Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 18
Текст из файла (страница 18)
д. Для практики нужна простая расчетная схема, которая качественно повторяла бы поведение экспоненциальной схемы. Ниже рассмотрены две такие схемы, вторая нз них рекомендуется для использования. Комбинированная схема. Комбинированная схема была получена в (75]; она опубликована также в книге (54]. с1тобы оценить связь между экспоненциальной и комбинированной схемами, запишем коэффициент аго или, вернее, его безразмерный аналог аи]Р„ как функцию числа Р,. Из уравнения (4.25) следует, что ав Ре )эе ехр (Ре) Зависимость ап!В, от Р, показана на рис. 4.4.
Для положительных ~е значений Р, узловая точка Е окаи зывается расположенной вниз по течению и ее влияние уменьшается в,=' 7 по мере роста числа Р,. Когда Р, 'е Р принимает отрицательные значения, д е Эе Е оказывается расположенной вверх по течению и в этом случае оказы- — а-з — 7 — ! 0 l 7 л Ф Р, вает большое влияние. Отметим некоторые свойства зависимости аи/Ва Рис 4.4. зависимость коэффициси- от Р, (см. рис. 4.4, точная зависи- ти аеlг)е от Р. мость — сплошная линия): для Р,— со (4.27) ав — -ч. О; 7)е (4.28а) Ре ал — -ь — Р; хе е при Р, = О тангенс угла наклона (4. 28б) а р — =1 — — ".
Р, 2 (4.28в) Три прямые линии, представляющие эти предельные случаи, также показаны на рис, 4.4. Их можно рассматривать как огибающу|о точного решения и считать достаточно хорошей его аппроксимацией. Комбинированная схема составляется из этих трех прямых линий так, что для Р„е„— 2 ае (4.29а) Ре для — 2<Р, < 2 аз (4.296) 4* 76 для Р,)2 и - =о. тэе Эти выражения можно записать в компактном виде с помощью специального символа [~ (1, который обозначает большую из величин, заключенных в эти скобки. Таким образом, ае.=о,~~ — Р„1 — ',О 1, (4.30а) или в ~~ Рет ~е (4.30б) а рфр = аР'е + ав"Ъ, (4.3 1) где а, = ~ Р, )3 "', О~'~; е 1 е е ! аие ~~Р, „+ -, О'4 е а.
= а + а„, (Ге — Рги) (4,32) Необходимо помнить, что эта запись справедлива для любого произвольного расположения граней контрольного объема между узловыми точками, а не ограничивается случаем расположения этих граней посередине. Схема со степенным законом. Как видно пз рис, 4.4, наибольшее отклонение комбинированной схемы от то шого решения наблюдается при числах Р„несколько больших Ре=-~-2; кроме того, по-видимому, преждевременно считать влияние диффузии равным нулю при 1Р,) )2. Лучшим приближением к точной кривой дает схема со степенным законом [43]. Несколько более сложные, чем в комбинированной схеме, соотношения схемы со степенным законом ие пред- тб Суть комбинированной схемы можно понять, вспомнив, что она идентична схеме с центральными разностями для области чисел Пекле — 2~Ре~2 и что вне этой области она сводится к схеме против потока, в которой диффузия принимается равной нулю. Итак, недостатки схе еы против потока, описанные выше, не сказываются на комбинированной схеме.
Название схемы указывает на то, что она является комбинацией центрально-разностной схемы и схемы против потока, однако лучше рассматривать комбниировакиую схему как линейное приближение (состоящее из трех прямых) к точной кривой (см. рис. 5.4), Представим конвективно-диффузионный дискретный аналог для комбинированной схемы в следующем виде: ставляют особых трудностей для расчета н обеспечивают наиболее близкое соответствие с экспоненцнальной схемой. Соотношения для определения ав в схеме со степенным законом можно записать так: для Р, < — 10 ое — = — Р; е Ое (4.33а) для — 10 < Р,(0 (4.33б) для О(Р,(10 (4.33в) для Р, ) 10 — = О. пн Г'е (4.33г) Сравнивая этн выраження с (4.29), видны, что прн ! 'Р,))10 схема со степенным законом совпадает с комбинированной схемой, В ком- пактном виде (4.33) можно перепнсать так: ов =19,$$0, (1 — ' ) $~+(1О,— Ре11.
(4.34) О близости схемы со степенным законом к точной экспоненцнальной схеме можно судить по данным, приведенным в табл. 4.1; как Т а олн из 4.1. Сравнение значений козффицнентов длн схем со степенным законом н нкспоиенциальиой ал/Ре ае1ое е ЭкспоненНиальная схема Схема со степенным Схема со степенным ааконом Эяспонсн.
ниальная схема — -20 — 1Π— 5 — 4 — 3 — 2 — 1 — 0,5 0 20,00 !о,оо 5,031 4,О78 3,!68 2,328 1,590 1,274 1 го,оо 1О,ОО 5,034 4,075 3,! 57 2,313 1,582 1,271 1 0,5 1 2 з 4 5 1О го 0,7738 0,5905 0,3277 0,1681 0,07776 0,03125 о о 0,7707 0,5820 о,з!зо 0,1572 0,07463 0,03392 0,00045 4,!.!Π— н видно, отличие между двумя схемами настолько мало, что не выявляется при графическом сравнении.
Как упоминалось ранее, схема со степенным законом рекомендуется для аппроксимации задач конвекции и диффузии, несмотря на то что для некоторых задач комбинированная схема может давать вполне удовлетворительные рсзультатьь Общая формулировка дискретного аналога. Чтобы получить дальнейшее представление об аппроксимации задач конвекции и диффузии и постропть общие рамки, в которые можно было бы вписать различные схемы, рассмотренные до спх пор, необходимо исследовать некоторые общие свойства использованных коэффи- Ркс.
4.5. Суммарный поток У между двумя узловыми точками циентов. Рассмотрим узловые точки 1 и 1+1, разделенные расстоянием б, как показано на рпс. 4 5. Запишем суммарный поток У, проходящий через грань контрольного объема, расположенную между этими узловыми точками. Используя уравнение (4.!9), по- лучаем Уб лп> Ув= — — = РФ— Г л (х(з) (4.35) где Р=риб(1' — число Пекле. Значение Ф на грани контрольного объема представим как некоторое взвешенное среднее Ф; и Ф; ь хотя градиент й1>(д(х/6) умножается на Ф;>.
— Ф,. Далее предположим, что Ув = Р (ссФ, -1- (1 — а) Ф,ь,1 — Р (Ф,, — Ф;) (4 38) где а н (4 — безразмерные множители, зависящие от Р Лкалогнчным образом У" можно представить в виде Ув =ВФ,.— АФ,+, (4,38) где А и  — безразмерные коэффициенты, которые являются функциями числа Р (коэффициент А содержпт величины в точке 1+1, расположенной перед гранью контрольного объема,  — в точке 1 за гранью контрольного объема, что соответствует выбранному направлению координаты.) Свойства А и В.
Два свойства коэффициентов А и В необходимо знать при изучении их зависимости от числа Р. Если Ф;= =Ф,ы, то диффузионный поток равен нулю. В этом случае У будет определяться только конвективным потоком риФо а безразмерный тепловой поток Ув = РФ,. = РФ,, Комбинируя уравнения (4.37) и (4.38), получаем ' В=А+Р. (4.39) ,Другим свойством А и В является их взаимная симметрия. Если изменить направление координатой осн на обратное, то Р будет равно — Р, а А и В поменяются своими ролями.
Таким образом, функции Л(Р) и В(Р) будут связаны соотношеппямя А( — Р) = В(Р); (4ЛОа) В( — Р) =А(Р). (4,40б) Следствия свойств. Зависимости А и В от числа Р, которые можно найти из (4.22), показаны на рис. 4.6. Расстояние по вертикали между кривыми А и В равно Р, кроме того, обе кривые расположены симметрично относи- А 3 в» тельно Р=О. Основным следствием нз указанных свойств является А(Р) 3 то, что совокупность функций А(Р) и В(Р) можно описать г функцией А(Р), известной только а(р) ввр(Р)-( А (Р)= для положительных значений Р (штриховая кривая иа рис. 4.6). -ч -3 -г -( и ( г 3 'Отсюда для Р(0, учитывая (4.39) и (4.40а), имеем Рнс. 4.6. Зааисимость А и В от Р А (Р) = В (Р) — Р = А ( — Р) — Р = А ( ~ Р ~ ) — Р.
(4.41) Таким образом, для всех значений Р, положительных и отрицательных, можно записать А (Р) = А (~ Р ~) + Ц вЂ” Р, 0 () (4.44) (4.46) арФ„= а Ф + аи,Ф„ (4.46) ' Или иа (436) и (437) находим В=Р а+6 и А-Рос+6 — Р. Отсюда тан«ис получаем (4.39). 79 и затем, используя (4.39), получить В(Р) = А(~Р~)+() Р, 0~1. (4.43) Кроме того, запишем два следующих соотношения, полученных с учетом (4.37) и (4.39): ,7*,— РФ, = А(Ф, — Ф,„,); У* — РФ,+, =В(Ф,— Ф,+,) Рассмотрим теперь соотношение (4.37) для потока на гранях контрольного объема е и ш и используем (4А2) и (4.43). Тогда получим общую форму дискретного аналога для задач конвекции и диффузии: где а .
= 7),А (! Р, !) + (! — Р,, О (); а,. = 7)грА(!Р() + [(Р, О!1; а„= а.+ а, +(Р,— Р, ) (4 17) Описанные выше схемы теперь мозкно получать просто различным выбором функции А(!Р!). Выражения для А()Р!), соответствующие рассмотренным схемам, приведены в табл. 4.2 и графически показаны на рис. 4.7. Степень соответствия каждой функции опре- (о л о Рнс. 4.8. Зависимость пгл от числа Пекле, полученная по различным схемам; т — цегпрально разностной; 3 —- ьомбнннрованной; д — прогна потока; Š— со степенным законом н расчет по точному Решению делается путем непосредственного сравнения с точным распреде- лением.
т а б л и ц а 4.2. Функция А ((РО кля различных схем Завнснмость дла А ПР~,' Схема Результаты применения различных схем. Прежде чем перейти от одномерной задачи к многомерной, рассмотрим значения Фр, полученные при использовании различных схем для заданных Фк и Фи. Без потери общности положим Фк=! и Фтр=О.
Далее предположим, что отрезки (бх)е и (бх)ю равны, при этом Фи будет функцией Р=рибх)Г. Зависимость Фр от Р, полученная по раз- Во Рис, 4Л. Зависимость Л от !Р) Кля разлвчпых сзсм: ! . прогна потока; 3 — со степен- ным заковом; 3 — зкспоненцваль- ной, 4 — комбнннрованной; 5— центрально.разностной Центрально-разностная С разностями против потока Комбинированная Со стеленным законом Эксионенциальная (точная) ов ов од о,г о -ог -т'о -о 1 — 0,5)Р( 1 (О,;5 — 0,5(РВ 5 и ('(, 10",(1 — О,)(Р))з! (Р1/[ехр()Р!) — 1 ! личным схемам, показана на рис.
4.8 (результаты расчета по схеме со степенным законом и точному решению так близки, что изображены на рисунке одной кривой). Все схемы, за исключением центрально-разностной, дают результаты, которые можно назвать физически реальными, а центрально-разностная схема дает значения, которые лежат вне области [О, 1), определенной крайними значениями. Поскольку сеточное число Пекле определяет поведение численных схем, в принципе возможно для пентрально-разностной схемы изменить сетку (т. е. использовать меньшие бх), чтобы на ней получать разумные решения до тех пор, пока Р является достаточно малым (менее 2).
В большинстве практических задач этот способ, однако, требует использования очень мелких сеток, которые обычно не применимы из экономических соображений. В любом случае мы можем не принимать такого ограничения до тех пор, пока будем рассматривать процедуры, которые позволят получить физически реальные решения даже на грубых сетках. АЗ. ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛОГ ДЛЯ ДВУХМЕРНЫХ ЗАДАЧ д дух дкн — (РФ) + —" + —" = 5 д~ дк ду (,4. 48) На данном этапе имеются все составляющие, необходимые для получения дискретного аналога, соответствующего общему дифференциальному уравнению (4.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
