Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Используем кусочно-линейный профиль для Т, Сравним полученный дискретный аналог с уравнением (2.12) (заметим, что описанный здесь метод, являющийся частным случаем метода взвешенных невязок, известен как метод Галеркииа). 2.3. Рассмотрите уравнение (2.!О), предположив, что Я постоянна, а Гг зависит от х.
Возьмите сетку с постоянаым шагом ах=(бх),=(бх) . Получите дискретный аналог уравнения (2 10), записав его в виде «)зт «(Ь «(У й — + — — +5=0 «(ха «(х с«х и использовав аппроксимации и т а,(т,+т,— йт,) й — = «( 3 (бх) з ат т — т, «(х 26х где «(й(«(х — заданная величина.
Заметив, что «(ге/«(х может быть положительной илн отрицательной, определите условия, при которых коэффициент аг или аи" будет отрицательным, т. е. нарушается правило 2 (следует отметить, что приведенная в $2.2 аппроксимация, основанная па физическом смысле членов, не приводила к отрицательным коэффициентам). 2А. Для осесимметричного случая уравнение стационарной одномерной теплопроводности имеет вид 1 «( г «)Т вЂ” — ~й.— )+3=0 г с'г «(г где г — радиальная координата. Получите с помощью описанного в б 2.2 способа дискретный аналог этого уравнения (умножьте дифференциальное уравнение на г и проинтегрируйте по г от г до г,). Дайте физическую интерпретацию коэффициентов полученного уравнения [заметим, что можно было бы использовать описанный в задаче 2.3 подход и записать дифференциальное уравнение в виде «7 / «(У' '« lг «1Т вЂ” ~~А — )+ — — +3= 0, с«г г(т т однако такой подход, как показаао в задаче 2.3, нежелателен).
Глава 3 ТЕППОПРОВОДНОСТЬ Зги ЦЕЛИ ГЛАВЫ Здесь мы начнем рассматривать задачу построения численных методов для решения общего дифференциального уравнения (1.13), которое определяет интересующие нас физические процессы. Как мы видели, уравнение содержит четыре основных члена. В этой главе опустим конвективный «1«тен и рассмотрим три остав- 36 шихся члена. В гл. 4 будет рассмотрена аппроксимация конвективного члена, Отбрасывание конвективного члена в уравнении (1.!3) приводит к задаче теплопроводности, на примере которой очень удобно рассмотреть поставленную нами общую задачу, так как физические процессы, происходящие здесь, понятны и с математической точки зрения не сложны.
Цели этой главы выходят, однако, за пределы построения численных методов только для задач теплопроводности. Во-первых, ряд других физических процессов определяется аналогичными уравнениями. Среди них потенциальное течение, диффузионный перенос массы, течение через пористую среду и некоторые полностью развитые течения в каналах. Численные методы, описываемые в этой главе, непосредственно применимы ко всем этим процессам.
Теория электромагнитного поля, диффузионные модели переноса теплоты излучением и течения смазки — дополнительные примеры явлений, которые определяются уравнениями типа теплопроводности. Хотя мы будем только эпизодически ссылаться на эти родственные процессы, важно помнить, что методы, разработанные в этой главе, непосредственно пригодны для применения в этих разных областях. Во-вторых, метод решения алгебраических уравнений будет рассмотрен только в этой главе, однако он применим к алгебраическим уравнениям, встречающимся в последующих главах. Таким образом, даже для читателя, который интересуется только расчетом течений жидкости, понимание этой главы необходимо; большая часть изложенного здесь (и в последую|пей главе) материала представляет собой существенную часть расчетной схемы задачи о течении жидкости, которая будет изложена в гл.
5. Умение видеть подобие между переносом количества движения и теплоты и рассматривать, в некотором отношении, скорость как аналог температуры помогает получить общую схему построения решения, Использование методов решения задачи теплопроводности как составной части расчета течения жидкости подтверждает сказанное. 3.?. СТАЦНОНАРНАЯ ОДНОМЕРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Основные уравнения. По мере описания в 3 2.3 иллюстративного примера, который был использован для объяснения четырех основных правил, мы уже получили дискретный аналог для стационарной одномерной задачи теплопроводности. С учетом основных составляющих дифференциальное уравнение имеет вид (й ~т)+5=0.
Это приведет к дискретному аналогу а„Тр = а Тр + а,Та + 6, (3.2) 37 где (3.3) аз== Й,>'(бх),; а, = е >'(бх) а„== ал + а — 5 Лх; Ь =- 5сбх. Узловые точки Р, Е и (г" изобра>кены на рис. 2.2, где показаны также и другие размеры сетки. Грани контрольных объемов е и ш расположены между узловой точкой Р и соответствующими ей соседними. Места расположения этих граней можно считать произвольными. Возможно большое число вариантов их расположения, некоторые из них будут обсуждены ниже.
Пока мы просто рассматриваем расположение е и ш относительно точек Р, Е и %' как известное. Величины 5е и 5„являются результатом линеаризацин источникового члена в виде 5 = 5с + 5РТР. (3.4) Что касается допущений о профилях, градиент г>Т(г(х оценивался, исходя из кусочно-линейного изменения Т в зависимости от х, хотя для линеаризацни источникового члена значение Тл было распространено на весь контрольный объем.
Необходимо, конечно, помнить, что возможен и допустим другой выбор профилей, соответствующих четырем основным правилам. Ниже рассмотрены достаточно простые профили, удовлетворяющие этим правилам, а их усложнения введены только там, где это необходимо. Много важных аспектов одномерной задачи теплопроводности еще требуют обсуждения. Обратимся к их рассмотрению.
Сетка. Для узловых точек, показанных на рис. 2.2, нет необходимости, чтобы отрезки (бх), и (бх)„, были равны, Действительно, использование неравномерной сетки часто желательно, так как позволяет эффективно загружать вычислительную машину. Точные решения будут получаться только в случае достаточно мелкой сетки.
Однако нет необходимости применять сетку с малым шагом в областях, где зависимая переменная Т изменяется достаточно медленно с изменением х, а мелкая сетка необходима там, где зависимость Т от х является крутой. Распространенным является мнение, что неравномерные сетки приводят к потере точности по сравнению с равномерными. Для такого утвер>кдения нет достаточных оснований. Сетка должна быть непосредственно связана с характером изменения зависимой переменной в расчетной области. Кроме того, нет общих правил, согласно которым максимальное (или минимальное) соотношение соседних сеточных интервалов должно быть одним и тем же. Распределение Т от х неизвестно до решения задачи, поэтому возникает вопрос, как могкно построить соответствующую неравномерную сетку? Во-первых, как правило, имеются некоторые качественные соображения о поведении решения, из которых могут быть получены некоторые указания.
Во-вторых, предварительные решения на сетках с крупным шагом можно использовать для 33 определения характера зависимости Т от х. Таким образом, соответствующая неравномерная сетка может быть создана. Это одна из причин, почему мы утверждаем, что наш метод мозкет дать физически правдоподобные решения даже на сетках с крупным шагом. Анализ решения, полученного на грубой сетке, не будет полезен, если метод дает приемлемые решения только на сетках с мелким шагом. Число узловых точек, необходимое для требуемой точности и выбранного метода, должно распределяться в расчетной области в соответствии с природой решаемой задачи. Исследование решений, использующих только несколько сеточных узлов, позволяет судить о поведении решения.
Ведь таким же образом поступают обычно и лабораторном эксперименте. Проводятся предварительные эксперименты или пробные опыты, и их результаты используются для определения числа и места расположения датчиков, необходимых для конечного эксперимента. Теплопроводность граней контрольного объема. В уравнении (3.3) коэффициент теплопроводности й,, был использован для обозначения й на грани е контрольного объема, соответственно й„., — на грани ш. Если коэффициент теплопроводности является функцией х, будем знать й только в узловых точках Ю', Р, Е и т.
д. В этом случае необходимо каким-то образом определить коэффициент теплопроводности на грани контрольного объема, например определить й, через значения коэффициентов теплопроводности в узловых точках. Обсуждение, проведенное ниже, не имеет отношения к случаю постоянного коэффициента теплопроводности. Переменный коэффициент теплопроводности может быть результатом неоднородности материала, примером могут служить составные пластины. Даже в однородном материале зависимость коэффициента теплопроводности от температуры может привести к его изменению, вызванному изменением температуры.
В дифференциальном уравнении общего вида, записанном относительно г1", коэффициент диффузии Г может изменяться аналогично коэффициенту теплопроводности й Существенные изменения Г встречаются довольно часто, например в турбулентном течении, где Г может играть роль коэффициента турбулентной вязкости или теплопроводностн. Таким образом, сама постановка задачи для переменного Ф или Г достаточно оправдана. Наиболее простым способом определения коэффициента теплопроводности на грани контрольного объема является предположение о линейном изменении й между точками Р и Е.
Пусть й, =- Цгр + (! — )„) хи, (3.5) где )„ — интерполяционный коэффициент, равный отношению отрезков, показанных на рис. 3.1: ), =- (бх),„.!(бх)„. (3.6) 39 Рнс. ЗЛ. Интервалы, связанные с гранью контрольного объема е (~, = й,(Тр — Тр)/(6х)„ (3.7) которое в сущности используется в дискретном аналоге (3.2). Соотношение, определяеющее Ае, следует выбрать так, чтобы получить правильное значение де Предположим, что контрольный объем, окружающий узловую точку Р, заполняет материал с постоянным коэффициентом теплопроводности йр, а объем, окружающий точку Е, — материал с коэффициентом теплопроводности йн. Для составной пластины с границей слоев, расположенной между точками Р и Е, для случая стационарной одномерной задачи (без источников теплоты) за- пишем Тр- Те Че (бл)еЮр )- (бя),.рга (3.8) Объединяя уравнения (З.б) — (3.8), получаем (1 (е ( (е) (3.9) Когда грань е расположена посередине между точками Р и Е, имеем 1,=0,5, тогда й 1= 05(йр +Ь )' й, = 2йрйв((йр + йн).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
