Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Из уравнений (3.10) видно, что я, представляет собой среднее гармоническое величин Йр и Йн вместо среднего арифметического, которое дает уравнение (3.5) при 1",=0,5. 40 Если грань контрольного объема расположить посередине между узловыми точками, то ), будет равно 0,5 и я, будет средним арифметическим йр и нн. В дальнейшем покажем, что в некоторых случаях это простое приближение дает не совсем правильные выводы и не обеспечивает точной аппроксимации при резких изменениях коэффициента теплопроводности, что может иметь место в составных материалах.
Имеется сравнительно простой способ, дающий лучшие результаты. Развивая этот способ, понимаем, что на самой грани контрольного объема е не существует локального значения коэффициента теплопроводностн, которое нас интересует. Основная цель данного рассмотрения — получение хорошего представления для теплового потока д, на грани контрольного объема: Использование (3.9) для определения коэффициентов (3.3) приводит к следующему выражению для ае: Г (6х)е (бх)е+ 1 (3.11) )>р „„ье Аналогичное выражение можно получить для а>г.
Очевидно, что ае — проводимость материала между точками Р и Е. Эффективность этой формулировки видна из следующих двух предельных случаев. !. Пусть йе-+О, тогда из уравнения (3.9) й, -~ О. (3.12) Это означает, что тепловой поток на грани контрольного объема становится равным нулю, что и следовало ожидать. Выра>кение, представляющее собой среднее арифметическое, в этом случае будет давать ненулевое значение теплового потока.
2. Г1усть ее»Йе, тогда й, -~ —. ее 1 (3.13) Когда йп»ее, температура Те преобладает справа от грани е, а разность температур (Те — Тк) будет действительно относиться к отрезку (бх),+. Таким образом, правильное значение теплового потока определяется из (3.14). Другими словами, множитель 1, в (3.13) можно рассматривать как компенсирующий использование номинального отрезка (бх), в уравнении (3.17). Рассмотрение этих двух предельных случаев показывает, что при использовании соотношения (3.9) можно аппроксимировать резкие изменения коэффициента теплопроводности, не применяя чрезмерно частой сетки.
Это удобно не только для расчета теплопроводности в составных пластинах, но и в других случаях (42], что будет рассмотрено ниже. Из этого результата следуют два вывода, один из которых очевиден. Уравнение (3.13) показывает, что коэффициент теплопроводности поверхности раздела й, совершенно не зависит от Ьп. Это вполне понятно, так как высокопроводящая среда, окружаюн(ая точку Р, должна иметь пренебрежимо малое сопротивление по сравнению со средой вокруг точки Е (формула, представляющая собой среднее арифметическое, дает зависимость е, от йе).
Второй вывод заключается в том, что )), пе равно ее, а больше этого значения в 11(, раз. Поясним это утверждение. Как уже упоминалось, конечной целью проводимого рассмотрения является получение правильного значения д, с помощью уравнения (3.7).
Используя соотношения (3.13), получаем Че ье (т — те) (3.14) (бк),, Формула (3.9), рекомендуемая для определения коэффициента теплопроводности поверхности раздела, была получена для случая стационарной одномерной задачи без учета источников теплоты, в которой коэффициент теплопроводности изменялся ступенчато от одного контрольного объема к другому. Даже для случаев с ненулевыми источниками или с непрерывным изменением теплопроводности эта зависимость много лучше, чем формула, дающая среднее арифметическое значение.
Это было показано в работе (42) для некоторых случаев, в которых могут быть получены точные аналитические решения. Нелинейность. Дискретный аналог (3.2) представляет собой линейное алгебраическое уравнение, и мы будем решать систему таких уравнений. Однако дагке в теории теплопроводности часто встречаются нелинейные задачи. Коэффициент теплопроводности й может зависеть от Т или источник 5 может быть нелинейной функцией Т. Следовательно, сами коэффициенты дискретного аналога будут зависеть от Т.
В таких случаях будем использовать итерации. Этот процесс включает следующие этапы. 1. Выбор начального приближения или оценка значений Т во всех узловых точках. 2. Расчет предварительных значений коэффициентов в дискретном аналоге на основе начального профиля Т. 3.
Решение номинально линейной системы алгебраических уравнений, дающее новые значения Т. 4. Возврат ко второму этапу и повторение процесса до тех пор, пока дальнейшие приближения (итерации) перестанут давать сколько-нибудь существенные изменения в значениях Т. Такое конечное неизменное установившееся состояние называется сходимосгью итераций'. Сходящееся решение является действительно корректным решением нелинейных уравнений, хотя его находят с помощью методов решения линейных уравнений. Однако возможно, что последовательные итерации нс всегда будут сходиться к решению.
Значения Т могут устойчиво изменяться нлн колебаться со все увеличивающейся амплитудой. Такой процесс, противоположный сходимости, называется расходимостью. Хорошие численные методы должны уменьшать возможность расходимости, Как будет показано ниже, соблюдение сформулированных выше четырех основных правил ускоряет сходимость; рассмотрим также и другие пути, которые позволяют избежать расходимости. На данном этапе достаточно отметить, что наш метод не ограничивается линейными задачами н любая нелинейность может быть в принципе устранена с помощью правильно построенного итерационного метода.
Линеаризация источникового члена. В том случае, когда источниковый член 5 зависит от Т, можно выразить эту зависимость ' Иногда термин «сходимость» используется для процесса, с помощью котоого удачное измельченне сетки дает численное рещение, близкое к точному. азовем эта точностью численного решения н используем термин «сходимость» для сходимостн итераций. 42 Рис.
3.2. Возмо'кные лнпеа рнзацни (1 — б) для приме ра 3 в линейной форме с помощью уравнения (3.4). Это делается по той причине, что, во-первых, номинально линейная система допускает только формально линейную зависимость, и, во-вторых, введение линейной зависимости лучше, чем предположение о постоянстве 5.
Если 5 является нелинейной функцией Т, то функцию надо линеаризовать, т, е, определить значения 5с и 5ьь которые сами могут зависеть от Т. В процессе каждого итерационного цикла 5с и 5„пересчитывают с учетом новых значений Т, Линеаризуюшая зависимость для 5 долэкна быть хорошим представлением зависимости 5 от Т. В дальнейшем будем следовать основному правилу относительно неположительности 5,.
Существует много различных способов разложения заданного выражения для 5 на 5с и 5нТр. Некоторые из них проиллюстрированы ниже. Число представлений в приведенных примерах не имеет особенного значения. Символ Т„э используется для обозначения начального значения или значения Тв на нулевой итерации. Прим ер 1. Дано: 5=3 — 4 Т. Возможны следующие способы линеаризации. 1. 5с=б, 5г= — 4. Зто наиболее очевидная и рекомендуемая форма линеаризацви. 2. 5с=.б — 4Тр"', 5г.=о. Представление 5 в таком виде не требует усилий, так как лннеаризацня по существу не производится Однако в случае очень сложного выражения, определяющего 5, уназанная форма представления является едннстненной.
3. 5г=б+7Т„", 5,= †!!. Зто разложение предполагает более крутую зависимость 5 от Т, чем действительно заданная. Такое приближение приведет к замедлению сходнмости итерационного процесса. Однако если в задаче есть другие пелннсйносги, это замедление может быть желательным Пример 2. Дано: 5=3+77. Возможны следующие способы линеаризации. 1. 5 =3, 5р=т. Вообпге такое приближение неприемлемо, так как при этом 5е положительно. Если задача может быть решена без итераций, эта линеаризапия будет давать корректное решение, но если по какой-либо причине (например, нсливейность других членов) применяются итерации, наличие полохгнтельной части 5р может привести к расходимости. 2.
5с=з+ТТг", 5г=о. Такому подходу надо следовать, если отрицательные значения 5е не получаются естественным путем. 3 5с=з+97г", 5л= — 2. Это пример искусственного создания отрицательного 5р. Оно при- 1 ведет, вообще говоря, к медленному достижению лдидая сходимости. 2 П р н м е р 3. Дано. 5=4 оТ*. Е!екоторые 3 возможные лпнеарнзацни этой функшш (о) пока- ч заны на рис. 32. Т 1. 5с=4 — 57"ж 5г=о. Такое приближение 0 Т (1) для тех, кто не в состоянии воспользоваться преимуществами известной зависимости 5 от Т, 2.
5с=4, 5р= — 5Т"тж Зто разложение (2) выглядит как корректная лннсаризация, на заданная зависимость 5 от Т более крутая, чем та, которую дает приближение. 3. Рекомендуемый способ: Ы5* е „е 5 = 5*+ — (7р — 7р) = 4 — 57р — 157р (7р — 7р). е(7 Таким образом, е 5с = 4+ 107р 5р — — — !57р.
Такая линеаризация (3) дает касательную к кривой 5 от Т в точке Т'и. 4 5с=4-1-20Т*'л, 5л= — 25Т*'л. Эта линеаризацин (4), дающая более крутую зависимость, чем заданная зависимость 5 от Т, приведет к замедлению сходимости, На схеме, представленной на рис. 3.2, прямые линии с положительным тангенсом угла наклона будут нарушать основное правило 3.
Среди прямых с отрицательным тангенсом угла наклона линия, касательная к заданной кривой, является лучшим вариантом. Более крутые линии можно использовать, но это обычно приводит к более медленной сходимости. Менее крутые линии неудобны, так как они нс обеспечивают заданной скорости уменьшения 5 в зависимости от Т. Граничные условия. Предположим, что для одномерной задачи ряд узловых точек, показанных на рнс. 3.3, является выбранным. Рис. ЗЛ, Контрольные объемы для внутренних и граничных точек; т — типичный контрольный объем; 3— палоппнный хентрольнмй объем На каждую из двух границ приходится по одной узловой точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
