Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Выбирая последовательность весовых функций, можно получить количество уравнений, достаточное для нахождения параметров. Решив полученную систему алгебраических уравнений д:ш неизвестных параметров, найдем приближенное решение дифференциального уравнения, Выбирая различные классы весовых функций, можно получить различные версии метода (имеющие свои названия). Данный метод широко использовался для решения уравнений пограничного слоя, пока его почти не вытеснил метод конечных разностей. Однако можно установить его связь с конечно-разностным методом, или, точнее, с методом дискретизации, если рассматривать приближенное решение Ф не в виде единственной для всей области алгебраической функции, а как кусочный профиль с неизвестными параметрами, представляющими собой значения Ф в узловых точках.
Действительно, большая часть недавних разработок метода конечных элементов также основана на применении кусочпых профилей в сочетании с разновидностью метода взвешенных невязок, пзвесгмюй ьак метод Галеркина. Простейшей весовой функцией является В'=- 1. Г помощью такой функции можно в рамках данного метода построип систему уравнений, разбивая расчетную область на подооласти или коптрольныс объема и выбирая в качестве весовых функции, одновременно равные единице в одной нз подобластей и нулю во всех остальных.
Этот вариант метода взвешенных невязок называется методом подобласти или методом контрольного объе.иа В нем полагается, что интеграл от невязки по каждому контрольному объему должен быть равен нулю. Так как в этой книге используется метод контрольного объема, то необходимо рассмотреть его более полообно. Метод контрольного объема. с!исто в элементарных учебниках но теплообмену приводят вывод конечно-разиостного уравнения с помощью метода рядов Тэйлора, а затем показывают, что результирующее уравнение соответствует условию тсплового баланса в небольцюй области, содержащей узловую точку. Мы также видели,.
что метод контрольного обьема можно рассматривать как частньш случай метода взвец|енных невязок. Основная идея метода контрольного объема легко понятна и поддается прямой физической интерпретации. Расчетную область разбивают ца некоторое число непересекающихся контрольных объемов таким образом, что каждая узловая точка содержится в одном контрольном объеме. Дифференциальное уравнение интегрируют по каждому контрольному объему.
Для вычисления интегралов используют кусочнью профили, которые описывают изменение Ф между узловыми точкамн. В результате находят дискретный аналог дифференциального уравнения, в который вхолят значения Ф в нескольких узловых точках. Полученный подобным образом дискретный аналог выражает закон сохранения Ф для конечного контрольного объема точно так же, как дифч)е()енциальное уравнение выра)кает закон сохра!Иния для бескО)шг!ИО малого контрольного Объема.
Одним из важных свойств метода контрольного объема является то, что в нем заложено точное интегральное сохранение таких величин, как масса, количество движения и энергия па лшоой группе контрош,— ных объемов и, следовательно, на всей расчетной области, с)то свойство проявляется при л)обом числе узловых точек, а не то.1ььо в предельном слу ше очень большого их шсла. Таким образом. даже решение пп грубой сетке удовлетворяет точным интегра.)ьным балансам. Результат решения дискретных уравнений относительно значений в узловых точках мо)кно рассматривать двояко. В методе конечных элементов и большшштве методов взвешенных невязок в качестве приближенного решения берется предполагаемое изменение Ф, состоящее из значений в узловых точках и интерполяционных функций (или профилей) между узловыми точками. Напротив, в конечно-разностиом методе в качестве решения рассматривак)тся только значения Ф в узловых точках и не делается никаких явных указаний о характере изменения Ф между этими точками.
Эта ситуация напоминает лабораторньш экспсримен), в котором распределение величины дается в виде измеренных значений в некоторых дискретных точках н не определяется се изменение в промежутках между этими точкамп. Мы также используем этот подход в методе контрольного объема и будем искать решение в виде значений только в узловых точках.
Интерполяционные формулы или профили будем рассматривать как вспомогательные, необходимые для расчета интегралов. После получения дискретных аналогов предположения о характере профилей можно ис учитывать. Такая точка зрения дает полнук) свободу использования различных профилей для интегрирования разных членов дифференциального уравнения.
Для большей ясности применим метод контрольного объема к простой задаче. Рассмотрим сганионариую одномерную задачу теплопронодности, опнсынаемую уравнением (2,!О! где й — козффнциент теплопроводпостн; т — температура; я — скорость выделения теплоты в единице объема. Лодзоговки Для получения дискретного аналога будет использовано показанное па рис.
2.2 распело~кение )зловых точек. В центре нашего ввимания оказывается точка Р, окружсш!ая точкамн Е н йт (Š— восточная сторона, т е. направление вдоль оси х; %' — западная сторона, т. е. направление, обратное Рис 2.2 Шаблон узловых точек для одномерной задачи иг и е ( Лх 29 Рнс. 2.3. Простые аппроксимации профилей: и — ступенчатый прсФипь; б — нусочпо-ои. нсйный проФиль направлению оси .с).
Штрихом показаны границы контрольного объема; сейчас нас не интересует ик точное расположе. нне. Этя границы обозначены буквами (2,!1) Предлололсение о виде профиля. Сдслзеьч теперь предположение о ваде профиля или интерполяционной формулы. На рис. 2.3 показаны два простых профиля. В простейшем случае предполагается, что знзчепнс Т в узловой точке сохраняется для всего окружающего ее контрольного объема Это предположение приводит к показанному на рис. 2.3,а ступенчатому профилю.
Для такого профиля производная дТ!Вх на границах контрольного объема (т. е. в точках щ или г) ие определена. Эта трудность пе возникает для кусочно-линейного профиля (рис. 2.3,б), у которого изменение Т между узловыми точками описывается линейными иитерполяциоиными функциямй Дискретный аналог. Использовав для определения дТ/г(х в уравнении (2,11) кусочно-линейный профиль, получим йе(Т вЂ” Т ) йм(Т вЂ” Т,) ( „— ( х) +ЯЛх=О, где Э вЂ” среднее по контрольному объему значение Б. Полезно записать уравнение (2,12) в следующем виде: арТр — — адТд -(- ангТкг+ Ь, (2.13) тгде ак = йе)(бх)е апт = й /(бх)ы ар — — ад+ айт, Ь = Здх.
(2.14) Необходимо сделать следующие примечания: 1. Уравнение (2.13) записано в стандартном виде, в котором мы будем пред. ставлять дискретные аналоги, В левой части этого уравнения находится температура Тп в центральной узловой точке, а в правой — температуры в соседних точках и постоянная Ь. Как будет показано ниже, в двух- и трехмерном случаях число соседних точек возрастет. В общем случае удобно представить уравнение (2.13) в виде арТр — — ~' апьТпь + Ь (2.15) где индекс лЬ обозначает соседние точки и суммирование производится по всем соседним точкам.
ЗО цмт с 6 и ььюс гЕ к Щ г и ш. Для рассматриваемой одномер- ной зада ш предположим, что размеры контрольного объема в направлениях р и а равны единице. Таким образом, объем показанного контрольного объема равен ЛхХ1Х1. Интегрируя (2.10) по контрольному объему, получаем 2. При вьводе уравнения (2.13) использовалось простейшее приближение для профиля, позволившее рассчитать йТ(йх.
Конечно, возможно применение множества других иптерполяциокпых функций, 3. Вюкпо также понимать, что для разли шых величин можно использовать разные профили. Например, для вычисления 5 необязательно предполагать линейный характер изменения 5 между узловыми точками, так же как необязательно рассчитывать й, по его линейному изменению от йр до йз. 4 Нет веобходпмости использовать одинаковые профили для всех членов одного уравнения.
Например, если бы в уравнение (2.10) входил дополнительный член, включающий Т, можно было бы применить для его аппроксимации ступенчатый профиль вместо кусочполннейного профиля, использованного для определения йТ/йх. Основные лринйипы выбора интерполяиион- '~ г ных фйлнций и п(юфилей. Указанная выше сво- ( йода выбора иптсрполяциопных функций и про- 3 филей ведет к существованию множества способов получения дискретных аналогов уравнения. Предполагается, что прн увеличении числа узла. 1 вых точек решения всех дискретных аналогов ис- к ладного уравнения совпадают.
Однако наложим дополнительное требовааае, котоРое приведет к доп доб ь (1) пр д сужению числа подходяшах формул. Потребуем, дойное (2) и точное (8) речтобы решение, полученное даже на грубой сет- щения ке, во-первых, всегда имело физически правдоподобный характер и, во-вторых, сохраняло полный баланс. Понять, насколько физично полученное решение, легко, по крайней мере, в простых случаях (рис. 2.4).
Правдоподобное решение должно иметь такой же качественный характер, что и точное решение. В задаче теплопроводностн без источников никакой профиль температуры не может выходить ва пределы температур границ тела. При охлаждении нагретого твердого тела окружающейего жидкостью температура тела не может стать низке температуры жидкости. Мы будем всегда применять такие тесты к полученным дискретным аналогам уравнений. Условие полного баланса предполагает 'интегральное сохранение рассматриваемой величины во всей расчетной области.
Мы будет утверждать, что тепловые потоки, массовые расходы и потоки количества движения должны правильно отражать баланс с соответствующими источниками и стоками, причем для любого числа узловых точек, а не только в пределе при очень большом числе точек. Такую возможность сохранения полного баланса дает метод контрольного объема, но прн этом необходимо обеспечить, как вскоре увидим, правильный расчет потоков на границах контрольного объема. Принятые требования физического правдоподобия и сохранения полного баланса будут использоваться для выбора аппроксимаций профиля и соответ. стзуюшего анализа. Нз основании зтвх ограничений будут получены некоторые основаые правила, которые позволят сравнить имеющиеся формулировки и разработать новые.
С их помощью некоторые решения, определяемые обычно математически, могут быль получены яз физических соображений. 31 Лггпрохсгыга!!ая источипхоаоео ягела. Прои дс юм перейти к опредслеиию основных правил, рассмотрим исто ишковыи члсп 5 уравиеиия (2.!О). Часто источииковый член является функцией самой зависимой переменкой Т, и тогда х.слательио учесть эту зависимость при построспии дигкретпого зиалога. Однако формзльио можем учитывать только линейную зависимость, так как решсиие дискретных уравиеиий будет осуществлиться, как' увидим позже, с помощью методов решения систем шшеииых алгебраических !рависинй Способ лииеаризации зависимости 5 от Т обсуждается в следующей главе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
