Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 21
Текст из файла (страница 21)
горо'ша попок; г — холодныя попок В результате данные значения вверх по потоку будут устанавливаться во вссх точках вдоль каждой горизонтальной линии. Следовательно, скачкообразный характер профиля температуры, имеющий место в сечениях вверх по потоку, будет сохранен. Поэтому в этом случае искусственная диффузия не появляется. 2. Равномерный поток, направленный под углом 45' к узловым линиям сетки.
Ситуация значительно изменяется, когда та же задача решается на сетке, узловые липин которой составляют. 45' с направлением потока. Для удобства используем равномерную сетку с Лх=Лу. Скорости потока в направлениях осей х и р равны. Результатом этого является равенство коэффициентов атк и иь в соседних близлежащих точках ввеРх по гютокУ, в то вРемЯ как значения ап и ам в точках вниз по потоку оказываются равными нулю. Таким образом, имеем Ф = 0,5Ф -1- 0,5Фз (4.66) Для сетки, показанной на рпс. 4.15, разрыв профиля температуры обеспечивается равенством всех температур ' 100 вдоль левой и О вдоль нижней границ. Результат регвв шепия во внутренних точках записан вдгв вбгв вввг вв около каждой узловой точки. Если шв схемная искусственная диффузия отв в ввгв вв тчдгв сутствует, то сверху от диагонали, на- правленной из нигкнего лепота угла, гв вв лгу гвгв дол;киы получиться значения 100 н значения 0 вниз от диагонали. Фактическое решение дает неточный профиль температуры, подобньш тому, какой х — х — х — х — х изобтзлссп на рис.
4.13,а. г в л л в Залп ганггя. !. Искусственная диф- 2 ш~рб фузпя имеет место, когда поток накло- нен по отношению к линиям сетки и ги~ в сугцествует ненулевой градиент зависимой переменной в направлении по нормали к потоку. 2. Приближенное выражение для коэффициента искусственной диффузии в двухмерном случае дано в [17(: Г„„п = ргга~б" а п 29 (4.67) 4 (адв)пп 9+ Лх совп 0) ' Может оказаться, что нз постановки задачи лчя рис.
4.13 значения температур вдоль левой и нижней границ сетки (рис. 4Л5) действительно неизвестны Однако если известно точкос решение задачи, 'то можно выбрать область, в пределах которой точное решение справедливо и значения на границе могут быть задави па основе точного решения. Такой метод построения тестовых задач, точное решение которых известно, использовался в [72!.
90 где (I — модуль вектора скорости; 0 — угол наклона (от 0 до 90') вектора скорости к направлсишо оси х. Из этого уравнения видно, что искусственная диффузия пе появляется, если результирующий поток направлен вдоль одной из сеточных линий; кроме того, искусственная диффузия является максимальной, когда направление потока составляет угол 45' с линиями сетки. 3. Вклад искусственной диффузии могкно мспьшнть, используя меньшие шаги Лх и Лу и располагая сетку (если это возможно) таь, чтобы сеточные линии более н.чп менее совпадали с направлением потока.
4. Поскольку реальная дгп!гфузкя пмсст место во многих задачах, то достаточно сделать псьусствсппукг диффузию малой по сравнениго с реальной. 5. Использование центрально-разнос~пой схемы не является средством избавления от искусственной диффузии. Как упоминалось ранее, центрально-разностная схема дает совершенно нереальные решения, если рассматрпвакгзся богшшие числа Пекле. 6. Основной причиной возникновения искусственной диффузии является практика обращения с потоком через каждую грань контрольного объема как с локально-одномерным. Для случая, пока.
ванного на вставке рис. 4.15, значение Ф, переносимое наклонным потоком к узловой точке Р, па самом деле приходит пз угловой узловой точки 5)Р. Однако этот перенос представляется как действие двух отдельных потоков, поступающих от узловых точек цу и 5. 7. Схемы, которые обеспечилп бы меньший вклад искусственной диффузии, должны учитывать многомерную природу потока.
Для этого также необходимо включать большее число соседних точек в дискретный впало~. Хотя несколько таких схем разработано (68! и показано значительное уменьшение искусственной диффузии, но они являются гораздо более сложными и пока недостаточно опробованными. По этим причинам они здесь не обсуждаются. 8.
Более подробное обсуждение искусственной диффузии дано в [67!. 4.7. 3АклгОчение Закончено построение общего дискретного аналога для зависимой переменной Ф. Добавление одного конвективного члена привело к ряду интересных сообрагкеций. Полученный дискретный аналог обеспечивает физически реальное поведение решения и, 'таким образом, гарантирует успешные расчеты при наличии течения жидкости. В большинстве случаев, конечно, должно также Рассчитываться само поле течения. Нигкс будет уделено внимание этому вопросу.
5" 91 ЗАДАЧИ 4.1. Для стационарного двухмерного случая, геремспиая подчиняется уравнению сохранения б!ч (риФ) =- бгд (Г йгад Ф) ! а — ЬФ, где р- 1; Г=-1; а=-16 и Ь=2. Поле течения является таким, что и=) п с =4 Задана равномерная сетка, показанная па рис. 4.16, Ах=Ли=!. Значеяия Ф для четырех границ заданы. Принимая обозначение контрольного объема согласно способу А в Г» 3.6, рассчитайте значение Фп Ф», Фз и Ф», используя: а) центрально-разности>ю схему, б) схему с разностями против потока, в) комбинированп>чо схему, г) схему со степенным законом, 4.2. Получите точное решение уравнения — (риФ вЂ” à — ) = о', где ри, Г и 5 постоянны, граничные условяя следующие: Ф=Ф» при х=О н Ф=Фь при х=ь.
Используя экспоненциальпую схему, получите численное решенно задачи для разлнчпьтк значений рис/Г н (Яйэ/!')/(Фь — Фа). Получили лп вы хорошее соответствие с точным решеннему Почемуу 4.3. Прямоточный теплоабменник подчяпяется следующим уравиениим: ЛТэ иЛ аТ, УА гласа — = — (Тс — Ть) и т,с, — =- — (Тл — Т,), йх где ги, с н Т вЂ” массовая скоросп потока, теплосмкость и температура; ип,тсксьс й н с обозначают горячую и холодяую лсидкости соответственно; (/ — средний коэффициент теплопередачн между двумя жидкостями; А — общая площадь ф=п теплообменной поверхности; Š— длина теплообменника. Входные температуры Т»; и Т»ы заданы. Получите численное решение для безразмерных температур (Т» — Т ы)/ЛТ н (Т, — Т, „)//>Т кэк функций »р-глр 2 и »э л х/Е при условии, что пи с»=т,с, и (/А/т»с»=1, Разность темгератур ЛТ= Т»ы — Т, ь» Сопоставьте численные результаты с точным решением.
(Несмотря на то что оба уравнения можно решить итерационным методом путем последовательного определения /» и Т„ прямое одяовременное решение часто является для таких случаев более целесообразным.) Такое решение можно получить, используя алгоритм для двух зависимых переменныц который был описан в задаче (3.17). 4.4. Рассмотрите одномерное расгределенис гереиенной Ф, опрсделяе»»ой конвекцией и дпффузней, Попс течения создается с помощью готока в канале с пористыми стенками; т, — расход вдоль канала в нагрэвлении оси х для лю.
бого х; ть — расход через пористые стенки на единицу длины капала Очевид. но, что бт„Мх= — ть. Переменная Ф подчиняется уравнению г( амФ вЂ” (глхФ) -Г л» Ф вЂ” ГА — =- О, »(х " ь ь ахз 92 где Л вЂ” площадь погеречпого сечения канала. Когда ть положительно (жидкость нытекает через степки канала], Фь принимается как Ф внутри канала; когда ть отрицательно (жидкость нтскаст и капал через стенки), Фь прини. ь ается раиным Ф, — значени!о Ф и окружаюгпей среде с внешней стороны канала.
Для канала длиной 1 значения па границе: Ф=Ф, при х=О и Ф=.Фа при х=1 Считайте ть и ГЛ постоянными. Используя схемы центрально.разностную н со степенным законом, пайдитс распределения безразмерной нелнчины Ф для следуюгцпх двух случаен: а) прп к.=О пы(1(ГЛ) =-40, три х=-1 ьы=О: б) при х=О ш,=О, при х==1 т,(/(ГЛ) =40. 4.5. Запишите уравнение (4.4), заменив х на Ч, где Ч определяется следующим образом: ч = ) г(х)Г.
е Покажите отсюда, что, так же как (4.!7) является решением ураннсния (4.4) для случая однородного Г, решение для неоднородного Г определяется следующим образом: Ф вЂ” Фе ехр (рип) — 1 Фь — Фе ехр (рипа) — 1 где Чь — значение Ч при х=1. Заметим, что рипа — число Пекле. Если производная на этих линиях является непрерывной, получим (4.22), где Р, должно определяться как Р„= (ри), (бп),. Полагая, что значснпя Г и узловой точке превалируют н пределах окружающего ее контрольного объема, можно выразить (бя), через Г и приращения интернала (см. рис.
3.1). Отсюда имеем Глава 5 РАСЧЕТ ПОЛЯ ТЕЧЕНИЯ 5Л. ОБОСНОВАНИЕ НЕОБХОДИМОСТИ В СПЕЦИАЛЬНОЙ МЕТОДИКЕ Основная трудность определения поля скорости. В гл. 4 была сформулирована процедура решения обобщенного дифференциального уравнения для переменной Ф при заданном поле скорости.
Однако, как правило, за исключением некоторых весьма частных случаев, задать поле скорости не представляется возможным; для его нахождения необходимо рассчитать локальные составляющие скорости и поле плотности по соответствующим уравнениям.
Составляющие скорости описываются уравнениями количества движения, являющимися частными случаями обобщенного дифференциального уравнения для г)з (в этом уравнении грт=и, Г=)ь н т. д.). Отсюда можно было бы заключить, что метод решения уравнений и')и'11ьсов изми '.' )Ос ра31)п!)Отан и мож)ю найти поте с)~0)и)сти.
Тогда в чем )ке трудность его определении? Если трудностью оказывается нелппсйность уравнений ко)нчестпа движения, то пало вспомнить, что при обсуждении решении зг),1ачи тсплопроэо)ности мы рассматривали спосоо учета нели" псииости с пОЧОщью и)ерапий. На)пример, зависих)ость ко><~)фиПиентз в конвективном члене ри от зависимой переменной и уравнения количества движении аналопшпа с этой точки зрении зависимости коэффициента теплопроводности Й от температуры Т.
Начав с некоторого начального поля скорости, мы могли бы решить уравнении итерационным методом и получить искомые составляющие скорости. Действительная трудность расчета поля скорости связана с неизвестным полем давления. Градиент давления составляет часть источникового члена в уравнении количества движения, при этом нет явного уравнения длн определения давления. При заданном поле давления решение уравнений количества движения не представлпет особой сложности. Однако способ нахождения поля давления не очевиден. Поле давления определяется через уравнение неразрывности. Если правильное поле давления подставить в уравнения количества движения, то получаемое из них поле скорости будет удовлетворить уравнению неразрывности.
Такой косвенный способ нахождения давлении не очень удобен дли наших целей, если только не считать прямое решение всей системы уравнений, получаемой из „дискретных аналогов уравнений количества движении и неразрывности. Так как мы предпочли итерационные методы решении дискретных аналогов даже длн одной зависимой переменной, прямое решение полной системы уравнений дли всех составляющих скорости и давлении здесь не рассматривается '. Методы, основанные на решении уравнения для вихря. Свизанные с нахождением давления трудности привели к возникновению методов, основанных на решении уравнений, получаемых при исключении давления из системы определяющих уравнений. При этом в случае двухмерных задач исключение давления из двух уравнений количества движения путем перекрестного дифференцировании ка)кдого уравнения приводит к уравнению переноса вихря (это дифференцирование в общих чертах представлено в задаче 5.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
