Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В то же время передача информации в направлении справа налево бесполезна, поскольку на правой границе неизвестно значение температуры (аналогичные рассуждения применимы к процедурам, в которых точки рассматриваются с помощью поточечной схемы). Выбор направления последовательного перехода от одной продольной линии к другой особенно важен, когда рассматривается задача с конвекцией. Очевидно, что выбор этого направления вверх по потоку будет обеспечивать более быструю сходимость, чем .в противоположном случае. Другие итерационные методы, Широко используемый метод переменных направлений был предложен в (61(. Другим итера:ционным методом для решения многомерных дискретных аналогов :является сильна неявная процедура $1Р, описанная в (81].
Ззи МЕТОДЫ ВЕРХНЕЙ И НИЖНЕЙ РЕПАКСАЦИЙ При итерационном решении алгебраических уравнений или пргь полностью итерационной схеме, используемой для преодоления нелинейности, часто желательно от итерации к итерации ускорить или замедлить изменение зависимой переменной. Этот процесс называется методом верхней или нижней релаксации в зависимости от того, ускоряется иди замедляется изменение функции. Метод верхней релаксации часто используют в сочетании с методом Гаусса — Зейделя.
Результирующая схема известна как метод,. последовательной верхней релаксации $0К. Использование метода верхней релаксапии вместе с методом переменных направлений менее распространено. Нижняя релаксация является очень. удобным способом для нелинейных задач. Этот способ часто используется для того, чтобы избежать расходимостн при итерационном решении сильно нелинейных уравнений. Существует много способов использования верхней и ниэкней, релаксаций. В данном параграфе опишем некоторые пз нпх.
Рассмотрим дискретный аналог общего вида в форме а Т =.'а„,т„,+ Ь. (3.52) В дальнейшем Трь будет обозначать Тр с предыдущей итерации. Использование коэффициента релаксации Уравнение (3.52) можно записать в виде Т (3.53) ар Если в правую часть добавить и вычесть Тр, получим * г ~"рьтрь+Ь ° д Т' + п п Т' ~ вр (3,54ь где в круглых скобках содержится изменение Тть полученное на текущей итерации. Это изменение можно скорректировать введе- ним коэффициента релаксации а, прн этом Т'хв ь Т ь+Ь г. — г,.ь.
° ° К') лр (3.55аР или лр вр — Тр = — ~',а„ьТ„ь + Ь + (1 — а) — Тр. (3. 55б) Во-первых, следует отметить, что при сходимости итераций Тр становится равным Тр' и из уравнения (3.55а) следует, что полученное в результате итераций значение Тр удовлетворяет исходному уравнению (3.52).
Любая релаксацпонная схема должна, конечно, удовлетворять этому требованию. При сходящемся процессе окончательное решение хотя и получается с помощью произволь- ав ного коэффициента релаксации пли другими подобными способачи, но должно удовлетворять исходному дискретному аналогу. Когда коэффициент релаксации в (3.55) изменяется от О до 1, .имеем нижнюю релаксацию, при которой Те остается близким к Т ', Для очень малых значений а изменение Те становится очень медтенным. В том случае, когда а.
1, имеем верхнюю релаксацию. Нет общих правил для выбора наилучшего значения а. Оптимальное значение зависит от целого ряда факторов, таких, как физическая основа задачи, число узловых точек, шаг сетки, используемый итерационный метод. Обычно подходящее значение а можно найти из предварительных расчетов данной задачи. Нет необходимости в течение всего расчета сохранять одно и .то же значение а. Это значение может изменяться от итерации к итерации. В действительности возможен (хотя это и не очень '.удобно) выбор различных значений а для каждой узловой точки.
Релаксация с использование н инерции. Другой метод верхней нлп нижней релаксации использует замену дискретного аналога (3.52) на (а + 1) Т = с' а„Т„+ Ь + с'Т', (3. 56) где 1 — так называемая инерции Для положительных значений 1 уравнение (3.56) представляет соотношение для нижней релаксации, а отрицательные значения 1 соответствуют верхней релаксации. В этом случае также нет общих правил для определения оптимального значения инерции 1; оно должно определяться в зависимости от особенностей задачи.
Из уравнения (3.56) найдем, что ~' должно быть сравнимо с а„„и чем больше значение й тем сильнее оно будет влиять на релаксацию. Иногда решение стационарных задач получают, используя дискретные аналоги соответствующей нестационарной задачи. Таким образом, шаги по времени становятся итерациями и старые значения Теь представляют просто значения Т„": с предыдущей итерации.
В этом смысле член аеьТее в (3.46) имеет то же значение, что и член СТг' в (3.56), Таким образом, инерция является аналогом коэффициента а„' в нестапионарной задаче. Такая аналогия предлагает один из способов определения приемлемого значения й Кроме того, способ решения стационарных задач с помощью введения нестацнонарного члена может считаться просто частным случаем метода нижней релаксации. Чем меньше выбранный шаг по времени, тем сильнее результирующая нижняя релаксация.
В частности, отрицательное значение шага по времени Л~ означает верхнюю релаксацщо. З.6. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СООБРАЖЕНИЯ Расположение граней контрольного объема. До сих пор вопрос о расположении граней контрольного объема по отношению к узло- Бч вым точкам не рассматривался, Вывод дискретного аналога был проведен в общем виде так, что он может быть применен к любому частному случаю расположения граней контрольного объема.
Из многих возможных вариантов рассмотрим два альтернативных способа расположения граней и обсудим их относительные достоинства. Для удобства рассмотрим двухмерный случай, хотя основные закономерности н применимы и к одно-, и к трехмерным случаям. Способ 1. Грани расположены посередине между узловыми точками.
Наиболее очевидным способом построения контрольного объема является расположение граней объема посередине между. двумя соседними узловыми точками. Это видно из рис. 3.10, где Я~ х Рнс. З 1О. Расположение граней контрольного объема для способа ! Рнс. 3.11. Расположение граней контрольно~о объема для спо- сооа 11 штриховыми линиями показаны грани контрольного объема. Сетке изображена существенно неравномерной; следствием этой неравномерности является то, что типичная узловая точка Р не лежит.
в геометрическом центре окружающего ес контрольного объема. Способ 1й Узловые точки расположены в центре контрольных объемов. Этот способ, показанный на рис. З.Н, состоит в том, что вначале наносятся грани контрольного объема, а затем в центре каждого объема помещается узловая точка. В этой схеме для случая неодинаковых размеров контрольных объемов их грани лежат не посередине между узловыми точками. .1.
Следует отметить, что для равномерных сеток (или одинаковых размеров контрольного объема) эти два способа становятся идентичными. Поэтому проводить их сравнение целесообразно только для неравномерных сеток. 2. Расположенные посередине грани в способе 1 обеспечивают высокую точность расчета значения теплового потока через грань Как отмечалось в Ч 3.4, наклон кусочно-линейного профиля температуры оказывается таким же, как наклон любого параболического профкля, рассчитанньпй посередине между узловыми точками. Таким образом, даже при использовании линейного профиля результаты по существу будут соответствовать менее грубому параболическому профилю.
60 1 г Рнс. 3.13. Контре.тъяые объемы на границе дли способа 1 Рнс. 3.12. Распологксние контрольных объемов для способа 11 для составного материала при разрывных граничных условиях: т — аанабатннеская стенка; 2 — нэетерннтеская стенка жение о том, что тепловой поток, рассчитанный для точки е, преобладает по всей поверхности, является неточным. 4. Случай П не имеет этих недостатков, так как точка Р лежит по определению в центре контрольного объема и такие точки, как е, лежат в центре соответствующих граней 1рис.
3.11). Однако сами грани лежат не посередине между узловыми точками, и поэтому в отличие от способа 1 в способе 11 нельзя извлечь пользу нз случайного свойства параболы. 5. Возможно основным достоинством способа 11 является удобство его представления. Поскольку контрольный объем оказывается основной единицей развиваемого до сих пор метода дискретизации, более удобно вначале изобразить грани контрольного объема, а затем расположить узловые точки. Например, для составных твердых тел грани контрольного объема могут располагаться там, где имеется разрыв в распределении свойств материала (рис.
3.12). Аналогично могут быть преодолены разрывы в граничных условиях. Если часть границы является адиабатической, а другая — изотермической, контрольныи объем можно расположить так, чтобы избежать наличия разрыва в пределах поверхности контрольного объема. Это показано на рис. 3.12. В способе 1, поскольку первыми должны размещаться узловые точки, намного больше трудностей, связанных с желательным размещением граней контрольного объема. 6. Расположение контрольных объемов вблизи границ расчетной области требует дополнительного рассмотрения. Как показано 31 3. Тот факт, что узловая точка Р на рис. 3.10 может располагаться не в центре контрольного объема, является недостатком. В этом случае температуру Тг, нельзя рассматривать как характерное для контрольного объема значение при расчете источникового члена, коэффициента теплопроводности и других подобных величии.
Даже при расчетах тепловых потоков на гранях контрольного объема способ 1 не свободен от недостатков. Например, точка е на рис. 3.10 не является центром грани контрольного объема, на которой она расположена. Таким образом, предполо- Рис З.!б Сетка и коитрсътьиыи объем а палириыс коораииатак Рис. 3.!4. Коитрольиые объ- емы иа границе для спосо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
