Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Ь.Ь. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ПОПРАВКИ ДАВЛЕНИЯ Преобразуем уравнение нерззрывности в уравнение для поправки давления. Предпологкнм, что плотность р непосредственно не зависит от давления. Смысл этого предположения будет рассмотрен ниже. Вывод уравнений проведен для трехмерного случая, Легко можно получить уравнения также для одно- и двухмерного случаев. уравнение неразрывности имеет вид др/д! + д(рееУ~дх+ д(рп)/ду+ д(ргв)(да = О. (5.20) Проинтегрируем это уравнение по показанному на рис, 5.9 заштрихованному контрольному объему (на рисунке показано только двухмерное сечение). Напомним, что такой контрольный объем использовался м при выводе дискретного аналога уравне- иае ния для обобщенной переменной Ф. Прп интегрировании члена др/д! предположим, что значение плотности во а, "е всем контрольном объеме равно рр.
Так- и же будем считать, что значение массовой скорости на всей грани контрольного объема определяется значением составляющей скорости и„в точке е. В соот-' х ветствии с полностью неявной аппроксимацией предположим, что новые значения скорости и плотности (в момент времени !+Л!) преобладают на всем шаге ло времени; старое значение плотности еоге (в момент времени !) будет входить только из-за наличия члена д!г/дй В этих предположениях интегрирование уравнения (5.20) дает (Рр — рр) Лхауаг + [(ри), — (ри) [ ЛУЛа+ [(рп)„— (рп),1 ЛаЛх+ (5.21) + [(рщ), — (ргв)ь[ ЛхЛу = О.
Если теперь вместо всех составляющих скорости подставить их выражения из поправочцых формул для скорости [таких, как (5.!7) — (5.!9)), то после группировки соответствующих членов получим следукгщее уравнение для сеточных значений Р'. и Рг= паР'„+ пмРУ+ и Р~+ и Р + и Р + пара+ !г, (5 22) !03 где аз:= р,с[,ЛуЛг; ам = р„,с(. ЛуЛг; аи — †ри„ЛгЛх; а» =-р,с(,ЛгЛх; аг — — р,>[,ЛхЛу; аз -- рьс[ьЛхЛу; а,,=ад+а, +а +а +ах+аз, (5.23) (ог~ — ог) Лхлулг Ь = ' ' + [(ри*). — (ри"),[ ЛуЛг -1- [(рп'),— — (рп»)„1 ЛгЛх + [(рп>*)ь — (рш*),1 Лхбу, $.7.
АПГОРКТМ ЯМРьЕ Процедура, разработанная для расчета поля течения, получила название ЫЬ4Р? Е (5еш1-!тр1[с11 Ме([>ос[ !ог Ргеззпгс-[лп[сес1 Ецпа!1опз), что означает полунеявный метод для связьтвзчощих давление',уравнений. Обсудим смысл этого названия несколько позднее. Данная процедура описывалась в [10, 41, 54, 55). Последовательность операций.
Ниже перечислены основные операции в порядке их выполнения. 1. Задание поля давления р*. 2. Решение уравнений движения, таких, кзк уравнения (5.8)— (5.10), для получения и*, и*, и>"'. 3. Решение уравнения для р'. 4. Расчет р из уравнения (5.11) путем добавления р' к р*. 5. Расчет сс, и, и с учетом соответствующих значений со звездочкой и с помощью формул для попрзвки скорости (5.17) — (5.19).
6. Решение дискретных аналогов для других 0> (тзких, как температура, концентрация и турбулентные характеристики), если 104 Тзк как значения плотности р определены, вообще говоря, в узловых точках основной сетки, ее значения на границах, такие, как р,, можно рассчитать с помощью подходящей интерполяции. Независимо от применяемого способа интерполяции значения р, для двух контрольных объемов, имеющих общук> грань, должны быть согласованы между собой (см.
основное правило 1 в гл. 2). Из (5.23) мохсно видеть, что член Ь уравнения для поправки даялевия по существу равен (со знаком минус) левой части дискретного аналогз уравнения неразрывности (5.21), записанного через значения составляющих скорости с индексом >~. Равенство Ь=О означает, что эти составляющие вместе с имеющимся значением (ргз — ря) удовлетворяют уравнению неразрывности и не требуется никакой коррекции давления.
Таким образом, член Ь представляет собой «источник массы», который должен быть скомпенсирован поправками давления (через соответствующие поправки скорости). Итак, мы получили все уравнения, необходимыс для определения составляющих скорости и давления. Теперь можно рассмотреть весь алгоритм решения в целом. онн влияют на поле течения через физические свойства жидкости, источниковые члены и т. д.
(если какое-то определенное бэ не влияет на поле течения, лучше рассчитать его после получения сходпмостп решения для поля течения). 7, Представление скорректированного давления р как нового р'":„ возвращение к пункту 2 и повторение всей процедуры до тех пор, пока не будет получено сходящееся решение. Обсуждение уравнения для поправки давления. 11апомним, что в ч 5.5 при получении (5.17) для поправки скорости было решено отбросить член Ха»ьи'»ь Объясним теперь причину этого отбрасывания и покажем, что оно не приносит большого вреда. 1. Если бы такие члены, как а»ьи'„ь не были отброшены, то их надо было бы выразить через скорректированные значения давления и скорости в соседних для и»ь узлах.
Эти значения, в свою очередь, зависят от соответствующих значений в близлежащих соседних узлах и т. д. В конце концов, формула для поправки скорости будет содержать скорректированное давление во всех узловых точках расчетной области и решение результирующего уравнения для поправки давления будет трудоемким. В сущности мы будем приближаться к непосредственному решению всей системы уравнений количества движения и неразрывности, однако выбранный путь будет достато*шо сложным.
Отбрасывание члена а»ьи'»ь позволяет получить уравнение для р' в той же форме, что и основное уравнение для сй, и применить последовательную процедуру решения для одной перемеяной на одном шаге по времени. 2. Слово «полунеявная» в названии 5!МРЕЕ использовалось для того, чтобы подчеркнуть отбрасывание члена Ха»ьи'»ь. Этот член характеризует непрямое или неявное влияние поправки давления на скорость; поправки давления в близлежащих точках могут изменять соседние значения скоростей и таким образом вызывать коррекцию скорости в рассматриваемой точке.
Мы не учитываем этого влияния и, таким образом, работаем со схемой, которая является только частично, а не полностью неявной. 3. Отбрасывание любого члена будет, конечно, нежелательным, если зто означает, что коне шое решение не будет истинным решением дискретных аналогов уравнений количества движения и неразрывности. Однако оказывается, что сходящееся решение, которое получается с помощью 51МРЕЕ, не содержит какой-либо ошибки, являющейся результатом отбрасывания Еа»ьи'»ь. В сходящемся решении достигаются такие поля давления, при которых соответствующие поля скорости со звездой удовлетворяют уравнению неразрывности.
Детали построения уравнения для р' в этом случае не влияют на корректность сходящегося решения. 4. Полезно обратить внимание на дейсгвия в процессе последней итерации, после которой мвжно счнтатгь что достигнута сходимость. В результате всех предыдущих итерации получаем некоторое поле давления. Использовав его как р*, решим уравнение 105 количества движения, чтобы получить ик, о", щ .
Из этого поля скорости рассчитаем массовый источник Ь для уравнения поправки давления. Поскольку речь идет о последней итерации, то значение Ь будет приближаться к нулю для всех контрольных объемов. Следовательно, Р'=0 для всех узловых точек -- приемлемое решение уравнения (5.22) н значения скоростей со звездой и давления будут сами по себе точными значениями давления и скоростей. Такнм образом, то, что массовый источник Ь является нулевым везде, есть достато шое доказательство того, что получено точное поле давления н текущее решение уравнения р' не нуждается в проведении последней итерации.
Очевидно, сходящееся решение ,в этом случае пе зависит от любых аппроксимаций, сделанных при получении уравнения для Р', — уравнения, котг>рое действительно не используется в последней итерации. 5. Массовый источник Ь служит полезным указателем сходи- мости решения уравнений, описыва>ощих течение жидкости.
Итерации должны повторяться до тех пор, пока Ь повсюду не станет достаточно малым. 6. Из этвх соображений уравнение для поправки давления можно рассматривать просто как проме>куточный алгоритм, который дает точное поле давления, но не оказывает непосредственного влияния па окончательное решение. До тех пор, пока мы не получим сходящееся решение, все возможные формулировки уравнения для р' дают одно и то же окончательное решение. 7.
Скорость сходимости процедуры, однако, зависит от конкретного вида записи уравнения для р'. Если будет опущено большое число членов, то результатом этого может быть расходи- мосты 8. Уравнение для»оправки давления, описанное в ч 5.Г>. также приводит к расходпмости, если пе используется некоторая нижняя релаксация. Можно предложить много различных способов нижней релаксанин. В большинстве случаев с успехом используется следующий способ: применяется нижняя релаксация для и':, г"' и щ* (с соответствующими предыдущей итерации значениями и, о, ш) при решении уравнения движения 1с коэффициентом релаксации аж05, вводимым в (3,55)1; в дальнейшем к Р* добавляется только часть Р'.
Другими словами, вместо уравнения (5,11) применяется Р = Р + гхлР (5.24) с»с=0,8. Задачей уравнения (5.24) является расчет Р, которое будет использоваться как р* в следующей итерации; для сходи- мости давления можно орать любую величину для регулирования р'. Релаксационные множители, о которых упоминалось выше (а=-0,5 и а, =-0,8), определялись так, чтобы удовлетворять большому числу расчетов течения жидкости. Однако это не означает, что указанные зпачепия явля>отг'я оптимальными или обеспечат сходимость для всех задач. 11еобходимо признать, что такие вопросы, как оптнмалш>ые значения коэффициентов релаксации, >06 обычно зависят от самой задачи.
Хотя опыт предыдущих расчетов является полезным, новые задачи иногда требуют других релаксапиониых процедур. 9. Заметим, что в течение каждой итерации скорости не оставляют равными значениям со звездочкой, а корректируют с использованием формул для поправки скорости. Результирующие поля скорости точно удовлетворяют дискретному аналогу уравнения неразрывности независимо от того, что подлежащие коррекции давления являются только приближенными.
Итак, в процессе расчетов сходимость достигается через ряд полей скорости, учовлетворяющих уравнению неразрывности. Эта особенность алгоритма ЫМРЕЕ имеет много преимуществ. Поле скорости, удовлетворяющее уравнению неразрывности, является, вероятно, более разумным, чем поле скоростей, отмеченных звездочкон.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
