Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Рассматриваемые в этой кнше процессы оп»сына>отея дифференциальными уравнениями, ко1ор1яе были представлены в виде обобщенного уравнения для переменной Ф. Теперь наша основная задача заключается в разработке способов решения этого уравнения. Для простоты в этой главе предположено, что переменная Ф является функцией только одной независимой переменной х.

Однако разработанные здесь идеи будут применимы также в случае зависимости более чем от одной независимой переменной. Задача. ь1исленпое решение диффере>п1нального уравнения состоит из набора чисел, по которому можно построить распределение зависимой переменной Ф. В этом смысле численныи метод подобен лабораторному эксперименту, где мы имеем возможность определить распределение измеряемой величины в рассматриваемой области по набору показаний приборов.

И исследователи, примепя>ощие численный анализ, и экспериментаторы должны довольствоваться результатом, состоящим из конечного числа значений, хотя их количество можно, по крайней мере, в принципе сделать достаточным для практических целей. Предположим, что мы хотим описать изменение Ф с помощью полинома Ф == ав + а,х + авх' + . . . + а х (2,1) и используем для определения значений конечного числа коэффициентов ав, аь ав ..., ол, численный метод.

Это позволит рассчитать значения Гй в любой точке х путем подстановки значения х и значений а; в (2.1). Однако если конечная цель заключается в определении значений ц> в различных точках, эта процедура несколько неудобна. Сами по себе значения коэффициентов сы не представляют особого интереса, а для получения требуемых значений Ф необходимо выполнить операцию подстановки. Данное рассунсдение наводит на следующую мысль: почему бы пе разработать метод, в котором в качестве первичных неизвестных использовались значения Ф в некоторых заданных точках? Действительно, большинство методов численного решения дифференциальных уравнений принадлежит как раз к этой категории, и поэтому ограничимся только такими методами. Итак, в качестве основных неизвестных в численном методе расом'приваются значения зависимой переменной в конечном числе точек (называемых сеточными узлами или узловыми точками) расчетной области. Метод включает в себя получение системы алгебраических уравнений лля этих неизвестных н алгоритм решения этих уравнений.

Концепция дискретизации, Рассматривая значения в узловых точках, мы заменили непрер!»1Вну!о информяци!о, солерэкащуюся в точном решении дифференциального уравнения, дискретными значениями. Таким образом, мы дискретпзпровали распрелеление Ф, и этот класс численных методов назовем методами дискретизации. Ля!ебряические уравнения, которые назовем дискретьыж аналогом исхолного уравнения, вкл!очаюшпе неизвестные значения (1э в выбранных узловых точках, получаются нз дифференциального уравнения, описывающего изменение величины Ф.

При получении этпх уравнений нано использовать некоторое предположение о характере изменения Ф в интервале межлу узловыми !очкамп. Хотя можно выбрать этот профиль Ф так, что досзаточпо олпого алгебраического выра кения для всей расчетной области, часто бывает более улобным использовать кусочные профили, такие, что данный участок профиля описывает изменение Ф толы,о в небольшой части этой области через значения Ф в узловых точках, находящихся внутри и вокруг этой части.

Итак, расчетная область разбивается ня некоторое число подобластей, с кажлой пз которь!х можно связать свой предполагаемый профиль. Это другой аспект концепции дискретизации связан с Ликретнзацпей непрерывной расчетной области. Имешю эта систематическая дискретизация пространства н зависимых переменных делает возможным замену лифференцпальных уравнений, описывающих процесс, простыми алгебраическими уравнениями, которые могут быть решены относительно просто.

Структура дискретного аналога исходного уравнения. Дискретный аналог представляет собой алгебраическое уравнение, связывающее значение Ф в некоторой группе узловых точек. Это уравнение получается из дифференциального уравнения, описывающего изменение Ф, и, слеловательно, оно песет ту же физическую информацию, что и дифференциальное уравнеппс. То, что в лпскретный аналог входят значения только в нескольких узловых точках, является следствием кусочного характера выбранных профилей. При этом значение Ф в некоторой узловой точке оказывает влияние только па распределение Ф в ее ближайшей окрестности.

Прелполагается, чго прп очень большом числе узловых точек ре!пенне дискретных уравнений сближается с точным решением соответствующего лиффереццпальпого уравнения. Это следует из следу!ошего соображения: прп сближении узловых точек изменение Ф между соседними тачками станови~ся малым, а тогда конкретный характер презполагаемого профиля становится несущественным. Возможные дискретные аналоги данного дифференциального уравнения неезннственны, хотя предполагается, что в пределе очень болыпо!о числа узловых точек все типы дискретных аналогов да!от оцш! и то же решение. Отличие лискретпых аналогов »» э» 2.2.

метОды пОлучения дискретных АнАлОГОВ Дискретизацию данного дифференциального уравнения можно осуществить множеством способов. Опишем в общих чертах несколько распространенных методов н покажем, что один из них предпочтительней всех остальных. Использование рядов Тэйлора. Обычная процедура получения конечно-разностных уравнений заключается в аппроксимации производных в дифференциальном уравнении обрезанными рядами Тэйлора.

Рассмотрим узловые точки, показанные на рис. 2Д. Раз- 2 Ю Рнс. 2.1. Три последовательные узлолх вые тонин, используемые при разло- 1 женин в рвд Тэйлора лх х ложенне в ряд Тэйлора около узловой точки 2, расположенной посередине между точками 1 и 3 (так что Ах=хе — х,=-хз — х,), дает /ДФХ 1 ~'стзФХ Ф~ = Фе — ьтх ( — ) + — (ох),— Их 1з 2 Х Лхз~з Ср =етэ,+Л (1Ф) + 1 (ЛХ)з(~~~) + (2.2) (2,3) Отбрасывая члены обоих рядов, начиная с четвертого, вычитая и складывая уравнения, получаем Фз Ф1 ),= Их /з 2ах (2.4) ЛзФ '1~ Фь + Фз 2Фз — 1 ссхз / 3 Ртх) 2 (2.5) является следствие различных предположений о характере профиля зависимой переменной н способов получения аналога. До сих пор мы преднамеренно избегали упоминания конечноразностного или конечно-элементного методов.

Сейчас можно сказать, что данные методы можно рассматривать как две альтернативные версии метода дискретизации, описанного здесь в общем виде. Различие между ними вызвано способами выбора профилей и вывода дискретных аналогов уравнения. Находящийся, главным образом, в центре внимания данной книги метод имеет характер конечно-разностного метода, однако он содержит множество идей, характерных для конечно-элементного метода, Назвав настоящий метод конечно-разностным, можно было бы склонить читателя к широко распространенной практике использования конечно-разностных методов.

Поэтому назовем его просто методом дискретизации. В гл. 7 покажем, как из общих принципов, изложенных в этой книге, можно сконструировать метод, имеющий вид метода конечных элементов. Подставляя чти выражения в дифференциальное уравнение, можно полу шть конечно-разпостпое уравнение. В данном методе предполагается, что изменение Ф в зависимости от х близко к полппомиальному, так что высшими производными можно пренебречь.

Однако это предположение приводит к нежелательным последствиям, пзпример, для случая экспоненциального изменения Ф (вернемся к этому вопросу в гл. 4). Вывод с помощью рядов Тэйлора сравнительно прост, по менее гибок н не способствует пониманию физического смысла членов уравнения '. Вариациониый метод. Другой метод голучшшя дискретных аналогов основывается на вариапнонпом исчис.~снгги. Для полного понимания метода необходимо знать основы вариациопного исчисления. Однако для наших целей достаточно иметь общее представление об основных моментах метода. В вариационном исчислении показано, что решение данных дифференциальных уравнений эквивалентно минимизации соответствугощей величины — функционала.

Эта эквивалентность называется вариацггонналг прйнциполь Искомый дискретный аналог получается из условий минимума функционала относительно значений зависимой переменной в узловых точках. Вариационный метод очень часто используется в конечно-элементных методах исследования напряжений, где его можно связать с принципом виртуальных перемещении. Кроме математической сложности и трудности понимания основным недостатком метода является его ограниченная применимость, связанная с тем, что вариационный принцип существует не для всех представляющих интерес дифференциальных уравнений.

Метод взвешенных невязок. Эффективным методом решения дифференциальных уравнений является подробно описанный в (21) метод взвешенных невязок. Основной подход ппост и интересен. Представим дифференциальное уравнение в виде Ь(Ф) = О. (2.6) Предположим, что приближенное решение Ф имеет, например, внд Ф = ав+ атх+ паха+...+ а х, (2.7) где ат — неизвестные параметры. Подставим Ф в дифференциальное уравнение (2.6) и выделим невязку гс, которая равна: )с = 7.

(Ф). (2,8) Мы хотим сделать этот остаток в известном смысле малым. Предположим, что ) яр)ссгх = О, (2.9) ' Заметим, что это мнение полностью субъективно Читатель, обладающий соответствующей математической подготовкав, может прийти к заключению, что метод рядов Тэйлора весьма нагляден и осмыслен. где Й' — весовая функция, а интеграл берется по рассматриваемой области.

Характеристики

Список файлов книги