Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости (1185911), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Здесь изображено течение жидкости в канале с внутренним ребром. Стенка канала и ребро имеют конечную толщину и умеренный коэффициент теплопроводностн. Тепловое граничное условие известно на вне~пней поверхности стенки, например задана температура внешней поверхности. Данная ситуация представляет собой задачу сопряженного теплообмена, в которой необходимо рассматривать как теплопроводность Т" Тш в тве1здом теле, так и конвектнвный теплообмен в жидкости. При этом проводится соответствующее согласование решений на границе раздела твердого тела и жидкости.
При раздельном расчете в областях, запятых твердым телом и жидкостью, для удовлетворения условий сопряжения решений на гра- нице раздела потребуется использоРие. Ц4. К задаче еоере нее- вать итерационную процедуру. В раного ееплоопмеие боте 1421 показано, что с помощью метода среднего гармонического коэффициента Г эту задачу можно решить более простым путем. Согласно этому подходу задача решается в расчетной области„ включающей области, занятые твердым телом и жидкостью, причем граница расчетной области совпадает с внешней поверхностью стенки.
Г1ри этом граничные условия как для поля скорости, так и для поля температуры можно легко поставить на внешней границе области. Методика расчета основывается на возможности учета больших скачкообразных изменений Г. При решении уравнений движения значение Г в узловых точках, находящихся в области, занятой жидкостью, задается равным значению коэффициента вязкости жидкости, а в узловых точках, находящихся в области, занятой твердым телом,— равным очень большому числу.
Это приведет к тому, что заданное на внешней поверхности стенки нулевое значение скорости распространится на область, занятую твердым телом, и значение скорости на границе жидкости окажется также равным нулю, что правильно отражает исходную постановку задачи. При решении уравнения для температуры значение Г берется равным истинным значениям коэффициентов теплопроводности твердого тела и жидкости в соответствующих областях. Во всей расчетной области задача решается как задача конвективного теплообмена. Однако вследствие равенства нулю скоростей в области, занятой твердым телом, число Пекле здесь будет также равно нулю; таким образом, в рассматриваемой области будет решаться чистая задача теплопроводности. В результате решения задачи получим распределения температуры в твердом теле и жидкости, которые автоматически будут согласованы на границе раздела твердого тела с жидкостью. В рамках такого подхода эта граница рассматривается просто как любая другая граница между двумя контрольными объемами.
124 ЬА. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ И ОТЛАДКЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ Для проведения практических расчетов численный метод надо воплотить в программу для ЭВМ. Подготовка зффсктивной и отлаэкенной программы требует организованной и целенаправленной работы. После составления и проверки программа становится ценным инструментом исследования. Она открывает новые возможности сравнительно простого решения сложых практических задач. Ниже прннедены рекомендации, которые долэкпы помочь читателю в создании программ для ЭВМ. 1.
Первый шаг при составлении программ для ЭВМ заключается в апреле. ленни предполагаемых возможностей и ограничений программы. Надо решить, должна лц опа быть приспособлена для решения двух- нли трехмерных стационарных плн нестацнонарных задач, будут лн использоваться декартов ~ или цилиндрические координаты и равномерная или неравномерная сетка, учитывать или не учитывать переменность плотности среды.
Слишком большая общность делает про~рамму тяжеловесной и неудобной для решения простых задач. Слишком малая обчцность ограничивает область применения программы очень небольшим кругом физических задач. По-видимому, сначала лучше состави~ь сравнительно небольшую версию программы, по с гибкой структурой, такой, чтобы объем и возможности программы легко могли быть увеличены. 2. Полезно различать общие операции (такие, как расчет коэффициентов н решение дискретных аналогов) н операции, характер которых зависит от конкретной задача (такие, как определение Г, Яс, Вэ и граничных условий для соответствующих переменных).
Имеет смысл сначала запрограммировать общие огерацни и отладить нх на решении различных задач. 3. Составленную программу необходимо тщательно отладить. На програкчк1у, содержащую ошибки, нельзя положиться; результаты, полученные с ее помощью, могут быть ошибочнымн. Можно разработать свободные от ошибок программы, за которые исследователь-программист будет испытывать законную гордость. 4. Перед запуском полной программы полезно отладить ее отдельные части.
Например, отладку подпрограммы решения дискретных аналогов уравнений можно осуществить путем задания произвольных зна ~алий коэффициентов. 5. Большую часть начальной отладки можно проводить на грубой сетке. Эта сбережет время ЭВМ, а так как рассчитанные поля Ф содержат только несколько чисел, их легко анализировать и интерпретировать. В некоторых случаях результаты можно проверить с помощью расчета, сделанного вручную.
Можно ожидать, что даже решения, полученные на грубой сетке, будут физически правдоподобными, так кзк этот критерий был одним из основных принципов построения представленного в этой книге численного метода. 6. Использование метода контрольного объема гарантирует удовлетворение интегрального баланса по всей расчетной области. На этом основывается полезный тест для программы расчета. При проверке интегральных балансов мы должны использовазь тс же аппроксимации для профилей, которые вспочьзовались при построении дискретных аналогов. Тогда при достижении сходнмости решения с удовлетворительной точностью интегральный баланс долясен достаточно хорошо удовлетворяться при любом числе узловых точек. Кроме того.
точность выполнения интегрального баланса может служить признаком удовлетворительной сходимостн итераций. Т. Чтобы убедиться во внутренней непротиворечивости программы расчета, 125 можно провести несколько тестов. Один нз них заключается в проверке независимости сходящегося решения от угаданного начального прнб.пгнсснпя и коэффициентов релаксации.
8. Ориентация системы координат соответствующей данной физической задаче, конечно, произвольна. Правильность программы расчета можно провервть путем решения тай эке самой задачи, например, прн перемене направлении осей х и р 9. Если нз граничн ~х условий вытекает симметрия решения относительно линии (или плоскости), достаточно провести расчет только в половине расчетной области, лежасцсй по одну сторону от линии симметрии. Например, плоское течение в канале между параллельными пластинами может быть рассчитано в области, расположенной между одной из пластин и линией симметрии.
Однако прн отладке программы можно рассмотреть в качестве расчетной области все пространство между пластинами и проверить, удовлетворяет ли полученное решение условию симметрии ' н совпадает ли решение в половине расчетной области с решением, полученным с учетолг условия симметрии, когда в качестве расчетной области использовалась половина пространстна между пластинами. 1О. Предноложим что решение данной задачи определяется значениями некоторьи безразмерных параметров Например, таким параметром моэкет быть число Рейнольдса Ке--ри0!р.
Решение задачи при некотором заданном числе Рейнольдса можно получить, если заложить в программу расчета р —. 1; 0 =- 1; и = 1; 0 = Ке, или 0=-1; 0=1; 8=1; р=)(е, или р=10; 0=5; Р=1; 0=)(с'Ю илн любую другую комбинацию этих параметрон Безразмерные результаты решения задачи для всех таких комбинаций должны быть равны меэкду собой. Этот критерий можно применить для проверки правильности программы расчета.
11. Для отладки правичьности программы расчета лзожно также использовать принцип суперпозиции (справедливый для задач линейной теп,чопроводиости). В соответствии с этим принципом можно сложить решения двух достаточно простых задач и получить решение более сложной задачи. Все эти три решения можно получить непосредственно расчетным путем, а затем проверить, действительно ли решение сложной задача оказалось равным сумме решений двух др)гих задач.
12. Полезн ~м тестом для программы расчета является рассмотрение предельного поведения решения в соответствующих условиях. Программу расчета трехысрных задзч можно использовать для решения двухмерной задачи и убедиться в том, что полученное решение действительно двухмерно. Результаты расчета течения в канале должны отражать полностью развитый (стабилизированный) характер решения в области далеко вниз по течению от начального сечения. С помощью программы расчета вязкого течения должны получаться решения для повязкой жидкости, если положить коэффициент вязкости равным нулю. ' Имеется ряд ситуаций, в которых даже при симметричных граничных условиях решение может быть несимметричным. Например, в случаях струй в каналах (в гидравлических устройствах) или внезапных расширений поперев~их сечений каналов часто имеют место несимметричные картины течения.
Очевидно, что такие особые случаи не должны использоваться при отладке программы на выполнение условия симметрии. 13. Описанные выше тесты предназначались для проверки качественного поведения результатов расчета. Необходима также проверка точности полученных результатоа, причем не только для того, чтобы убедиться в правильности программы, но и чтобы указать точность, которую можно получить при данных параметрах сетки. Полезный способ проверки точности состоит в сравнении полученных данн ~х с имеющимися точными решениями. Надо удостовериться и том, что прн измельчении сетки неточность рассчитанного решения уменьшается.
Так как большинство известных точных решений либо относится к относительно простым задачам, либо требует расчета бесконечных рядов, включающих специальные функции и собстнеяные значения, желательно иметь лгетодику получения точных решений. Удобный способ получения точных решений состоит в задании некоторого решения для переменной Ф и выборе распределений Г, р н и, а затем в получении выражения для 5 с помощью подстановки выбранных значений остальных величин н уравнение (!.13). При этом заданное решение для Ф является точным решением уравнения при нсточниковом члене, разном полученному пыражепию для 5 (а также прн выбрани ~х распределениях Г, р и и). Конечно, можно взять н качестве расчетной области любую область, на которой Ф определена, а в качестве гранишых условий — значения точного решения Ф на границах этой области.
14. Наконец, для доказательства правильности новой программы расчета можно использовать опубликованные результаты численных решений. Дтгя этого могут оказаться полезными результаты некоторых иллюстративных примеров расчета, представленные в гл. 8. Глава 7 СПЕЦИАЛЬНЫЕ СЛУЧАИ До сих пор в данной книге развивался общий метод расчета гидродинамики, тсплообмепа и родственных нм явлений. Хотя для простоты выкладок и наглядности изложения рассматриеалнсь случаи одномерных н двухмерных процессон, тем не менее были получены в ~ранеепия для нестационарной трехмерной задачи. Несыотря па аасдспяе понятия односторонней пространственной координаты, всегда предполагался днухсторонпнй (эллиптический) характер всех пространственных координат. Однако идея односторонней пространственной координаты весьма полезна, и н практике расчетов широко распространены специальные методики, в которых используются преимушества одностороннего характера координаты.
Ниже в общих чертах описано несколько таких методик, а также вкратце рассмотрен конечно-элементный метод, в котороч используются многие из развитых в данной книге принципов. Этим мы еще раз подчеркнем основнос сходство между конечно-разностнын и конечно-элементным методами, которые часто считаются полностью различными. Мы не старались дать исчерп ~ваюшее изложение рассматриааемых вопросоа, а хотели привлечь внимание читателя к этим особым случаям, тесно связанным с основным содерлеаниеч книги. С помощью уже изложенного материала и опублнкоаанных рабат, на которые приведены ссылки, читатель сможет самостоятельно проделать необходимые алгебраические аыкладки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
