Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Сначала найдем аппроксимацию двухмерного уравнения, но ту же процедуру применим и к трехмерному случаю. Рассмотрим контрольный объем (рис. 4.9). Используя опыт, приобретенный при анализе одномерной задачи для получения суммарного теплового потока Х„ и предположив, что найденное выражение применимо ко всей грани контрольного объема площадью ЛуХ!, смо- ГЩ и жем сразу записать дискретный ана ит 1' " а) 1~ е лог для двухмерной задачи. зи л зл Подробности получения дискрет- 7к ного аналога. При рассмотрении одномерного случая было показано, что а„л оказывается равным ан+пи только тогда, когда удовлетворено уравнение д х неразрывности. Таким образом, лаше рнс Ч.д Контрольный объем основное правило относительно суммы (заштрихованная область) ллн соседних коэффициентов (правило 4) двухмерного случая может быть удовлетворено только тогда, когда в рассмотрение включено уравнение неразрывности. Этот вывод подтверждается следующим образом.
Уравнение (4,2) в двухмерной форме можно представить в виде (4.50) где источниковый член линеаризован стандартным образом, а для пестациопарцого члена р, и Фр полагаются преобладающими по всему контрольному объему. Старые значения (на предыдущем шаге по времени) обозначаются рр' и чер'. В соответствии с полностью неявным способом аппроксимации все другие величины (не имеющие верхних индексов) рассматриваются как новые значения. Величины У„У„,, У„и Уе представляют собой проинтегрированные по граням контрольного обьема суммарные потоки, т, е. Уе= ( У,ду для грани е и т.
д. Аналогичным образом можно проинтегрировать уравнение неразрывности (4.1) по контрольному объему (Рр Рр) ахЬу+ Š— Е -ь Š— Е = 0 (4.51) Ь1 тдс Р„, Р., Е„и Ге — массовые расходы потока через грани контрольного обьсма. Если ри в точке е считается преобладающей по всей грани е контрольного объема, то Р, = (ри),Лу. (4. 52а) .Аналогично Р„= (ри)„Лу; Р„= (рп)„Лх; Ре = (рп)вЛх. (4.52б) 'Если умножить уравнение (4.51) на Фр и вычесть его из уравнения (4.50), получим рр ЬхЬУ (ФР Фр) + (Уе ЕвФр) (Ув Р~Рр) + (Ув РвФр) (4,53) — (У, — г еФр) = (ос + о рФ ) ЛхЛу " .Этот способ с использованием (4.50) и (4.51) позволяет получить (4.53), являющссся дискретным аналогом комбинации уравнений (4.1) и (4.2), на основе которых получено (4.3).
Другим способом ;аз тде У„п ӄ— суммарные (конвекция плюс диффузия) по~оки, опре- .деленные следующим образом: ӄ— = риФ вЂ” ГдФУдх; (4.49) Уу = рпФ вЂ” ГдФ,'ду, где и, о — компоненты скорости в направлениях осей х и у. Инте- грированис уравнения (4.48) по контрольному объему, показанному ,на рис. 4.9, даст ф ь ацеа ЬхЬ ( р Ф вЂ” "'в ) Ь'Ь + У, У + У„У, .=- (де+ В„Ф,) Лхл, ьг можно получить дискретньш аналог пз уравнения (4.3), по этот способ пе так удобен. Предположение о постоянстве ряда величин па гранях контроль- .ного объема дает возможность применить опыт, полученньш при :анализе одномерной задачи, к двухмерному случаю.
Папомним здесгь что (4.44) п (4А5) дают способ выражения таких членов, как У, — РА1>р и У вЂ” Р„Ф,. Используем это следующим образом: 1,— Р.Фр = ар(Фр — Фе); (4 54) У, — Р,„Фр = а, (Фм — Фр), аг —.— РеА(~ Р, ~) + [] — Р„О[];) а„=П„,А([Р [)+[[Р., 0]]. / (4.55) Здесь б, и 1)„, подобно Р,, и Р„содержат площадь ЛуЭС! граней е и ю [см.
(4.58)]. Используя выражения для Մ— Р„Фр и У, — Р,,Фр, можно записать окончательный впд дискретного аналога. Уравнения (4.54) свидетельствуют, что правило относительно суммы соседних коэффициентов легко выполняется. Когда заданные поля скорости и плотности удовлетворяют дискретному аналогу уравнения неразрывности, приведенные выше вывод и вывод, основанный на (4.50), будут давать идентичные ,дискретные аналоги.
Однако когда заданные поля пе удовлетворяют уравненпкэ неразрывности, эти два вывода дают разные уравнения и приводят к разным решениям. Предпочтем запись, которая удовлетворяет основному правилу по причинам, изложенным в гл. 2. В каком случае можно встретиться с полями течения, которые ие удовлетворяют уравнению неразрывности? Такая возможность появляется, поскольку часто поле течения не является действительно заданным, а рассчитывается итерационным методом точно так же, как и зависящий от температуры коэффициент теплопроводности в задаче теплопроводпости.
Перед тем как достигается окончательная сходимость, приближенные поля течения на промежуточных итерациях могут не удовлетворять уравнению неразрыв~ности. По этой причине необходимо специально заботиться о соблюдении правила 4. Окончательный вид дискретного аналога. Двухмерный днскретмый аналог можно записать в следующем виде: арФр = а .Фр+ арФя + арФч + азФз + Ь, (4 55) где 83 'аа = !эеА (] Ре [) + [] Рр, О ]]; аа... = ВюА ([ Р~ [) + [] Р р О ]]~ а =ьЭ„А(! Р„]) +[[ — Р„, О]]; а = Р,А ([Р, [)+ [[Р„О []; Ь =.
осйхйд+ а',Фр, (4,57) Рр ахами о Л! ! Здесь Ф,Р и р,Р обозначают известные значения для времени а все другис величины (Фр, Фв, Фв, Фх, Фь н т. д.) представляют собой неизвестные величины для времени 1+ЛЛ Массовые расходы ЄЄ., Р„и Р„определены уравнениями (4.52). Соответствующие проводимости представим в виде О, = Г,Лу/(бх).; Пр =-.
Г,Лу((бх) .;( В„= 1„Лх/(бу)„; ГТ,=- Г,Лх1(Лу)р ( (4. 58) а числа Г1екле Р, =- Р,(о;, Р =- Р...)0,; Рр =. Р,рЮ,; Р, =:= Р,!О,. (4.59) Функцию А()Р1) можно взять нз табл. 4.2 соответственно выбранной схеме. Рекомендуется схема со степенным законом, для которой А(~ Р ~) = Ц О, (1 — О, 1 ~ Р 1)' 1). (4. 60 ) 4.4 ДИСКРЕТНЫЙ АНАПОГ ДЛЯ ТРЕХМЕРНЫХ ЗАДАЧ Запишем дискретный аналог, основываясь на общем дифференциальном уравнении (4.2). Таким образом, для трехмерной задачи (с Т и Ро представляющими верхнюю и нижнюю грани в направлении оси г) а Фр=авФв+а,Фя +амФК+а Фа+а Фт+авФв-+Ь, (4,61) где а =Врй(1 Р,)) +И вЂ” Р„01); а, = В А(1 Р ()+ ЦР, 0)); а, = В„А(! Р ~) + (( — Р„, 01); а = Р,А(1 Р,() + (1Р„011; ат =О,А(~ Р, 1)+ (( — Рр 011; ав РьА((Рь 1)+ П Рь 01)' Рр а дуда ар =,' Ь =- ЗСЛхЛуа+ ар Фр', Ы ар = а .
+ а, +а, + аз+ ат+аз+ а' — ЗрЛхЛуЛа. ~ (4.ба 84 Следует отметить, что даже на этой стадии физический смысл различных коэффициентов в (4.56) понятен. Коэффициенты в со'-седних точках ав, а„, ан и аз учитывают влияние конвекции и диффузии для четырех граней контрольного объема, которые заВисят от массового расхода Р и проводимости 4э. Член ар Фр характеризует известную величину Ф для контрольного объема (для времени 1), отнесенную к шагу по времени. Оставшиеся члены можно интерпретировать аналогичным образом. ай!всходы и проводимости определяются следующим образом: Р ( ) Лул, В (ьх)е Р,„, = (ри).
ЛуЛг; В„= —"— Г.ддЛг (бх).„ Грагах = (бу)„ Р, == (ри), ЛгЛх; В, =- —"— Гстхдг (бу), Г,ахау В,=- —- (Ьг)! ГЬахчу Рь = (рп1)1ЛхЛу' Вь = —— (бг)ь Р„= (ро), ЛгЛх (4. 63) Р, .= (рцг)! ЛхЛу Л(( Р () = ((0, (1 0,1 ) Р !)'(1. (4. 64) 4.5. ОДНОСТОРОННЯЯ ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КООРДИНАТА В гл. 1 отмечалось, что координаты могут подразделяться на одно- и двухсторонние, причем односторонняя координата имеет некоторыс расчетныс прсиму1цсства. Время является односторонней коорлинатой, и это по сун1еству использовалось в организации процедуры движения во времени. При рассмотрении задачи конвенции и диффузии показано, 1!то пространственная координата может также стать односторонней.
Что делает пространственную координату односторонней. Из рис. 4.4 или 4.6 видно, что коэффициент в соседней вниз по потоку точке становится малым, если число Пекле велико. Если число Пекле больше 10, то согласно схеме со степенным законом коэффициент в близлежащей точке вниз по потоку будет равен нулю (комбинироваиная схема дает пулевое значение для чисел Пекле, больших 2).
Предположим, что в двухмерном случае (рис..6.10) имеет место высокая скорость течения в положительном направлении оси х, тогда для всех узловых точек Р в направлении оси у коэффициенты ар будут равны пулю. Другими словами, Фр зависит от Ф,ч, Ф, и Фа, ио не от Фв. Таким обРазом, кооРдината х станет односторонней, так как значения Ф в любой точке не будут зависеть от сс значений вниз по потоку. Процедура пошагового перемещения будет, таким образом, возможной в направлении оси х. Даже если пространственная координата нс является олносторонней в пределах всей расчетной области, ее локальное одно- 85 Число Пекле Р определяется как отношение Р и В, таким образом, Р,=Р,(В, и т.
л. Значение функции Л((Р)) приведено в табл. 4.2 для различных схем. Для аппроксимации со степенным законом эта функция имеет вид односторонней Рнс. 4.10. Зсдачв с косрдннатой Рвс. 4,11. Пркыер выходной транпш.. нотокв стороннее поведение часто используется при аппроксимации граничных условий.
Условие на выходной границе потока. Аппроксимация граничных условий детально рассматривалась в гл. 3. Предполагается, что аналогичная аппроксимацпя применима для задачи конвенции и диффузии. Однако на выходной границе потока, т. с. там, где жидкость покидает расчетную область, обычно неизвестны ни значения Ф, ни ее поток. Например, для выходной границы (рис.' 'р.11) могут быть неизвестны значения температур или теплового потока. Как в этом случае можно решить задачу? Ответ удивительно прост: на выходной границе потока нет необходимости иметь информацию. Рассмотрим узловую точку, показанную на вставке рис.
4.11. Для всех узловых точек Р, ближайших к выходной границе потока, коэффициенты ад=О, если число Пекле достаточно велико. Таким образом, все коэффициенты, умноженные на граничные значения, будут равны нулю, и, следовательно, нет необходимости в граничных значениях. Другими словами, в области вблизи выходной границы потока для больших чисел Пекле наблюдается локальное одностороннее поведение; поскольку точки иа границе расположены вниз по потоку от расчетной области, то оии не влияют на решение.
Рассмотренный выше вывод справедлив для очень больших чисел Пекле. Но при отсутствии информации о граничных условиях всегда можно предположить, что диффузионный коэффициент Г на внешней границе мал, т. е. оправдывается допущение о больших числах Пекле. К такому предположению, которое немного не соответствует действительности, необходимо прибегнуть, если надо получить осмысленные решения при отсутствии какой-либо информации о выходной границе потока. Неточность результатов, если она имеется, вызвана предположением о возможности рассматривать расчетную область изолированной от той части, которая лежит вниз по потоку за выходной границей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
