаемся направо).

Характеристики

Список файлов книги