Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В.1. Сетка для численного расчета поля температуры шой части задач, имеющих практический интерес. Кроме того, эти решения часто содержат бесконечные ряды, специальные функции, трансцендентные уравнения для собственных значений и т. д., и их числовая опенка может представлять весьма трудную задачу'. Но уровень развития численных методов и наличие больших ЭЦВМ позволяют полагать, что почти для любой практической задачи можно составить математическую модель и провести ее численное исследование.
Идею численного подхода можно показать с помощью рис. В.!. Предположим, что нам надо получить распределение температуры а изображенной области. Допустим, что для этого достаточно знать температуру в дискретных точках области. Один из возможных методов ее получения — нахождение значений температуры в узловых точках сетки, на которую разбивается область, при этом для неизвестных значений температуры записываются и решаются алгебраические уравнения. Именно ' Мы не хотим этим сказать, что точное аналитическое решение не имеет практической ценности, Действительно, как будет показано в дальнейшем, некоторые особенности численных методов можно установить с помощью простых аналитических решений.
Кроме того, яст лучшего способа проверки точности численного метода, чем сравнение с точным аналитическим решением Тем не менее, по-видимому, не вызывает сомнений, что методы классической математики не дают практических путей решения сложных инженерных задач. !О 1' руина В: проблемы, для которых обоспованныс математические модели пока не разработаны (папритгср, сложныс турбулентные зечепия, тсчсиия некоторых нсиьютононских жидкостей, образование окиси азота при турбулентном горении, пеноторые двухфазные течения), Конечно, ответ на вопрос, в какую группу попадет данная проблема, будет зависеть от того, какую ыатетгатическ!чо лгодель чы считаем обоснованной. Недостатки длл еруппы г!. Монто утверзкдатгь гго д.ш большинства проблем группы А численное решение имеет очень большее преимущества псред экспериментальным иссчедованием.
Однако если цель исследования очень узкая (наприьгср, надо определить падение давления в сложных аппаратах), численное решение моькст быть нс дешевле, чем эксперимент. з(ля задач, включаю1ггггх сложную геометрию, сильные нелинейности, значительное изменение свойств жидкости и т. д, получение численного решения мо кет оназаться трудным и чрезмерно дорогостоящим, а то и невозмозкнызг. Наконец, сели математическая постановка задачи допускает более одного решения, трудно определить, соответствуют лн результаты расчета действительности. Недостатгш для группы Б. Проблемы этой группы разделяют все недостатки проблем группы Л.
11ополнятельио к пич здесь неясно, в какой мере численные результаты согласунзтся с действительностью. В этих случаях требуется экспериментальное обоснование результатов численного исследования. Исследованвя в области разработки математических моделей обусловливают переход проблем из группы Б в группу Л.
Они состоят из создания модели, получения путем численного рсшспия количественных результатов и сравнения их с экспериментальными данными. Таким образом, в этих исследованиях численные методы играют ключевую раль. Замечательный пример этой роли мозкно найти в недавних исследованиях моделей турбулентности. Популярные в пастоящее время и широко используемые модели турбулентности, включающие два уравнения, основаны, главпыьг образом, на работах А. Н. Колмогорова (32)' и лй Прандтля [64).
Однако только в 1970 г., когда были усовершенствованы ЭВМ и численные методы, такие модели стали использовать для практгщеских целей Выбор метода исследовании. Здесь не станилось целью путем обсуждения достоинств и недостатков численного ре~иения и экспериментального исследоваяия рекомендовать предпочесть расчет эсперименту. Правильному выбору метода исследования должна предшествовать оценка сильных и слабых сторон обоих рассмотренных выше методов применительно к рассматриваемому процессу, Эксперимент, несомненно, является единственным лгстодом исследования новых фундаментальных явлений.
В этом смысле расчет следует за эспериментом. Однако расчет более эффективен для изучения проблемы, включающей несколько вааимодсйствующих известных явленяй. Но и в этом случае надо обосновать результаты расчета путем сравнения их с экспериментальныыи даннымии. Таким образом, оптимальное исследование должно разумно сочетать расчет и эксперимент. Пропорция, в которую должны входить казкдый из инградиентов, будет зависеть от существа проблемы, от целей исследования и от имеющихся экономических и других ограничений.
Колмогоров А Н. уравнения турбчлентного движения несжимаемой жидкости. — Изв. ЛН СССР. Сер фнз, 1942, т. 6, № 1 — 2, с. 56 — 58 — Прим, иву г. ред. тпдвд 1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ >Л. Олрйдйпян>щнй днвг»йрВНцИАЛЬНЫа урдВНВНИя Численное решение задач, связанных с теплообмеиом, течением жидкости и другими сопутствующими процессами, можно начинать, когда законы, управляющие этими процессами, выражены в математической формс, обычно в виде диффереициальиых уравнений.
Подробный и полный вывод этих уравнений можно найти в стандартных учебниках. Наша цель заключается в ознакомлении с видом и смыслом этих уравнений. Будет показано, что все рассматриваемые здесь уравнения имеют одинаковую форму, определение которой является первым шагом в создании общего метода решения. Будут также рассмотрены некоторые свойства независимых переменных, использованных в этих уравнениях. Смысл дифференциального уравнения. Каждое пз рассматриваемых здесь дифференциальных уравнений выра>кает определенный закон сохранения. В каждом уравнении в качестве зависимой переменной используется некоторая физическая величина и отражен баланс между различными факторами, влияющими иа эту переменную.
Обычно зависимыми переменными в этих дифференциальных уравнениях явля>отса удельные свойства, т. е. свойства, отнесенные к единице массы. Примерами' являются массовая коицеитрация, скорость (т. е. количество движения единицы массы) и удельная эвтальпия. Члены дифференциального уравнения такого типа выражают воздействия иа единицу объема. Поясним сказанное иа примере. Пусть л — поток некоторой зависимой переменной 11>.
Рассмотрим показанный иа рис, !.1 контрольный обьем, стороны которого равны г(х, ду и дз, Поток, втекающий через одну поверхность площадью г(уг(г, обозначим У (У,— составляющая вектора 3), а поток, вытекающий через противополо>киую поверхность, обозначим Ул+ (дУ,.Удх)г(х. Таким образом, чистое истечение через площадку поверхности равно (дУ,./дх) г(хг(гуг(г. Рассматривая аналогичным образом потоки в направлениях у ' температура, весьма часто используемая в качестве зависимой переменной, не является удельным свойством.
Однако уравнение для нее выводится нз более фундаментальных ураннсннй, н которых в качестве завнснмых переложенных используются удельные внутренняя энергия нлн энтальпня. 13 и а, а также замечая, что ахх)дол — величина рассматриваемого объема, получаем чистое истечение на единицу объема дух дХл д1х — + — + —. = Й)чЯ. дх др дг (1.1) Такая интерпРетация айка осооенно полезна ввиду того, что, как будет видно ниже, построение численного метода будет выполняться па основе принципа баланса для контрольного объема. К единице объема относится также член д(рФ)/д1, который тх Кхх Лх ОПИСЫВает СКОРОСТЬ НЗМЕНЕН1И. — — Если йз — удельное свойство, а р — плотность, то рФ вЂ” количелх ство соответствующего экстенсив- 'Ы ного свойства в единице объема.
х Таким образом, д(рФ)/д1 — скорость изменения соответствующеРис. 1.1. Баланс потоков через кон- го свойства в единице объема. трольный объем Дифференциальное уравнение состоит из членов, каждый из которых выражает воздействие на единицу объема, а сумма— баланс этих воздействий. Рассмотрим для примера несколько стандартных дифференциальных уравнений и получим их обобщенную форму.
Сохранение химической компоненты. Пусть тх — массовая концентрация ' химической компоненты. При наличии поля скорости и уравнение сохранения тх записывается в виде — (Рт,) + ЙЧ (Рнтз + .)1) = Дхо д д1 (1.2р Здесь д(ртх)ххд1 — скорость изменения массы компоненты в единице объема; рит,— конвектнвный поток компоненты, т. е. поток, переносимый общим полем течения ри; Я,— диффузионный поток. обусловленный чаще всего градиентом массовой концентрации т.
Дивергенция этих двух потоков (конвективного п диффузионного) СОСтаВЛяЕт ВтОрсй ЧЛЕН дИффЕрЕНцИаЛЬНОГО ураВНЕНИЯ. ВЕЛНхсниа ХС, в правой части обозначает скорость образования компоненты в единице объема, обусловленного химической реакцией. Заметим, что в зависимости от того, что происходит в действительности— образование компоненты плн ее уничтожение, )сх может быть положительной или отрицательной.
Для нереагирующей компоненты Р,=О. Если для 3, справедлив закон Фика, то можно записать (1,3) Я, = — Гх вегас(ть ' Массовая концентрация лп химической компоненты 1 определяется как отношение массы компоненты 1 (в данном объеме) к полной массе смеси (в том же объеме). 14 где Г~ — коэффициент диффузии. При подстановке (1.3) в (1.2) получаем — (ртг) + б(у (рпт~) =. Йч (7, пгаб т~) + Яп д аг (1.4) Уравнение энергии. В наиболее общем виде это уравнение включает воздействия большого количества факторов. Так как нас интересует, скорее, форма, а не подробная запись членов уравнения, достаточно рассмотреть несколько частных случаев. В случае стационарного течения с небольшой скоростью и пренебрежимо малой вязкой диссипацией уравнение энергии можно представить в виде б(ч(рпй) = г(1ч(йдгабТ) + Я„, (1.5) где й — удельная энтальпия; й — коэффициент теплопроводности; Т вЂ” температура„5ь — объемная скорость выделения теплоты.
Член б(ч(й дгаб Т) описывает влияние переноса теплоты теплопроводностью внутри жидкости согласно закона Фурье. Для идеальных газов, твердых тел и жидкостей можно запи- сать с дгаб Т = пгаг( Ь. (1.6) Здесь с — удельная теплоемкость при постоянном давлении. Подставив это выражение в уравнение энергии, получим й(ч(рпй) = д(ч ~ — дгаг(й) + Я„. 'х с Если с постоянна, то зависимость й от Т упрощается до Ь=сТ (1.8) (1.7) :и уравнение энергии принимает следующий вид: сИч(рпТ) = б(ч~ — дгайТ + —. Ть ~ Яь ~ с с (1.9) Подобным образом можно выбирать в качестве зависимой переменной энтальпию нли температуру. Если считать скорость п=О, то получим уравнение стационарной теплопроводности г(1у (1г пгаг( Т) + Я» — — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
