Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Граничные условия представим в виде г)Т х=о, й — 4 й (Ту — Т); 4)Х ~Г х = 4., )г — йь (Тг — Т)), где й, и йа — коэффициенты теплоотдачи, а Т, и Ть — соответствующие температуры на границе. Для случаев озЕ~3=1 и ба ь/Ф=2 решите задачу. численно и сравните результаты с точным решением.

3.13. Ряд простых полностью развитых течений описывается уравнениями 3 Зак. 946 типа теплопроводности. Напрнз!ср, по.пюстыо развитое течение мшкду параллельными пластипамн подчиняется уравнению где и — скорость; )ь — вязкость; Ир/йх — постоянный градиент давления. Заметим, !то, поскольку это уравнение по существу совпадает с уравнением (3.1), можно метод дискретизации, описанный в настоящей главе, использовать для расчета полностью развитых течений 1) Рассчитайте распределение скорости в полностью развитом потоке меукду неподвнжяымн плоскими пластинами.

2) Предполозсите, что одна из пластин неподвюкна, а друтая движется со скоростью К Рассчитайте полностью развитый поток мезкду пластннамн для различных значений параь!стра Ез(г(р/Пх)/(р17), где Š— расстояние между пластинами 3) Рассчитайте поле скорости для полностью развитого потока в круглой трубе. 3.14. Область течения в канале с полностью развитым теплообменом характеризуется температурным полем. Это полн, выраженное в соответствующей безразмерной форме, сохраняется неизменным вниз по потоку. Рассчитайте полностью развитое температурное поле и число Нуссельта в потоке между двумя параллельными пластянами, считая профиль скорости параболическим, одну платину адиабатичесиой, а другую с заданной постоянной плотностью теплоного потока.

(Целый ряд задач о полностью развитом течении и теплообмене можно решать методом, изложенным в этой главе. Результаты решения некоторых задач можно найти в [78].) 3.15. Рассмотрите нестациопарную тепдопроводпость в бесконечной пластине. Одна сторона пластины изолирована, и другой подводится постоянный тепловой поток. После начального периода профиль температуры приобретает постоянную форму и все температуры будут возрастать во времени с постоянной скоростью. Эта скорость связана с суммарным тепловым потоком через поверх- вость.

Поставьте и решите задачу методом стационарной теплопроводности (такие полностью развитые режимы в нестацнонарной теплопроводяости обсуждаются более поляо в [44)). 3.16. Рассмотрите одномерную задачу теплопроводности в стерзкве, который согнут в форме замкнутого кольца. В этом случае, поскольку нет концов, граничные усяовия бессмысленны. Дейстнительно, все узловые точки сетии— внутренние точки. Дискретный аналог имеет внд (3.22), но условия, заданные уравнением (3.23), не будут использоваться.

Вместо этого Тк.ш будет интерпретироваться как Т, и Т,— как Тн. Опишите алгоритм решения (назовем его круговым ТОМА) для такой системы уравнений. (Этот алгоритм удобно применять совместно с методом переменных направлений в координатах г, О, посиольку узловые точки сетки, располагающиеся в направленик оси О, могут образовывать замкнутый круг. Другое применение кругового ТОМА и особен. ности его получения можно найти в [48[.) 3.17.

Рассмотрите две зависимые нсременные [ и я, которые описываются связанными уравнениями вида а![!= Ьг[г! ! +с![! г+ !(! + евйг! Ауй! — В!2!1! + С!й! ! + О! + Ег[! бб для г=-1, 2, 3, ..., Ф. Кроче того, с,=О, Ь».=0, С!=0 и Вт=-О. Используя основные идеи ТОМА, опишите алгоритм дчя решения этих уравнений 3.18 Сопоставлением уравнений (356) и (3556) Чо~ »жите, ~то инерция связана с коэффициентом релаксации и соотношением 1= — (1 — и) пт 'и 3.19.

Пластина толщиной 1. имеет линейное распределение температуры в пределах от 7'= Тр прп х.=О до Т= Т, при х=Л. Для времени 1=0 поверхность Х7- 5 предполагается адиабатиой, а поверхность х=-0 поддерживается при температуре Т=.Тр. Рассчитайте распределение 1Т вЂ” Тр)7(Т,— Т,) как функпню х 5 н иг/ьг, где и — коэффициент тсмпературопроводпости. Проводите расчеты да значений (Т вЂ” Тр)7(тг — Тр) при х=ь(0,5. 3.20. Рассмотрите задачу стационарной одномерной теплопроводности в ребре постоянного поперечного сечения, которая описывается следующим урзвнеивем: г(т ~ йт — 1 эп (т, — т) =О, А тде й — коэффициент теплоотлачи мериду попер»пастью ребра и окру».а|ошей жидкостыа с температурой Тб А — плогцадь поперечного сечения ребра, Р— его периметр Граничными ус»азиями являются: при к=0 Т=Тр (температура основания) и при х=-Л (х(Т(г(х--0 (изолированная вершина). Пайдптс численное решение для безразмерной температуры (Т вЂ” Тг))(тр — Тг) как функции х75 для 5Р5РТ(АА) =2 н сравните зто решение с точным.

Для равномерной сетки определите число узловых точек, необходимое для рас ~ета теплового потока в основании ребра, отличающегося не более чем на 1 Р)р от точного значения. (Следует заметить, что способ линеарнзации источпикового члена в данном уравнении является оченидиым. Однако если вы попытаетесь решить задачу итерационным методом, выражая весь нсточннковый член как бс и полагая Яр=О, то заметите, что итерации дают неправильные результаты и делают сходимость труднодостижимой).

Глава 4 КОНВЕНЦИЯ И ДИФФУЗИЯ 4Л. РАССМАТРИВАЕМАЯ ЗАДАЧА Рассматривая задачу тсплопроводности, мы по существу получили дискретный аналог из общего дифференциального уравнения, содержащего нестационарный, диффузионный и источниковый члены (записанные выше через температуру Т и коэффициент теплопроводности )с эти члены можно легко переписать через общую переменную Ф и соответствующий коэффициент диффузии). Был опущен конвективный член, который в настоящей главе будет учтен.

Выше были изложены методы решения алгебраических уравнений. Добавление конвективного члена не влияет на форму дискретного аналога, поэтому можно использовать те жс методы. 3' 67 — + — (ри,) = О, др д дг дхз то общее дифференциальное уравнение — (рФ) + — (ри,Ф) = — ~à — /1 -1- 5 д д д l дш~ дг дх дх~ ~ дху / (4.2) можно записать в виде: дФ дФ д Г дФ Х р — + ри — = — ~~à — ~~ +,'о'. дГ дхг дхз ~ дхг,) (4.3) Из формы уравнения (4.3) следует, что для заданных распределений р, и,, Г и 5 любое решение Ф и его модификация (Ф плюс постоянная) должны удовлетворять уравнению (4.3). При этом условии основное правило относительно суммы коэффициентов (правило 4) остается справедливым. 68 Конвекция является результатом движения жидкОсти.

Ниже будет получено решение для функции Ф при заданном поле течения (т. е. компонентах скорости и плотности). Источник информации о поле течения здесь несуществен. Его можно получить из эксперимента, на основе аналитического решения, с помощью метода, описанного в следующей главе, и т. д. Имея каким-либо способом определенное поле течения, можно рассчитать поле температур, конпеитрации, энтальпии или любой другой величины, представляемой обобщенной переменной Ф. Хотя при учете конвекции добавляется только один новый член, вводимый в настоящей главе, его аппроксимация оказывается достаточно сложной.

Конвективный член непосредственно связан с диффузионным, и их целесообразно рассматривать как целое. Именно поэтому настоящая глава названа «Конвекция и диффузия». Необходимо помнить, что слово «диффузия» используется здесь в обобщенном значении. Оно включает не только диффузию химических компонент, вызванную градиентами концентрации. Диффузионный поток, вызванный градиентом обобщенной переменной Ф, определяется как — ГдФ/дх,", для конкретной величины Ю он может представлять собой диффузионный поток химических компонент, тепловой поток, вязкое напряжение и т. д. Обобщенное дифференциальное уравнение (1.15) содержит член (д/дх;) ~ГдФ/дхг), который определяется как диффузионный член.

Фактически это выражение представляет собой сумму трех составляющих по трем координатным направлениям, однако удобно рассматривать их совместно как единый диффузионный член. Аналогичные рассуждения справедливы для конвективного члена (д/дх;) (ри,Ф). Отметим одно из свойств конвективио-диффузионной задачи Поскольку заданное поле течения должно удовлетворять уравнению неразрывности 4,2. УСТАНОВИВШИЕСЯ ОДНОМЕРНЫЕ КОНВЕНЦИЯ И ДИФФУЗИЯ Рассмотрим установивнзуюся одномерную задачу, в которой присутствуют только конвекция и диффузия. Дифференциальное уравнение сохранения нмеет вид — (риФ) = — (à — ), где и — скорость в направлении оси х.

Для этого случая уравнение неразрывности записывается следующим образом: — (ри) = О или ри = сопз(. (4.5) ах Для получения дискретного аналога используем трехточечный шаблон, показанный на рис. 4.1. Хотя действительное располо- Рис 4,1. Типичный шаблон узлоных точек для одномерной задачи (заштрихонанная область — контрольный обьем) жение граней контрольного объема е и ш не должно влиять на окончательную форму записи, предположим, что грань е расположена посередине между узловыми точками Р и Е, а грань гав посередияе между (Ет и Р, Предварительный анализ. Интегрируя уравнения (4.4) по контрольному объему, показанному на рнс.

4.1, получаем (р Ф),— (рмФ) = (à — ) — (à — ) дх У Т, дх~в Выше был рассмотрен способ аппроксимации члена Г(дФ/дх) при использовании кусочно-линейного профиля Ф. Для конвективного члена сначала кажется естественным такой же выбор профиля. В результате получим 1(2(Ф, + Ф,); Ф„= 112(Ф, + Ф~). (4.7) Множитель 1/2 является следствием предположения о расположении граней контрольного объема посередине между узловыми точками; любые другие интерполяционные множнтели могут появиться при другом расположении граней контрольного объема. В этом случае уравнение (4.6) можно записать в следующем виде: — (ри),(ФЕ+ Фр) — — (ри) (Фр+Ф1Р) = 1 1 2 2 Ге(Ф, Ф„) Г (݄— ЕЗМ) (4.8) (бх)е (бх)зт где значения Г, и Г„определяются с помощью соотношений, приведенных в 9 3.2 (это относится ко всей книге в целом, даже если такие ссылки в последующих параграфах и не будут повторяться).

Характеристики

Список файлов книги