Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ба Н стпть, что контрольный объем нулевой толщины примыкает к точке В, то расположение поверхности по отношению к узловым точкам В и т' будет соответствовать основному свойству способа 1!. При таком расположении нет необходимости в специальном уравнении дискретного аналога, записанном для контрольного объема, примыкающего к границе; имеющиеся граничные условия, такие, как заданная температура или тепловой поток, могут использоваться непосредственно на грани 1. Другие системы координат. До сих пор дискретные аналоги записывались с помощью сетки в декартовой системе координат. 'В остальной части книги почти везде будет употребляться та же система координат, поскольку она обеспечивает удобства записи и легкость понимания.
Однако излагаемые методы не ограничены сетками в декартовой системе координат, их можно использовать лля сеток в любой ортогональной системе координат. Для иллюстрации записи дискретного аналога в другой системе координат рассмотрим двухмерную задачу в полярной системе координат„ а именно и и О. Аналогом уравнения (3.42) в полярной системе координат является следующее уравнение: рс — = — — ~г)е — у! + — — ~ — — 1+ 5. (3.57) дТ ! д Г дТХ ! д /я дТХ д! г дг~ дг) г дО ~ г дО) Сетка и контрольный объем в координатах г, О показаны на рис.
3.15. Толщина контрольного объема в направлении оси принимается равной единице. Для получения дискретного ана- иа рис. 3.13, для способа 1 имеем вокруг граничной узловой точки половпнныи контрольный объем (введенный выше). В способе 11 удобно полностью заполнить расчетную область правильными контрольными объемами и расположить граничные узловые точки на поверхностях, примыкающих к граням контрольных объемов.
Этот случай показан на рис. 3.14. Типичная грань ! расположена не посередине между точкой В на границе и внутренней точкой 1, л проходит непосредственно через точку на границе. Если допу- лога умножим уравнение (3.57) на г и проинтегрируем соответственно по г и 0 в пределах контрольного объема (эта операция. дает интеграл по объему, так как гг(ге(О представляет собой элемент объема единичной толщины).
Следуя той же процедуре, что в Ч 3.4, получаем дискретный аналог: арТр —— аТ +а„,Т, +аТ~ +аТ ~6, (353ь где а = )г„г„ЛО1(бг)„; а' = рсЛ)г7ЛЛ ! р ав= й,Лг1г,(60),; а. = е Лг(г (ЬО)..; а = )г,г,ЛО1(бг),; 6 = БсЛ)г+ арТр', ар = а . + а, + а + аз + ар — БрЛ)', (3.59» З.7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Здесь сделан первый основной шаг в развитии численного метода решения общего дифференциального уравнения (1.13). Теплопроводность представлена как физический процесс, который включаст все составляющие общего уравнения, за исключением конвекции. Таким образом, имеется почти законченное построение метода решения.
Однако оставшаяся составляющая, а именно конвекция, приводит ко многим интересным и важным дополнительным соображениям. Трактоика конвекции не так проста, и, кроме. того, правильная трактовка является решакпцей прп анализе процессов н потоках жидкости. Ниже рассмотрены особенности, вносимые конвекцией в метод дискретизации, 63 Здесь Л)г представляет собой контрольный объем, равный 0,5(г„+ +г.,)ЛОЛ г (следует заметить, что Л(г может и не быть равным грЛОЛг, если Р не лежит посередине между и и з).
Приведенная выше иллюстрация показывает, что дополнительной особенностью введенной новой координатнои системы является,. главным образом, геометрия. Поскольку требуемые длины, площади и объемы рассчитываются соответствующим образом, то нет необходимости в новых правилах.
Дискретный аналог в любой. ортогональной системе координат можно записать аналогичным образом. Требование ортогональности, однако, будет существенным, если используются профили, рассчитываемые с помощью. двух узловых точек, То, что поверхность е контрольного объема на рнс. 3.15 перпендикулярна линии РЕ, позволяет рассчитать поток через поверхность, используя только температуры Тр и Те. Для. псортогональных сеток необходима более сложная запись дискретного аналога.
В остальной части книги для всех алгебраических уравнений используется только декартова система координат. Однако вся: процедура получения и решения уравнений равно применима к любой ортогональной системе координат, если введены явные геометрические преобразования. 'ЗАДАЧИ 3.1. Для схемы, показанной на рис. ЗЛ, при заданном значении температуры Т, объясните, как можно определить тепловой поток на границе после расчета температур во всех узловых точках (заметим, что попытиа аппроксимировать дТ(дх на гранпце ие соответствует методу контрольного объема; используйте для определения дэ уравнение для половинного контрольного объема).
3.2. Когда задано значение температуры на границе, уравнение для половинного ионтрольного объема (см. рнс, З,З) ве может быть использовано для получения поля температур. Означает ли это, что для всей расчетной области при заданных температурных граничных условиях не соблюден закон сохранения энергии (см. замечание к задаче 3.1). 3.3.
Граничное условие, выраженное уравнением (3,19), можно рассматривать как наиболее общее условие. Из этого условия можно получить два других ткпа граничных условий (заданную температуру и заданный тепловой потоп) как предельные случаи этого общего условия Объясните, как э~ого можно .достичь. 3.4. Рассмотрите дифференциальное уравнение и Т дТч — (а — ) =О. с(х ч дх) 'Введите новую переменную ть чтобы дц=(!Я)дх. Получите дискретный аналог, предполох нв, что Т является кусочно-линейной фувицней ть Выразите Ч в зависимости от х и коэффициентов теплопроводности в узловых точках, предположив, что иоэффициснт теплопроводностн, относящийся и узловой точке, прева.лирует в пределах контрольного объема, окружающего эту точку.
Проверьте, согласуется ли с уравнением (3.11) результирующее выражение для ав. 3.3. Получите из уравнения (3.1] дискретный аналог для случая 5=а+Ь Т, гдс а и Ь вЂ” постоянные Используйте кусочно-линейный профиль Т для расчета ,дТ!дх и 5. Объясните результирующий дискретный аналог, ссылаясь на правило 2. 3.6. Повторите вывод из 4 3.3, считая профиль Т(х] кусочно-линейным и для члена дТ,,'дй Для )=! (что означает полностью неявную схему) определите соседние коэффициенты аа н атг, ссылаясь на правило 2. (Заметили ли вы, что в соответствии с УРавнением (3.40) член дТ(дт ведет себв подобно 5=5сд+5,Т, и дТ/д] дает отрицательные значения 5г, если рассматривается иак -часть 5].
3.7. Для смешанной радиационно-иондуитивной задачи источниковый член выражается как 5=а(Т,' — Т'), где а и Те — постоянные, а — положительная величина. Запишите аппроксимирующую лкнеарнзацию для источникового члена, 3.8. Источниковый член для зависимой переменной Ф определяетсв как 5=А — В]Ф]Ф, где А и  — положительные постоянные. Если шот член линеаризован в виде 5с+5гФг, объясните следующие случаи (Фчн означает значение с предыдущей итерации): 1) 5 =А — В,5 =О; 2) 5С-— -А, 5р= — В)Ф~,~; 3) 4) с4 5С=А+В!ФР|Фр, 5Р= 2В)ФР! 5г = А+ 9В ~Фл! Ф 5Р— 10В! Фр 3.9. Рассмотрите одномерную задачу тсплопроводиости с 5=2 и 9=1.
Если четыре узловые точки х=О; 1; 2; 3 занимают область длиной 3, запишите четь.ре уравнения дискретпага аналога (включая уравнения для половинных контроль- ных объемов), используя следующие граничные условия: при х=О тепловой поток, направленный внутрь области, равен 5; при х=3 тепяовой поток, направ- ленный в окружающую среду, равен 11.
Решите этн уравнения с помощью: 1) Т))МА; 2) итераций Гаусса †Зейде; 3) полагая температуру в первой узловой точке равной 100 и применяя ТОМА к трем оставшимся уравнениям; 4) для случая 3 решите уравнения методом Гаусса — Зейделя. Лоясяение. Прн заданных граничных условиях значения Т определяюзся нсодиозначно — разности температур определены, а нх абсолютные зяачения— нет. Следовательно, методом 1 решенве получить нельзя. Решения, полученные методами 2 и 3, будут вообще отличаться на постоянную, Сходимость метода 2 будет более быстрой, чем метода 4. Поэтому лучше сделать так, чтобы решение само выходило па некоторый уровень, чем задавать какое-либо значение в кон.
кретиой узловой точке. 3.10. Для неявной схемы (3.39) дает критерий устойчивости для одяомер- ных задач, Получите критерий для двух- и трехмерных задач, очная, что коэффициент Тзя должен оставаться положительным, 3.11. Боковые поверхности полуограниченной пластины толщиной 8 единиц поддерживаются при температуре 100. Поле температур описывается уравнением (3.1) с й=5 и 3=50 соответственно.
Используя только несколько узловых то- чек, получите численное решение методом, изложенным в этой главе. Сравните найденные значения Т с теми, что получены при точном решении, (Если сетка сконструирована согласно способу 1, согласие с точным решением будет лучшим, Почему?) 3.12. Запишите следующую задачу через соответствующие безразмерные переменные, Уравнение сохранения имеет вид где л н 5 — постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
