Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 4
Текст из файла (страница 4)
(1.10) 15 Уравнение количества движения. Для ньютоновской жидкости дифференциальное уравнение, выражающее сохранение количества движения в данном направлении, можно записать аналогичным образом. Однако это сделать несколько сложнее, так как надо рассматривать касательное и нормальное напряжения, а также из-за большей сложности закона вязкого трения Стокса по сравнению с законом Фнка илц законом Фурье. Пусть х-составляющая скорости равна и, тогда соответствующее уравнение количества дни>кения примет вид — (ри) + о(ч(рни) =-.
г(1ч(пегас(и) — — --, 'В„+ >х, (1.11) д др д> дх где р — коэффициент вязкости; р — давление; В, — х-составляющая объемной силы (приложенш>й к единице объема); 1>, — дополнительные к 41> (» пгаб и) вязкие члены. Усредненные по времени уравнения для турбулентного течения В практических приложениях течения обычно имеют турбулентный характер и интерес представляют, как правило, средние по времени характеристики таких течений.
Поэтому с помощью операции усреднения уравнения для нестационарного ламинарного течения преобразуются в усредненные по времени уравнения для турбулентного течения. При этом предполагается, что имеют место быстрые случайные пульсации усредняемой величины около среднего значения. В результате операции усреднения возникают дополнительныс члены — так называемые напрягкения Рейнольдса, турбулентный тепловой поток, турГ>улентный диффузионный поток и т. д. Задачей модели турбулентности является вырагкение этих потоков через средние характеристики течения. Во многих моделях турбулентности для выражения турбулентных напряжений и потоков используется концепция коэффициентов турбулентной вязкости и диффузии.
В результате усредненные по времени уравнения для турбулентного течения имеют тот же вид, что и уравнения для ламннарного течения, с той лишь разницей, что коэффициенты молекулярного обмена, такие, как коэффициенты вязкости, диффузии и теплопроводности, заменпотся па аффективные (т.
е. молекулярные плюс турбулентные) коэффициенты обмена. С вычислительной точки зрения турбулентное тс. чение эквивалентно, в рамках такого подхода, ламинарному течение с довольно сложной зависимостью для коэффициента вязкости (это же справедливо н для течения неныотоновской гкидкости, которое можно рассматривать как течение среды с зависящим от градиента скорости коэффициентом вязкости). Уравнение для кинетической энергии турбулентности.
В ншроко распространенной в настоящее время модели турбулентности, включающей два уравнения [ЗЗ, 34), в качестве одного из уравнений входит уравнение для кинетической энергии Й пульсационного движения, име>ощее вид — (рв)+ б(ч(рнй) =- г)(ч(Г> ягас1й)+ 6 — ра, (1.12р д д> где р>, — - коэффициент диффузии /г; 6 — скорость генерации энергии турбулентности; е — скорость диссипации. В целом величина 6 — ре — нсточннковый член уравнения. Лналогичное дифференциальное уравнение записывается для переменной е.
Обобщенное дифференциальное уравнение. Краткое рассмотрение некоторых дифференциальных уравнений, описывающих тепло- 16 обмен н гидродинамнку, показывает, что интересующие нас зависимые переменные подчиняются обобщенному ззкону сохранения. Если обозначить зависимую переменну|о гЬ, то обобщенное дифференциальное уравнение примет внд — (рФ) -)- йч(рпФ) = г(!ч(Гдгаг(Ф) -1- 5, дС где 1' — коэффициент диффузии; 5 — источннковый член.
Конкретный вид 1' и 5 зависит от смысла переменной Ф (в действительности следовало бы использовать обозначения Гч н 5ч, но это привело бы к слишком большому количеству нижних индексов в дальнейших выкладках). В обобщенное дифферснпизльное уравнение входят четыре члена: несгационарный, конвективный, диффузионный и источннковый.
Зависимая переменная Ф обозначает различные величины, такие, как массовая концентрация химической компоненты, энтальпия илн температурз, составляющая скорости, кинетическая энергия турбулентности или масштаб турбулентности. При этом коэффициенту диффузии Г и источниковому члену 5 следует придать соответствующий каждой нз этих переменных смысл. Не все диффузионные потоки определяются градиентом соответствуюгцей переменной.
Однако запись диффузионного члена уравнения в виде с(!ч (Г ассад ф) не ограничивает применение обобщенного уравнения для Ф случаями, когда диффузионные процессы обусловлены соответствующими градиентами. Ту часть диффузионного члена уравнения, которую нельзя выразить в указанном виде, всегда можно записать как часть источникового члена; фактически коэффициент диффузии Г можно даже считать равным нулю. Явнзя запись диффузионного члена в обобщенном уравнении для г1) через ее градиент использовалась потому, что для большинства зависимых переменных диффузионньш член имеет именно такой вид.
Входящая в (1.13) плотность может быть снязана с такими переменными, как массовая концентрация п температура, через уравнение состояния. Эти переменные п составляющие скоростц также подчиняются обобщенному дифференциальному уравнению. Кроме того, поле скорости должно удовлетворять дополнительному ограничению, а именно закону сохранения массы или уравненгио неразрывности, имеющему вид — -1- с(1м(рп) =-. О. ар (1. 14) дг Урзвнепня (1.!3) и (1.!4) записаны в векторном виде. Эти уравнения можно представить также в тензорной форме в декартовой системе координат: — (рФ) + — (рихФ) -= — ( à — ) + 5; д д д / АХ дГ дх; дх (, дх (1.! 5) !г (1. 16) + — (ри;) = О, д1 дх. где нижний индекс 1 в соответствии с тремя пространственными координатами принимает значения 1, 2, 3. Повторение этого индекса дважды обозначает суммирование трех аналогичных членов, например — (ри,) = — (ри,) + — (ри,) + — (риз); (1 17) д д д д дх дх, дх~ дхз Одно из достоинств тензорной записи в декартовой системе координат заключается в том, что оонокврный вид уравнения можно получить, если просто опустить индекс 1.
Процедура записи дифференциального уравнения в обобщенном виде (1.13) заключается в его преобразовании до тех пор, пока нестационарный, диффузионный н нс1очниковый члены уравнения для данной зависимой переменной не примут стандартный внд. Тогда в качестве выражения для Г берут коэффициент перед пгаг( Ф в диффузионном члене, а все оставшиеся члены в правой части обозначают 5 (источниковый член).
До снх пор мы рассматривали размерные переменные, однако иногда удобнее иметь дело с безразмерными величинами. При этом также можно считать, что каждое из дифференциальных уравнений, записанное через безразмерные переменные, можно представить в обобщенном виде (1.13), где Ф вЂ” безразмерная зависимая переменная, а Г и 5 — безразмерные коэффициент диффузии н источнпковый член. Во многих случаях безразмерный коэффициент Г=1, а Я принимает значения О либо 1. Тот факт, что все интересующие нас дифференциальные уравнения, описывающие тепло- и массообмен, гидродинамику и турбулентность, можно рассматривать как частные случаи обобщенного уравнения для Ф, позволяет ограничиться численным решением (1.13). Следовательно, при создании программы расчета достаточно записать общую последовательность операций для решения уравнения (1.13), которую можно применять для нахождения различных Ф при использовании соответствующих выражений для Г и Я н, конечно, соответствующих начальных н граничных условий.
Таким образом, концепция обобщенного уравнения позволяет сформулировать обобщенный численный метод и подготовить многоцелевые программы расчета. 4.2. ВЫБОР КООРДИНАТ Выше рассматривались зависимые переменные. Обратимся теперь к независимым переменным и обсудим нх свойства с вычислительной точки зрения. Независимые переменные, В общем случае зависимая переменная Ф является функцией трех пространственных координат и времени: (1.19) Ф = Ф (х, у, г, 1), гле х, у, г и 1 — независимые переменные. При численном решении необходимо выбрать пределы изменения независимых переменных, в которых надо рассчитать значения Ф, Нс всегда требуется рассматривать все четырс независимые переменные, С уменьшением числа рассматриваемых независимых переменных уменьшается количество точек, в которых необходимо рассчитать значения переменной Ф.
Задача, в которой физические величины зависят только от однои пространственной координаты, называется одномерной. Зависимость от лвух пространственных координат приводит к двухмерной задаче, а от трех — к трехмерной. Если задача не включает в себя зависимость от времени, опа называется стационарной.
В противном случае она называется несгайионарной. Выбор таких независимых переменных, как в (1.19), не является единственно возможным. Вместо того чтобы описывать стационарное распределение температуры как Т(х, у, г), можно записать (1.20 г = г(Т, х, у), где г — зависимая переменная, обозначающая высоту изотермнческой поверхности, соответствующую значению Т в точке (х, у). Основанный на таком представлении метод был разработан в (19), а также в (13 — 15) и известен как метод смещения изотерм. Олнако применсние этого метода ограничено случаями, когда поле температуры монотонно зависит от коорлинаты; в более общих случаях при заданных значениях Т, х и у высота г может принимать несколько значений, что с точки зрения численного расчета делает выбор координаты г в качестве зависимой переменной неудовлетворительным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
