Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Правильный выбор координат. Так как число узловых точек должно, вообще говоря, быть связано с числом независимых переменных, можно упростить запачу, используя меньшее количество независимых переменных. Иногда это достигается разумным выбором системы координат. Ниже на нескольких частных примерах булет показано влияние выбора ситемы координат на число независимых переменных.
1. Течение около движущегося с постоянной скоростью самолета нестационарно, если его рассматривать в стационарной системе координат, и стационарно относительно движущейся системы координат, связанной с самолетом. 2. Осесимметричное течение в круглой трубе является трехмерным в лекартовой системе координат и двухмерным в цплиндри- веских координатах г, В и а, так как (1,21) Ф = ги (г, а), и ие зависит от В. 3. Преобразование координат также позволяет уменьшить число независимых переменных. 1эассмотрпм примеры. а) Двухмерный ламииарный пограничный слой на плоской пластине имеет автомодельпый характер, при этом скорость и зависит только от переменной т) = су/1/х, (1.22) где с-- размерная постоянная.
Итак, двухмерная задача сводится к одномерной. б) В нестацнонарной задаче теплопроводности в полубескоиечном твердом теле независимыми являются переменные х и Однако можно показать (при некоторых простых граничных условиях), что температура зависит только от переменной к = Сх/)г /' (1.23) где С вЂ” соответствующая размерная постоянная.
4. Преобразование зависимой переменной также может привести к уменьшению числа независимых переменных. Приведем примеры. а) При полностью развитом течении в канале температура Т зависит от координаты х, направленной вдоль течения, и поперечной координаты у. Однако в области стабилизированного тепло- обмена йри постоянной температуре стенки Т„ имеем (1.24) в=в(у), где в .= (т — т.)/(т, — т.); Ть — средпемассовая температура, которая меняется с изменением х. б) Течение в плоской свободной струе является двухмерным.
Однако можно записать, что (!.25) (1.2б) и †. — и/и;„ т1 = у/6. Здесь и,.— скорость на оси; у — координата, направленная поперек течения; 6 — характерная ширина струи. Как и„, так и 6 изменяются с изменением продольной координаты х. Несмотря на то что в большинстве случаев в настоящей книге в качестве независимых переменных используются координаты х, у, г и 20 следует помнить, что все изложенное пригодно н при использовании других систем коо)кчпиат нли преобразованных перемсипыж Правда, для эффективности расчетов псленньн1 метод лолжен всегда попользоваться с подходящей системой координат.
Односторонние и двухсторонние координаты. Рассмотрим ~еперь новые соображения о свойствах координат, а затем установим связь между ними и стандартной математической термшюлогисй. Определения. Двухсторонней координатой называется коордипата, для которой условия протекания процессов с одной стороны от точки иа координатной линии зависят от условий с другой стороны. В противоположном случае координата называется одностароннсс!. Примеры, Рассмотрим одномерную стационарную теплопроволность в стержне. На температуру в каждой точке стержня могут влиять изменения температуры на любом нз концов стержня.
Обычно пространственные координаты являются лвухстороннимп, время — всегда односторонняя координата. В течение нсстационарного охлаждения твердого тела на значение температуры в данный момент времени может оказать влияние только то, что происхоЛило перед этим моментом. Односторонний характер пространственной координаты. Следует отметить, что пространственная координата под воздействием течения жидкости также может стать почти односторонней. Если имеет место сильное течение вдоль направления координаты, то любые изменения рассматриваемых полей перемешаются только нз области выше по течению от ланной точки в область ниже по течению и на условия протекания процессов в точке влияют, главным образом, условия выше по теченшо, а влияние условий ниже по течению совсем мало.
Односторонний характер пространственной координать1 является прпбли кеииым. Действительно, конвекция — односторонний процесс, а диффузия (которая всегда имеет место) - — процесс двухсторонний. Однако при большой скорости течения копвекпия подавляет лпффузшо и, таким образом, делает пространственную координату почти односторонней. Термины параболический, эллиптический, гиперболический. Оказывается, что математические термины парпболичсский и эллиптический, используемые для классификации дифференциалы ных уравнений, соответствуют нашим вычислительным концепциям односторонней и двухсторонней координат. Первь|й термин означает одностороннее поведение, второй -- двухстороннее.
!!мело бы больше смысла определять задачи как параболические или эллиптические по ланной координате. Таким образом, пестационарная задача теплопроводности, которую обычно называют параболической, на самом леле параболична по времени и эллпптпчиа по пространственным координатам. Стационарная задача теплопроволности эллиптична по всем координатам.
Двухмернь|й пограничнь1й слой параболичен по направленной вдоль течения координате н эллиптичен по поперечной коорлииате. Так как такие описания пе являются общепринятыми, связь о! с установившейся практикой описаний могкно, по-видимому, установить с помощью следующего правила. Задача параболгечна,, если существует, по крайней лере, одна односторонняя координата; в противногн случае она эллиптична. Течение с одной односторонней координатой иногда называют течением типа пограничного слоя, а течение со всеми двухсторонними координатами относят к рецирьуляционным течениям [54, 25] Л что же можно сказать о гиперболичности? Получилось так, что гиперболическая задача не соответствует вычислительной классификации.
Гиперболические задачи имеют в некотором роде одностороннее поведение, однако не вдоль координатных направлений, а вдоль специальных линий, называемых характеристшсами. Имеются численные методы, использующие наличие характеристик, но их применение ограничено гиперболическими задачами.
Кроме того, численный метод, который будет развит в этой книге, не основывается на специа,чьном характере гиперболических задач. Будем в дальнейшем считать гиперболические задачи элементами общего класса эллиптических задач (т. е. со всеми двухсторонними координатами). Следствия. Из рассуждений, проведенных выше, следует, что если в данной задаче можно указать одностороншою координату, то возможна значительная зкономия памяти ЭВМ и времени счета.
Рассмотрим нестационарную двухмерную задачу теплопроводпости. Образуем двухмерный массив узловых точек в расчетной области. В лгобогй момент времени будет иметь место соответствующее двухмерное температурное поле. Это поле должно быть обработано на ЭВМ во все последовательные моменты времени. Так как время является односторонней координатой, температурное поле в данный момент времени не зависит от будущих температурных полей. Действительно, полная нестационарная задача может быть сведена к повторениям одного основного шага, а именно: задано температурное поле в момент времени 1, вычисляется температурное поле в момент времени 1+И.
Таким образом, машинная память потребуется только для этих двух температурных полей; этот же объем памяти можно снова использовать при всех шагах по временя. Начав с заданного начального температурного поля, подобным образом можно продвинуться до последующих моментов времени. В течение любого шага по времени одновременно обрабатываемые неизвестные образуют только один двухмерный массяв ' температур.
Они не связаны со всеми значениями температур в будущие моменты времени, а влияющие на них значения в предыдущие моменты известны. Таким образом, необходимо решать намного более простую систему уравнений, что значительно сокращает время счета. Лналогично путем продвижения по направленной вдоль потока ' Здесь принято, что используется неявный метод расчета. Подробно этот вопрос обсугкдается в гл. 3. координате рассчитывается двухмерный по!.рапичный слой. Прн данных значениях зависимых переменных в одном поперечном сечении, расположенном выше по потоку от расчетной области находятся значения в последующих сечениях. Для расчета двухмерного течения требуется только одномерный массив памяти ЭВМ.
Аналогичным образом параболичное в направлении потока трехмерное течение в канале можно рассматривать как последовательность двухмерных задач для следующих друг за другом поперечных сечений. В этой книге мы только изредка будем рассматривать односторонние пространственные координаты. Однако всегда надо иметь в виду возможность значительной экономии памяти ЭВМ и времени счета прн наличии такон координаты. ЗАДАЧИ 1.1. Запиши~с нестапиоиарное уравнение теплопроводиости для случая постоянной удельной теплоемкости с. Покажите, что для приведения его к обобщенному виду (1.13) необходимо обозначить Ф=Т, ц=О, Г=й/с н 5 = 5ь)с. 1ЛЬ Получите выражения для Ф, Г и 5 для задачи !.! в случае, когда удельную теплоемкость нельзя считать постоянной (используйте з качестве зависимой переменной внутреннюю энергию 1; обратите внимание, что г/Г сг/Т).
1.3. Покажите, что записанное в обобщенном виде уравнение типа (1.7) для нестационарного процесса соответствует Ф=й, Г=й)с и 5=-5ь+др/дг. 1.4. Получите выражения для члена )/, уравнения (1.1!). Покажите, что У,=О прн постоянных плотаости и коэффициенте вязкости (используйтс уравнение неразрывности). !.6. Введите эффективное давление 1 Рй д — — рб!чи, 3 где р — термодиаамическое давление.
Если коэффициент вязкости постоянен, а плотность р перемеина (и, следовательно, ийч вчь0), покажите, что член )l уравнения (1.11) можно объединить с градиентом давления следующим образом: — др/дх+ У„= — дР/г)х. 1.6. Если ае считать уравнение неразрывности (1.14) частным случаем обобщеиногв уравнения (1.13), какими были бы выражения для Ф, Г и 5? 1.7.
Рассмотрим смесь различных компонент. Определим энтальпию смеси как й=х гл> й>, где пп — массовая концентрация компоненты !, а й> — ее удельная энтальпия, для которой справедливо т йг йг + ) с! ЙТ о Здесь )гс> — постоявная величина; щ — удельная теплоемкость компоненты ! при постоянном давлении. Запншите стационарное уравнение сохраиеивя энтальпии и пока>ките, что для него Ф й, Г=й/с и 5=5>,+б!чХ((!й — й/с)йгпгадщ), где с — удельная теплоемкость смеси, равная Епись Глава 2 МЕТОДЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ 2Л. СУЩНОСТЬ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ Выше было показано, что теоретическое исследование физических явлений имеет значите>>ш~ые преимупгества перед экспериментальным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
