Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Если диффузия на выходной границе потока по ряду причин оказывается важной, то следует сделать вывод, что граница рас- 86 полагалась неудачно. Границу без возмугцепий (спокойную) можно рассматривать как приемлемую внешнюю грпгмщу потока. Особенно плохим выбором расположения выходной границы потока будет тот, при котором на некоторой части границы есть вторичные токи.

Пример этого показан на рис. 4.12. При таком неудач ном выборе границы нелья полу- чить имеющее физическии смысл решение. На данном этапе целесообразно остановиться на способах задания граничных условий для задач конвекции и диффузии. Всюду, где нет течения жидкости через границу расчетной об- Рис. 4Л2. Выбор расположения выходной границы потока: 1 — удачный; у — неудачный ласти, поток на границе является чисто диффузионным потоком и, следовательно, применимы способы, описанные в гл. 3. Для тех частей границы, где жидкость втекает в рассматриваемую область, обычно значения Ф известий>г (задача является некорректно поставленной, если неизвестна величина бг, которую поток жидкости приносит с собой).

Части границы„в пределах которых жидкость вытекает из расчетной области, образуют выходную границу потока, которая уже обсуждалась. 4.6. СХЕМНАЯ ИСКУССТВЕННАЯ ДИФФУЗИЯ Обсудим вопрос, который вызывает большую полемику, недоразумения и непонимание среди практиков, занимающихся численными расчетами. В этом параграфе рассмотрена схемная искусственная диффузия, которая часто совершенно неправильно истолковывается, но которая правильно отражает основное слабое место большинства аппроксимаций задач конвекции и диффузии.

Общий взгляд на искусственную диффузию. Обычно встречаются следующие точки зрения: 1) центрально-разноствая схема и)теет второй порядок аппроксимации, в то время как схема с разностями против потока имеет только первый порядок аппроксимации, 2) схема с разностями против потока вызывает появление сильной схемной искусственной диффузии. Основной смысл этих утверждений состоит в том, что центрально-разностная схема лучше, чем схема с разностями против потока.

Действительно, разложение в ряды Тэйлора может показать, что центрально-разностная схема обеспечивает порядок аппроксимации (Лх)а, в то время как схема с разностями против потока— порядок (Лх)й. Однако поскольку изменение Ф от х, возникающее в задачах конвекции и диффузии, является экспоненциальным, то усеченные ряды Тэйлора нс могут хорошо аппроксимировать это изменение для любых значений Лх, кроме крайне малых (или, вернее, соответствующих чисел Пекле). Для больших значений Лх, ьт которые встречаются во многих практических задачах, анализ, основанный на разложении в ряды Тэйлора, приводит к исправя.тьным результатам и, как мы видели, схема с разностями против потока дает более реальныс результаты, чем центрально-разностная. Если сравнить коэффициенты в схемах центрально-разпостной и с разностями против потока, то можно увидеть, что схема с разностями против потока эквивалентна центрально-разностной схеме, в которой Г заменсн на Г+рибх/2.

Другими словами, схема с разностями против потока, по-видимому, увеличивает действизельный диффузионный коэффициент Г путем введения фиктивного (и, следовательно, ложного) диффузионного коэффициента рибх/2. С одной стороны, такое введение искусственного диффузионного коэффициента считается неточным, сильно искажающим дсйствизельность и, следовательно, плохим. Но, с другой стороны, неточность привсденного выше довода связана с тем, что центрально-разностпая схема представляется как точная и образцовая (или лежащее в ее основе разложение в ряды Тэйлора как надсжное) и рассмотрение схемы с разностями против потока проводится с этой точки зрения.

Такой подход будет обнаруживать схемную искусственную диффузию даже в экспоненциальной схемс, которая является точным решением задачи, Выводы, представленные в этой главе, приводят к заключению, что так называемый коэффициент искусственной диффузии рибх/2 является желательным добавлением к действительному коэффициенту диффузии прн больших числах Псклс, так как он дсйствитсльно имсвт тенденцию исправлять погрешности решения, появляющиеся при использовании центрально-разностной схемы.

Нет сомнения в том, что для очень малых чисел Пекле центрально-разностная схема является более точной, чем схема с разностями против потока. Это ужо показывалось на некоторых графиках; схемы, которым было отдано предпочтение, такие, как экспоненциальная, комбинированная и схема со степенным законом, действительно соответствуют центрально-разностной схеме при очень малых числах Пекле. Во всяком случае, вопрос об искусственной диффузии не является очень серьезным для малых чисел Пекле, поскольку реальный коэффициент диффузии является очень большой величиной.

Для больших чисел Пекле вопрос об искусственной диффузии остается достаточно важным как для центрально-разностной, так и для других рассмотренных схем, По этой причине в дальнейшем будем рассматривать в основном большие числа Пекле и схемы с разностямн против потока, однако полученные выводы будут применимы и к схемам экспоненциальной, комбинированной и со степенным законом. Детальный анализ искусственной диффузии. Поскольку общее рассмотрение схемной искусственной диффузии не дало положительных результатои, попробуем ответить на вопрос, что же действительно должна описывать схемная искусственная диффузия. Во-первых, необходимо узнать, представляет ли собой искус- ственная диффузия многомерное явление; этого явления безусловно иет в случаях установившихся одномерных задач (в нестационарных одномерных задачах имеет место некоторый вид схемной искусственной диффузии, однако в данном параграфе основное внимание будет уделено стационарным случаям).

Для того чтобы наглядно представить, что означает схемная искусственная диффузия, рассмотрим случай, показанный на рис. 4.13. Два параллельных потока с равной скоростью, по ( г Рнс 4Л4. Случай птлока, направ- ленного вдоль пси х: à — горячнй потокч 2 — холодный лоток Рнс 4ЛЗ. Распределенае темпера. туры при наличии (а) н ото>тствнн (б1 диффузии: ! — горячий поток; 2 — холодный по- ток неравными температурами соприкасаются друг с другом.

Если диффузионный коэффициент ГФО, то будет образовываться слой смешения, в котором температура постепенно изменяется от большего значения к меньшему и ширина этого слоя в гюперечном направлении будет увеличиваться вниз по потоку. Если Г=О, то слой смешения пе образуется и будет иметь место скачок температуры в поперечном направлении. Для анализа понятия схемной искусственной диффузии рассмотрим случай, в котором реальная диффузия считается равной нулю.

Если численное решение при Г=О дает размытые профили температуры (характерные для ненулевой диффузии), можно сделать вывод, что численная схема вызывает появление схемной искусственной диффузии. Для Г=О центрально-разностная схема приведет к ар=О. Поэтому обычные итерационные методы для решения алгебраических уравнений использовать нельзя. Если попытаться получить решение уравнения прямым методом, то либо единственное решение не будет найдено, либо решения окахсутся очень нереальными.

Слтьшл схемы с разносгялш против потока, Попытаемся решить задачу, показанную на рис. 4.13, б, с помощью схемы с разностями против потока для двух ориентаций разностной сетки. 1. Однородный поток в направлении оси х. Рассмотрим случай, показанный на рис.

4.14. Поток направлен строго вдоль оси х, и левая граница имеет известный температурный профиль со скачком. Поскольку Г=О и в направлении оси 1т течение отсутствУет, коэффициенты а,~. и ав бУдУт Равны нУлю. Коэффициент ав в близлежащей вниз по потоку соседней точке такуке должен В зак. ма 89 быть равен пулю, Тяким образом, а, должно равняться апз что приведет к (4.65) Фр = Фш Рис. 4.15, Случай потока, направленного под углом 45' к сеточным линиям: г -.

Характеристики

Список файлов книги