Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Использование нижней релаксации в отношении этих скоростей помогает поддерживать значения скоростей со звездочкой также в разумных пределах и источники массы малыми. К тому же решение других уравнений для Ф на каждой итерации может быть основано на поле течения, которое удовлетворяет балансу массы. Для того чтобы реализовать эти преимущества, необходима одна предосторожностгп коррекции скорости пе должны подвергаться нижней рела ко а пни. 10.
При получении уравнения для р' предполагалось, что плотность известна; влияние давления на плотность ие учитывалось. Это можно рассматривать как дополнительное приближение в уравнении для р' и можно обосновать аналогичным образом. В конце концов, суть любого итерационного метода состоит в том, что в уравнении уделяется внимание нескольким существенным воздействиям, а многие другие величины рассматриваются как условно известные, но рассчитываемые для следующей итерации. Плотность рассчитывается из соответствующего уравнения состояцпя. Оио может включать зависимость от температуры, концентрации и даже от давления. До тех пор пока не будет получено сходящееся решение, приближенный вариант уравнения для р' является достаточным.
Однако для сильно сжимаемых (особенно сверхзвуковых) потоков зависимость плотности от давления является настолько существенной, что появляется большая вероятность получить расходящееся решение Для таких случаев желательно получить «сжимаемую» форму уравнения для р' (см. задачу 5.6). 11. Можно заметить, что уравнение для р' подобно дискретному аналогу уравнения теплопроводностн, В формуле для поправки скорости коррекцию скорости и,' можно рассматривать аналогично тепловому потоку, вызванному разностью температур Р~ — рв'.
12. Тип уравнения для р', подобного уравнению теплопроводностн, означает, что одностороннее поведение проявляется по любой пространственной координате. Хорошо известно, что влияние давления является двухсторонним или эллиптическим. Одностороннее поведение при течении в пограничных слоях достигается 107 при введении дополнительнного допущения о поле давления, например в пограничных слоях изменением давления, нормального к стенке, пренебрегается.
Сиерхзвуковые потоки проявля1от одностороннее поведение в том, что давление вниз по потоку не изменяет условий вверх по потоку. Прн расчетах сверхзвуковых потоков будем использовать уравнение для р' в «сжимаемой» форме. Коэффициенты в этом уравнении подобны тем, которые имеют место в задачах коивекции и диффузии и, значит, делают приме- нимым одностороннее поведеппе при соответ( ствующих числах Маха. Граничные условия к уравнению для поправки давления. Уравнения количества движеник — специальный случай общего урав- Г пения для Ф, и поэтому общая аппроксимация граничных условий для пего также применима. и г Однако поскольку уравнение для р' не является одним из основных уравнений, следует 5 дать некоторое пояснение к аппроксимации граничных условий для этого уравнения.
Обы шо имеется два вида условий на гра- '.10 ~си»пал" нице. Либо задано давление па границе (и хоььааая ьпльсть1 скорость является неизвестной), либо опредена ге«виве лля урьь- лена компонента скорости, нормальная к гранение неразрывности. Заданное давление ва грвнпце. Если предполагаемое поле давления р« принимается таким, что на границе р»=-рььлмь то значение р' на границе будет пулевым. Этот случай аналогичен граничному условию с заданной температурой в задаче теплопроводпостп.
Заданное значение скороеги, нора альмой к границе. Если сетка строится таким образом, что граница совпадает с гранью контрольного объема, то этот случай будет подобен тому, который показан иа рис. 6.10. Скорость и,. является заданной. При получении уравнения для показанного контрольного объема сьоросзь потока через граничную поверхность будет выражена не через и,«и соответствующую поправку, а через само и„. В этом случае значение ре' в уравнении не появится или ав будет равно нулю в уравнении для р'.
Таким образом, информация о рнг не будет нужна. Относительный характер давления. Рассмотрим стационарное течение с постоянной плотностью, в котором нормальные скорости заданы на всей границе. Поскольку давление на границе не определено н все коэффициенты на границе, такие, как ак, будут нулевыми, то из уравнения для р' нельзя определить абсолютное значение р'.
Коэффициенты уравнения для р' являются такими, что ар — — Хаьь 1ськ (5.23)]; это означает, что р' и р'+С (С вЂ” произвольная постоянная) удовлетворяют уравнению для р'. Этот случай, одна~ о, пе грсдсзавляет действительноп трудности. Для такой задачи (п,ютность не зависит от давления) абсолютные значения давления и, следовательно, коррекции дав- 108 ления являются вообще ненугкными, имеют смысл только разности давлений, которые не изменяются из-за произвольной постоянной, добавляемой к полю давления р'.
Давление в таком случае является относительной, а не абсолютной переменной. Если абсолютное значение р' является ие единственным, будет ли вообще получена расчетная сходимость? Но любой итерационный метод решения алгебраических уравнений дает сходимость решения, абсолютное значение которого определяется начальным приближением. Прямые методы, однако, сталкиваются с вырожденной матрицей и не дают решения. Чтобы избежать этого, можно произвольно определить значения р' в одном контрольном объеме и решить уравнения для р' для оставшихся контрольных объемов. Аналогичный способ можно использовать в итерационном методе.
Позволяя поправке давления р' самой искать свой уровень, получим более быструю сходимость, чем при задании определенного значения в некоторой точке (см. задачу 3.9). Кроме того, неопределенность поля давления р' свидетельствует о том, что уравнения неразрывности, записанные для всех контрольных объемов, не представляют собой линейно-независимую систему. Поскольку в правильно поставленной задаче заданные на границе скорости должны удовлетворять обьцему условию сохранения массы, то уравнение неразрывности для последнего контрольного объема не передает какой-либо информации о том, как выполняются уравнения неразрывности для всех других контрольных объемов. Таким образом, даже если уравнение для одного контрольного объема отбрасывается (и значения здесь задаются), то результирующее скорректированное поле скорости будет удовлетворять уравнениям неразрывности для всех контрольных объемов.
Во многих задачах значеиг~я абсолютного давления намного болшпе локальных разностей. Если использовались абсолютпые значения давления р', то погрешности округления будут достигать при расчете значений р,,-- ри, Поэтому лучше положить р.=О в качестве характерного значения в соответствующей узловой точке и рассчитать все другие значения р как давление относительно этого характерного значения. Аналогично перед тем как решается уравнение для р' на каждой итерации, полезно начать с предположения, что р'=0 для всех точек, чтобы решение для р не достигало большой абсолютной величины.
Когда давление в некоторых граничных точках определено или плотность зависит от давления, неопределенности уровня при расчете давления не возникает. 5.В. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ АЛГОРИТМ ЯМРЕЕП Алгоритм 81МР1Е широко используется и дает удовле ворительные результаты. 1-1апример, все расчеты течения жидкости, представленные в гл.
8, были выполнены с использованием этого алгоритма. Однако при попытках улучшить его скорость сходи- 109 Заметим, что й, определяется скоростями в соседних близлежащих точках и не содержит давления. В этом случае уравнение (5.25) принимает вид и, = и,+с(,(рр — р,). (5,27) Аналогично запишем пп = иь + А~ (Рр — Ри)1 гв~ = %+ г(з (Рр — Рг). (5.28) (5.29) по мости был оазработап модифицированный вариант алгоритма. Этот вариант получил название 81М1з1 ЕК (5!МР1.Е Ксч1зсо) [43[. Причина разработки модифицированного варианта.
Приближение, принятое прн выводе уравнения для р' (отбрасывапие члена Хиаьи'аь), даст несколько завышевн)чо поправку для давления, и, слсдовазсльно, становится необходимым использование метода шш ней рслаксацяи. Поскольку влияние поправок скорости в соседних близлежащих точках не присутствует в формуле для поправки скорости, то поправка давления содерзкпт полный набор значений скорости, которые корректируются, и это сказывается на полях корректируемого давления. В большинстве случаев разумно предположить, что уравнение для поправки давления корректирует значение скорости, по не давления. Учить вая эзо, рассмотрим очень простую задачу, в которой имеется одномерный поток с постоянной плотностью и заданной скоростью на входной границе. Нетрудно видеть, что скорость в этой задаче определяется только уравнением неразрывности н,- е, сдовательно, удовлстворяюШее уравнению неразрывности поле скорости, полученное в конце первой итерации, будет окончательным.
Однако рассчитанное давление вследствие приближенного характера уравнения для р' далеко от окончательного решения Прежде чем будет получено сходящееся поле давления, следует сделать много итераций, хотя корректное поле скорости получастся намного раньше. Если применять уравнения для поправки давления толю о для коррекции скоростей и обеспечивать некоторые другие способы получения улучшенного поля давления, то получим более эффективный алгоритм. Это и составляет существо алгоритма 51МР1 ЕК. Уравнение для давления. Уравнение для нахождения поля давления можно получить следуюшим образом: уравнение количества движения (5.6) сначала запишем как (5.25) ае где а, определено (5.16). Найдем теперь псевдоскорость й;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
