Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Другими словами, эти точки лежат на от- Рнс 5.5. Расположение и в шахматном порядке: Гориааитальиые стрелки — места алределеши и, точки — места алрелелеиии лрхги:с леремеиеык Рне 5.6. Расположенне и н о в шахматпоьт порядке: Обозначения те же, что н на рнс 5.5, всртнкальвые стрелки — места определения л резках, соединяющих две соседние (вдоль оси х) основные узловые точки. Находится ли точка, где определяется и, точно поссрсдине между основными узловыми точками, зависит от того, как выделены контрольные объемы. Узловая точка для и должна лежать на грани контрольного обьема независимо от того, находится ли последняя посередине между узловыми точками нлп иет.
Легко выбрать способ размещения узловых точек для составляющих и п ш. На рнс. 5.6 показана двухмерная сетка, где узловые тцчки для и и о помещены на соответствующих гранях контрольных объемов. Точно таким же образом можно сконструировать соответствующую трехмерную сетку. Прямым следствием введения шахматной сетки является то, что массовый расход через грани контрольного объема (см. гл. 4, коэффициенты )г) можно теперь определять без интерполяции соответствующей составляющей скорости. Однако важное преимущество шахматной сетки связано ие с этой особенностью, хотя она и дает некоторые удобства при записи дискретного аналога обобщенного дифференциального уравнения для Ф. Имеются два важных преимущества. Видно, что для типичного контрольного объема (заштрихованный участок на рис. 5.6) дискретный аналог уравнения неразрывности содержит разности составляющих скорости в соседних точках, а это приводит к тому, что волнистое поле скорости (см рис.
5.4) не будет удовлетворять уравнению неразрывности. При использовании шахматной сетки только физичные поля скорости могут удовлетворять уравнению неразрывности. Другое важное преимущество шахматной сетки заключается в том, что разность давлений между двумя соседними узловыми точками определяет составляющую скорости в точке, расположенной между этими узловыми точками. Поэтому такие поля давления, какие показаны на рпс.
5.2 и 5.3, не будут восприниматься как равномерные и не могут использоваться как возможные решения. Итак, описанные в З 5.2 трудности являются результатом расчета всех переменных в одних и тех же узловых точках; они полностью исчезают при использовании шахматных сеток. Однако следует учесть, что прн использовании шахматной сетки надо предусмотреть в программе для ЭВМ соответствующую индексацию и хранение геометрической информации, связанной с расположением узловых точек для составляющих скорости, а также дополнительную интерполяцию результатов. Однако преимущества использования такой сетки намного превосходят дополнительные сложности.
5.4. УРАВНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ Еще раз напомним, что при заданном поле давления решение уравнений количества движения можно получить с помоьцью дискретного аналога уравнения для обобщенной переменной Ф (см. гл. 4). Для уравнения количества движения Ф обозна шет одну из составляющих скорости н коэффициенту Г и свободному члену о следует придать соответстнующий смысл.
Прп использовании шахматной сетки дискретные аналоги уравнений количества движения несколько отличаются от дискретных аналогов уравнений для других Ф, рассчитываемых в узлах основной сетки. Однако это отличие относится к несущественным деталям. Оно связано с использованием для аппроксимации уравнений количества движения контрольных объемов на шахматной сетке. Контрольный объем для уравнения количества движения в направлении оси х показан на рис.
5.7. Если иметь в виду точки для А, А„ Рис. 5.8. Контрольный объем для с. Обозначения те же, что и па рис, 5.6 Рнс. 5.7. Контрольный обт ем для и. Обозначения тс ис, по п па пис. 5.5 нахождения только составля|ощей и, в этом контрольном объеме нет ничего необычного. Его грани лежат между точкой е и соответствующими соседними точкамн для и. Однако он смещен по отношению к обы шому контрольному объему, расположенному вокруг основной узловои точки Р.
Смещение объема произошло только в направлении оси х таким образом, по перпендикулярные этому направлению грани проходят через основные узловые 100 точки Р и Е. Отсюда видно одно из главных достоинств шахматной сетки; разность рг — рв можно использовать для расчета силы давления, действующей на контрольный объем для скорости и. Для расчета коэффициента диффузии и массового расхода на гранях контрольного объема, показанного на рис. 5.7, потребуется соответствующая интерполяция, но можно применять практически ту же формулировку, которая была описана в гл.
4. Результирующий дискретный аналог можно записать в виде а,и, = 2, а„„и„„+ Ь + (р — р ) А,. (5.6) и„о„= ~;~„р„„+Ь+(р — р ) А„, (5.7) где (рг — рн)А„— соответствующая сила давления. В трехмерном случае аналогичное уравнение можно записать для составляющей скорости ж. Уравнения количества движения можно решить только н том случае, если поле давления задано или каким-то образом найдено.
Если при решении использовать неверное поле давления, найденное поле скорости не будет удовлетворять уравнению неразрывности. Выразим такое поле скорости, полученное с использованием приближенного поля давления р*, через и", о*, ю'. Это поле скорости находится в результате решения следующих уравнений: и„и,*= ~и ьи ь+ Ь+ (Р"„— Р~) А,; (5.8) (5.9) (5.10) и„о„= ~ и„ь о„ь + Ь + (р~ — ри) А„~ а,г*, -- ~' а„ью„"ь + Ь + (р — р' ) Ао 101 3десь число соседних членов зависит от размерности задачи.
Для двухмерной задачи на рис. 5.7 показаны четыре точки вне контрольного объема, значения скорости в которых входят в соседние члены в (5.6); в трехмерном случае войдут шесть соседних значений и. Значения коэффициентов апь связаны с влиянием совместных конвективных и диффузионных процессов на гранях контрольного объема. Член Ь определяется так же, как в (4.57) и (4.62), но градиент давления не включен в составляющие источникового члена 5с пли 5п. О градиентом давления связан последний член в (5.6). Так как требуется определить поле давления, было бы нецелесообразно включать давление в источниковый член уравнения количества движения.
Член (рг — рв)А, представляет собой силу давления, действующую на контрольный объем для и, а А„, — площадь поверхности, на которую действует этот перепад давления. В двухмерном случае А„=-ЛуХ1, в трехмерном А,= =ЛуХЛг. Уравнения количества движения в других направлениях аппроксимируются таким же образом. На рис. 5.8 показан контрольный объем для уравнения количества движения в направлении оси у; он смещен вдоль оси у. Дискретный аналог будет иметь вид В этих уравпенпях составлягощим с!'Оростн и давленРНО приписан верхнии индекс ь~. Отметим, что точка 1 лежит на сото шой линии, направленной вдоль оси г и проходящей через узловые точки Р и Т.
5аь пОпРАВки скОРОсти и дАВления Найдем способ улучшения:!риближенного поля р таким образом, чтобы результирующее поле скорости с каекдой итерацией лучше удовлетворяло уравнению неразрывности. Предположим, что истинное давление находится нз соогпошеппя (5.11) где р' назовем поправкой давления.
Надо выяснить, как будут изменяться составляющие скорости в соответствии с таким изменением давления. Аналогичным образом введем соответствующие поправки составляющих скорости: и .= и* т и', и = о*+ о'! и! = Тее + ге'. (5.12) Вычитая (5.8) из (5.6), получаем а~и, = 2еа„ьи„ь+ (Рр Ра) А.
(5.18) Теперь выбросим член навьи',ь из уравнения, Это пренебрежение подробно обсуждается в $5.7. Здесь мы нс будем обращать внимания па этот момент или будем рассматривать его просто как вычислительный прием. В результате получим а,и, = (р! — Рл) А, (5.14) или ие = г(е (Рр Рв) (5.15) где (5.16) г~, =— А,/а,. Уравнение (5.15) назовем поправочной формулой для скорости. Его можно переписать в виде и = ие + г1е (Рр Рл). (5.17) Отсюда видно, какой должна быть поправка к значению скорости и,*, определяемая поправками давления, чтобы получилось значение и, Аналогичным образом запишем поправочные формулы для других составляющих скорости: о„= од + с!ее (Рр Ь') (5.18) иг = нег+ ггг(рр — Рг), (5.19) г02 Итак, мы провели предварительный анализ перед выводом уравнения для сеточных значений Р', сам вывод уравнений приведен ниже.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
